9.2.1第2课时 向量的减法）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.1　向量的加减法 第2课时　向量的减法 A层 基础达标练 1.化简得(　　) A. B. C. D.0 2.在平行四边形ABCD中,=(　　) A. B. C. D. 3.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则等于(　　) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 4.已知任意两个向量a,b,则(　　) A.|a+b|=|a|+|b| B.|a-b|=|a|-|b| C.|a-b|≤|a|-|b| D.|a-b|≤|a|+|b| 5.已知=a,=b,若|=12,|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.  6.如图所示,已知点O到平行四边形的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,则=　　　　(用a,b,c表示).  7.如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作: (1)b+c-a; (2)a-b-c. B层 能力提升练 8.设a表示向西走10 km,b表示向北走10 km,则a-b表示(　　) A.向南偏西30°方向走20 km B.向北偏西30°方向走20 km C.向南偏东30°方向走20 km D.向北偏东30°方向走20 km 9.平面内有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 10.(多选题)对于菱形ABCD,给出下列各式,其中结论正确的为(　　) A. B.||=|| C.||=|| D.||=|| 11.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,||=||,则||=　　　　.  12.已知平面内三个不同的点A,B,C,则“A,B,C是一个三角形的三个顶点”是“=0”的　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)  13.如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有　　　　　.(填序号)  ①;②;③;④;⑤;⑥;⑦. 14.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示下列各式: (1); (2); (3). 15.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点. (1)若||=||,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形?说明理由. (2)化简,并在图中作出表示该化简结果的向量. C层 拓展探究练 16.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai,bi表示)  17.已知O为四边形ABCD外一点,且向量满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状,并证明. 参考答案 1.D　原式=()+()==0.故选D. 2.D　如图,因为四边形ABCD为平行四边形,所以,所以,故选D. 3.A　=a+c-b=a-b+c.故选A. 4.D　若a,b为共线向量且方向相同,则有|a-b|<|a|+|b|,|a+b|=|a|+|b|,若方向相反,则有|a-b|=|a|+|b|,|a+b|<|a|+|b|,故A错误.若a,b不共线,如图,令a=,b=,则a-b=,∴|a-b|<|a|+|b|.综上,|a-b|≤|a|+|b|,故B,C错误,D正确.故选D. 5.13　在Rt△AOB中,∠AOB=90°,a-b=,因此|是Rt△AOB的斜边长, 所以|a-b|==13. 故答案为13. 6.a-b+c　=a-b+c.故答案为a-b+c. 7.解 (1) 如图所示,以OB,OC为邻边作▱OBDC,连接OD,AD,则=b+c, 所以b+c-a= 故即为所求. (2)由(1)知,=b+c, 则a-b-c=a-(b+c)= 故 即为所求. 8.A　如图,设=a,=b,则a-b=,又tan ∠OBA=,∴∠OBA=30°,且||==20(km),故a-b表示向南偏西30°方向走20 km.故选A. 9. C　如图,以AB,BC为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD,因为m,n的长度相等,所以||=||, 即||=||,所以四边形ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.故选C. 10.BCD　菱形中向量的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B结论正确,A结论错误;因为||=||=2||,||=2||,且||=||,所以C结论正确;因为||=||=||,||=||=||,所以D结论正确.故选BCD. 11.2　以为邻边作平行四边形ACDB,可知 因为||=||,所以||=||. 又||=4,M是线段BC的中点,所以M是对角线BC,AD的交点,所以||=|=|=2. 故答案为2. 12.充分不必要　充分性:若A,B,C是一个三角形的三个顶点,由向量加法的三角形法则可得出=0,充分性成立.必要性:若A,B,C三点共线,则=0成立,此时A,B,C不是三角形的顶点,必要性不成立.因此,“A,B,C是一个三角形的三个顶点”是=0”的充分不必要条件.故答案为充分不必要. 13.①④　由题可得四边形ACDF是平行四边形,所以因为四边形ABDE是平行四边形,所以综上知与相等的向量是①④.故答案为①④. 14.解 (1)=()-()==d-b. (2)=()+()=b-a+f-c. (3)=()-()==c-e. 15.解 (1)由条件知||=||=||, 即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形, 故四边形ABCD是菱形. (2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知 所以-()= 作出向量如图所示. 16.b6　由题图可知,a2+a5+b2+b5+b7 = =()+()+ ==b6. 17. 解 通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形. 证明如下: , AB􀱀DC. ∴四边形ABCD为平行四边形. 9 学科网（北京）股份有限公司 $