9.2.3 向量的数量积 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.3 向量的数量积 A层 基础达标练 1.在 ABC中,∠ABC=30 ,AB=,BC=3,则=( ) A.3 B. C.-3 D.- 2.设m,n为非零向量,则“存在负数 ,使得m= n”是“m n<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a,b是单位向量,若(a+b) b=,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 4.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题为( ) A.|a b|=|a||b| a∥b B.a,b反向 a b=-|a||b| C.a⊥b |a+b|=|a-b| D.|a|=|b| |a c|=|b c| 5.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b) (2a+b)=61,则|a+b|= . 6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b⊥(a-b),则b在a上的投影向量为 . 7.设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=. (1)求a,b夹角的大小; (2)求|3a+2b|的值. B层 能力提升练 8.如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列给出的向量的数量积中最大的是( ) A. B. C. D. 9.(多选题)已知平面向量|a|=2,|b|=1,且(a+3b) b=2|a|,则( ) A.a b=|a| B.向量a与b的夹角为 C.(a-2b)∥b D.(a-4b)⊥a 10.已知||=||=||,且=0,则上的投影向量为( ) A.- B. C. D. 11.(多选题)向量是近代数学中重要和基本的概念之一,它既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通代数与几何的桥梁.若向量a,b满足|a|=|b|=2,|a+b|=2,则( ) A.a b=-2 B.a与b的夹角为 C.|a-b|<|a+b| D.a-b在b上的投影向量为b 12.已知非零向量a,b夹角的正切值为2,且(a+3b)⊥(2a-b),则=( ) A.2 B. C. D.1 13.若存在单位向量a,b满足|a+kb|=1,|a+b|=k,则k= . 14.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60 ,则使向量a+ b与 a+b的夹角为锐角的实数 的取值范围是 . 15.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120 . (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围. C层 拓展探究练 16.如图,AB为半圆的直径,点C为的中点,点M为线段AB上的一动点(含端点A,B).若AB=2,则|-2|的取值范围是 . 17.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120 ,点E,F分别在边BC,CD上,= = .若 + =,求的最小值. 参考答案 1.D 设的夹角为 ,则 = -∠ABC=, =||||cos =3 cos=- 故选D. 2.A 因为m,n为非零向量,存在负数 ,使得m= n,所以向量m,n共线且方向相反,m n<0.当非零向量m,n的夹角为钝角时,满足m n<0,但是m= n不成立.所以“存在负数 ,使得m= n”是“m n<0”的充分不必要条件.故选A. 3.A 因为a,b是单位向量,所以(a+b) b=a b+b b=a b+1=,所以a b=-,cos<a,b>==-,又因为0≤<a,b>≤ ,所以向量a与b的夹角为故选A. 4.ABC ∵a b=|a||b|cos ( 为a与b的夹角),∴由|a b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos |=1,∴ =0或 ,∴a∥b且以上各步均可逆,故命题A是真命题.若a,b反向,则a,b的夹角为 ,∴a b=|a||b|cos =-|a||b|且以上各步均可逆,故命题B是真命题.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|;反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题C是真命题.当|a|=|b|,a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a c|≠|b c|,反过来由|a c|=|b c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题.故选ABC. 5 ∵|a|=4,|b|=3,(2a-3b) (2a+b)=61, ∴4a2-4a b-3b2=61,即64-4a b-27=61,a b=-6.∴|a+b|=故答案为 6a 因为b⊥(a-b),所以b (a-b)=0, 所以a b=|b|2=1,设a,b的夹角为 ,所以b在a上的投影向量为|b|cos a. 7.解 (1)∵|a|=|b|=1,|3a-2b|=, ∴|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a b+4b2=7, 即9|a|2-12a b+4|b|2=7,即13-12a b=7, 解得a b= 设a,b的夹角为 ,则cos =, ∵ ∈[0, ],∴ =,即a,b夹角的大小为 (2)∵|a|=|b|=1,a b=, ∴|3a+2b|2=9a2+12a b+4b2=9+12+4=19, ∴|3a+2b|= 8.A 根据正六边形的几何性质,可知<>=,<>=,<>=,<>= <0,=0,=|||cos =|| 2|| cos 比较得最大,故选A. 9.BD 由(a+3b) b=2|a|,得a b+3|b|2=4, ∴a b=1,∴a b≠|a|,故A错误; 由cos<a,b>=, <a,b>∈[0, ],知向量a与b的夹角为,故B正确; ∵(a-2b) b=a b-2|b|2=-1,而|a-2b|==2,|b|=1,∴(a-2b) b≠ |a-2b| |b|,故C错误;(a-4b) a=|a|2-4a b=4-4=0, ∴(a-4b)⊥a,故D正确.故选BD. 10.B 如图,依题意可得点O为 ABC的外心,因为=0,所以=0,所以,且||=||=||,则四边形ABOC为菱形,设AO与BC交于点M,则=2,因为AO⊥BC,所以上的投影向量为故选B. 11.BC ∵|a|=|b|=2,|a+b|=2,∴12=|a+b|2=a2+2a b+b2=4+2a b+4,∴a b=2,故A错误;∵a b=|a||b|cos<a,b>=2,∴cos<a,b>=,∴a与b的夹角为,故B正确;|a-b|2=a2-2a b+b2=4,∴|a-b|=2<2=|a+b|,故C正确;a-b在b上的投影向量为=-b,故D错误. 12.D 设a,b的夹角为 ,由tan =2得cos =因为(a+3b)⊥(2a-b),所以(a+3b) (2a-b)=2a2+5a b-3b2=2|a|2+|a||b|-3|b|2=0,得2-3=0,解得=1或=-(舍去).故选D. 13.1或0 ∵a,b是单位向量,∴|a+b|2=a2+2a b+b2=2+2a b=k2 2a b=k2-2,|a+kb|2=a2+2k a b+k2b2=1+2k a b+k2=k2+k(k2-2)+1=1,于是有k(k2+k-2)=0,即k(k-1)(k+2)=0,显然k≥0,则k=0或1,所以k的值为1或0.故答案为1或0. 14.(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞) 由a+ b与 a+b的夹角为锐角,得(a+ b) ( a+b)>0,即 a2+( 2+1)a b+ b2>0,从而 2+4 +1>0,解得 <-2-或 >-2+因为当 =1时,a+ b与 a+b同向,所以 的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).故答案为(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞). 15.(1)证明 因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120 , 所以(a-b) c=a c-b c=|a||c|cos 120 -|b||c|cos 120 =0,所以(a-b)⊥c. (2)解 因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1, 即k2a2+b2+c2+2ka b+2ka c+2b c>1. 因为a b=a c=b c=cos 120 =-, 所以k2-2k>0,解得k<0或k>2. 所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 16.[1,] 因为点C为的中点,AB=2, 所以||=,∠CAB=, 所以|-2|2=(-2)2=+4-4=||2+4||2-4||||cos=4||2-4||+2=4(||-)2+1. 因为点M为线段AB上的一动点(含端点), 所以0≤||≤2,所以1≤4(||-)2+1≤10, 所以|-2|的取值范围是[1,]. 故答案为[1,]. 17.解 如图所示, ∵==,且 + ==|||| cos 120 =-2, ∴=() () =(+) (+) =(+) (+) =(1+ )++ =(1+ ) (-2)+4( + )=-2(1+ )+, 由题意可得, , >0, ∵ + =,∴ , ∴-2(1+ )≥-, ∴-2(1+ )+,当且仅当 = =时取等号, ∴的最小值为 8 学科网(北京)股份有限公司 $