9.1 向量概念分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.1　向量概念 A层 基础达标练 1.下列结论中正确的有(　　) A.温度含零上和零下温度,所以温度是向量 B.共线的向量,若始点不同,则终点一定不同 C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.若|a|>|b|,则a>b 2.下列命题中正确的是(　　) A.若|a|=0,则a=0 B.若|a|=|b|,则a=b C.若|a|=|b|,则a∥b D.若a∥b,则a=b 3.如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,则下列说法正确的是(　　) A.的夹角为0° B.的夹角为60° C.的夹角为120° D.的夹角为60° 4.汽车以120 km/h的速度向西行驶了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向行驶了2 h,则下列命题中正确的是(　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程 D.以上都不对 5.如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形. (1)图中与共线的向量有 　　　　　;  (2)图中与相等的向量有 　　　　　;  (3)图中与模相等的向量有 　　　　　;  (4)图中与相等的向量有 　　　　　.  6.在下列判断中,真命题的是　　　　.(填序号)  ①长度为0的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向; ⑤任意向量与零向量都共线. 7.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:. B层 能力提升练 8. 如图所示,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是(　　) A. B. C. D. 9.下列说法正确的是(　　) A.已知向量a,b,则“|a|=|b|”是“a=±b”的充分不必要条件 B.若向量满足||>||,且同向,则 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若A,B,C,D四点不共线,则四边形ABCD为平行四边形的充要条件是 10.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.不共线 11.把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积等于　　　　　.  12.一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C,则此人从点C回到点A的位移为　　　　　　.  13.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个?模等于半径的倍的向量有多少个? 14.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量: (1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向; (2),使||=4,点B在点A正东方向; (3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向. C层 拓展探究练 15.如图所示,方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C在小正方形的顶点处,且||=,则满足条件的向量共有　　　　个;||的最大值与最小值的和为　　　　.  参考答案 1.C　温度没有方向,所以不是向量,故A错;由共线向量的定义可知,共线的向量,始点不同,终点可能相同,故B错;向量不可以比较大小,故D错;C项中,若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故若a与b不共线,则应均为非零向量,故C正确.故选C. 2.A　模为零的向量是零向量,所以A项正确;|a|=|b|时,只说明a,b的长度相等,无法确定方向,所以B,C均错;a∥b时,只说明a,b方向相同或相反,没有长度关系,不能确定相等,所以D错.故选A. 3.D　根据向量夹角的定义,的夹角为180°,的夹角为120°,的夹角为60°,的夹角为60°,故选D. 4.C　速度与位移是向量,路程是数量,由向量不能比较大小,数量可比较大小,可得A,B错误,C正确.故选C. 5.(1) (2) (3) (4) 6.①③⑤　由定义知①正确,②由于两个零向量是平行的,但不能确定是否同向,也不能确定是哪个具体方向,故不正确.显然③⑤正确,④不正确.故答案为①③⑤. 7.证明 如图,连接BD. 由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线,得EH∥BD,EH=BD,且FG∥BD,FG=BD, ∴EH=FG,EH∥FG且方向相同, 8.D　的方向不同,故A错误;的方向不同,故B错误;的方向相反,故C错误;由等腰梯形的性质,知P为线段EF的中点,故的方向相同,且长度都等于EF长度的一半,故D正确.故选D. 9.D　对于A,当|a|=|b|时,a,b不一定是相等或相反向量;当a=±b时,|a|=|b|,所以“|a|=|b|”是“a=±b”的必要不充分条件,故A错误.对于B,由于两个向量不能比较大小,故B错误.对于C,若b=0,则零向量与任意向量平行,所以对任意向量a与c,均有a∥b,b∥c,故此时a与c不一定平行,故C错误.对于D,若,则AB=DC且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形;当四边形ABCD为平行四边形时,可得,所以D正确.故选D. 10.ABC　由于,因此与相等的向量只有,而与的模相等的向量有,因此选项A,B正确.而在Rt△AOD中,∵∠ADO=30°,∴||=|,故||=|,因此选项C正确.由于,因此是共线的,因此选项D错误. 11.3π　依题意,这些向量的终点构成的图形是以点O为圆心,2为半径的圆,挖去一个以点O为圆心,1为半径的圆所围成的圆环,其面积为4π-π=3π.故答案为3π. 12.沿西偏北15°,长度为100 m　由题意可知,||=100,||=100,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为正三角形, ∴||=100,即此人从点C回到点A所走的路程为100 m. 又易知此人行走的方向为西偏北15°, ∴此人从点C回到点A的位移为沿西偏北15°,长度为100 m. 13.解 由题图可知,模等于圆半径的向量为(i=1,2,…,8),共16个;题图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径的倍的向量,共16个. 14.解 (1)因为点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示. (2)由于点B在点A的正东方向处,且||=4,因此在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示. (3)由于点C在点B北偏东30°处,且||=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为35.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示. 15.8　　画出所有的向量,如图所示,共有8个.当点C位于点C1或C2时,||取得最小值,最小值为;当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,最大值为所以||的最大值为,最小值为所以||的最大值与最小值的和为 8 学科网（北京）股份有限公司 $