2027届高考数学一轮总复习导学案--专题二不等式与不等关系03不等式性质

高考一轮总复习导学案 专题二 不等式与不等关系03不等式性质 1、 考情分析 高考对不等式性质的考查单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据 2、 知识梳理 知识点一 两个实数大小的比较 1.作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 2.作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 知识点二 不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 三、类型应用 类型一：判断比较大小 例1：已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，故A错误； 对于B选项，若，则当时，，故B错误； 对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确； 对于D选项，当时，满足，此时，故D错误. 故选：.C 变式训练1-1：下列说法正确的是（   ） A．若，则. B．若，则. C．若，，则. D．若，，则. 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 变式训练1-2：（24-25高三下·天津宁河·开学考试）对任意实数，，，，命题： ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断. 【详解】①时，，故①错； ②时，，故②错； ③若，则，所以，故③正确； ④当时，，故④错，所以真命题的个数为1. 故选：B. 变式训练1-3：已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 变式训练1-4：下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数幂的大小 【分析】根据不等性质及函数单调性分别判断. 【详解】A选项：由已知，则，所以，A选项正确； B选项：若，，则，B选项错误； C选项：由，则在上单调递增，又，所以，C选项正确； D选项：由，则在和上单调递增，又，所以，D选项正确； 故选：B. 类型二：作差法比较大小 例2：已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 变式训练2：已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差即可比较作答. 【详解】,故， 故选：C 例3：（19-20高一·全国·课后作业）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【知识点】用不等式表示不等关系、作差法比较代数式的大小 【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】解：时，. 证明如下： ， . 【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题. 变式训练3：设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质，作差比较，即可求解. 【详解】由， 因为，且为正数，可得，所以， 即，所以. 故选：C. 类型三：求范围 例4：已知，，求的范围. 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】解：， ，又， . 变式训练4：若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 类型四 数学情境 1．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】取可判断A；取可判断B；取特例可判断C；由不等式可加性可判断D. 【详解】对A，若，则，A错误； 对B，若，，则，B错误； 对C，取，则，C错误； 对D，由不等式的可加性可知，若，，则，D正确. 故选：D 2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】取可排除A；取可排除B；取可排除D；由可知，然后两边同乘以，可判断C. 【详解】A选项：若，，则，A错误； B选项：取，则，B错误； C选项：若，则，所以，即，C正确； D选项：取，满足，但，D错误. 故选：C 4、 素养提升 1.已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2.（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、必要条件 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3.（24-25高三上·天津·期末）设a则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由已知结合不等式的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】解：当时成立，但没有意义，及充分性不成立； 当则此时成立，即必要性成立． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题二 不等式与不等关系03不等式性质 1、 考情分析 高考对不等式性质的考查单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据 2、 知识梳理 知识点一 两个实数大小的比较 1.作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 2.作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 知识点二 不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 三、类型应用 类型一：判断比较大小 例1：已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式训练1-1：下列说法正确的是（   ） A．若，则. B．若，则. C．若，，则. D．若，，则. 变式训练1-2：（24-25高三下·天津宁河·开学考试）对任意实数，，，，命题： ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式训练1-3：已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式训练1-4：下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 类型二：作差法比较大小 例2：已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式训练2：已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 例3：（19-20高一·全国·课后作业）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 变式训练3：设a，b，m均为正数，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随m变化而变化 类型三：求范围 例4：已知，，求的范围. 变式训练4：若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 类型四 数学情境 1．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4、 素养提升 1.已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2.（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（24-25高三上·天津·期末）设a则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 $