精品解析：吉林延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

延边第二中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 13. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为__________. 14. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，则可选出答案. 【详解】， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，， 所以原图形面积为. 故选：B 4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】． 故选：C. 6. 在中，已知，，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果. 【详解】由正弦定理得，即， ，又因为， 或； 则“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：. 7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且的外接圆直径为4，则周长的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角，再结合正弦定理求出边，最后根据三角函数的性质求出周长的最大值． 【详解】已知，由正弦定理可得，，． 将其代入已知条件可得:． 因为，那么． 则，移项可得． 因为，所以，两边同时除以可得． 又因为，所以．  已知的外接圆直径为，即，由正弦定理可得．  ，．且． 则的周长． 根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：  因为，所以． 当，即时，取得最大值． 此时周长的最大值为． 故选：Ｂ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值 【详解】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为， 所以， 故答案为： 13. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为， 因为圆台上下底面面积之比为，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， ，得，所以，， ，得， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 14. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①，     由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 16. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【小问1详解】 因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 【小问3详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 18. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为. （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内切球的表面积； （3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积； （3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 设圆锥母线长、底面半径分别为、， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积. 【小问2详解】 作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高，， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积； 【小问3详解】 由（1）知圆锥的高， 令正四棱柱的底面边长为，高为， 则， 由得， ， 所以正四棱柱的侧面积 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $