专题2.4基本不等式导学案-2027届高考数学一轮总复习（天津市适用）

高考一轮总复习导学案 专题二 不等式与不等关系04基本不等式 1、 考情分析 近几年考情显示，高考对基本不等式的考查或单独命题，或与相关知识贯穿各类题型，是进行求最值的常用工具，难度不定，分值一般在5分左右。 2、 知识梳理 知识点一 基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 知识点二 几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5. . 知识点三 最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4.常用方法 （1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为1; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数” 三、类型应用 类型一 概念辨析 例1：已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用、作差法比较代数式的大小 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 变式训练1：下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 类型二 基本不等式的直接应用 例2：已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 变式训练2-1：已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得的最大值. 【详解】已知正数满足，则， 当且仅当时取等号. 故选：C. 变式训练2-2：已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 变式训练2-3：已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 类型三 配凑法 例3：函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 变式训练3-1：已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据均值不等式可得最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 变式训练3-2：函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 类型四 二次商式最值 例4：已知，求的最小值 【答案】6 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 变式训练4：若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【知识点】对勾函数求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 类型五 乘“1”法的应用 例5：若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 变式训练5-1：已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 变式训练5-2：已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 变式训练5-3：已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】运用基本不等式中“1的代换”即可得解. 【详解】，， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 变式训练5-4：设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 变式训练5-5：设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 类型六 换元法或转换为二次不等式 例6：已知，满足，求范围. 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用基本不等式把式子中的用表示，再解不等式即可求出范围. 【详解】因为，所以，即， 所以或(舍)，所以，当且仅当a=b=3时等号成立. 即的取值范围为. 变式训练6：正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 类型七 恒成立问题 例7：已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】参变分离，利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 变式训练7：对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 类型八 数学应用 1.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 2.为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 【答案】(1) (2)详见解析； 【知识点】基本不等式求和的最小值、分式型函数模型的应用 【分析】（1）先求出从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时，进而达到每小时通过的车辆求解； （2）由（1）的函数，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时小时， 则每小时通过的车辆为辆， 又因为当车速为60km/h时，安全车距为40m． 所以，解得， 所以某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数为： ， （2）由， 当且仅当，即时，等号成立， 显然不行，因为没有达到高速公路提速的目的. 3．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 4．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（   ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】AD 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用图（1）和图（2）面积相等直接列式可判断A；根据三角形相似比求（3）中正方形边长，然后可得AE，利用等面积可得AF，由直角三角形斜边上的中线性质可得AD，然后根据题意推导可判断BCD． 【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A正确； B选项：因为AF⊥BC，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相似， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确． 故选：AD 4、 素养提升 1.已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 2．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 3．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、等差中项的应用 【分析】结合等差数列性质与基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 4．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、对数的运算 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 5．已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题二 不等式与不等关系04基本不等式 1、 考情分析 近几年考情显示，高考对基本不等式的考查或单独命题，或与相关知识贯穿各类题型，是进行求最值的常用工具，难度不定，分值一般在5分左右。 2、 知识梳理 知识点一 基本不等式 1、如果，那么（当且仅当 时取等号“=”）. 2、如果，,则或 （当且仅当 时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当 时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的 必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次 的一致性和不等号方向的一致性． 知识点二 几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5. . 知识点三 最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4.常用方法 （1）拼凑法： （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为1; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法： 三、类型应用 类型一 概念辨析 例1：已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 类型二 基本不等式的直接应用 例2：已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 变式训练2-1：已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 变式训练2-2：已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 变式训练2-3：已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 类型三 配凑法 例3：函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-1：已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 类型四 二次商式最值 例4：已知，求的最小值 变式训练4：若，则函数的最小值为______，此时______. 类型五 乘“1”法的应用 例5：若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 变式训练5-1：已知，，且，则的最小值是______. 变式训练5-2：已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练5-3：已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 变式训练5-4：设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 变式训练5-5：设a，b为正数，且，则的最小值为______． 类型六 换元法或转换为二次不等式 例6：已知，满足，求范围. 变式训练6：正数m，n满足，则的最小值为________． 类型七 恒成立问题 例7：已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 变式训练7：对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型八 数学应用 1.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 2.为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于（单位：m），其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数．经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m．假设每辆车的平均车长为5m． (1)写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数； (2)如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？ 3．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，下列推理正确的是（   ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 4、 素养提升 1.已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A．9 B． C． D．6 4．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．1 B．5 C．7 D．9 5．已知实数，满足，则的最小值为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $