9.1 向量概念(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.1　向量概念 1.（2025·南通期中）下列命题正确的是（　　） A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为0的向量与任意非零向量共线 2.在锐角△ABC中，下列说法正确的是（　　） A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A.a0＝b0 B.a0＝－b0 C.a0∥b0 D.｜a0｜＋｜b0｜＝2 4.（2025·泰州质检）在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且＝，＝，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD的形状为（　　） A.正方形　　B.梯形 C.菱形　　D.矩形 5.〔多选〕下列能使a∥b成立的是（　　） A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜ C.a与b方向相反 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若a≠b，则a，b一定不共线 B.在▱ABCD中，一定有＝ C.若a＝b，b＝c，则a＝c D.共线向量是在一条直线上的向量 7.给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝－b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其中，正确的命题个数有　　　　. 8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则图中的相反向量为　　　　. 9.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为　　　　. 10.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点. （1）写出图中所示向量与向量长度相等的向量； （2）分别写出图中所示向量与向量，共线的向量； （3）求与，与的夹角的度数. 11.〔多选〕在下列结论中正确的有（　　） A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件 B.a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件 C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件 D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件 12.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝　　　　. 13.如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，则向量与的夹角为　　　　. 14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝. （1）画出所有的向量； （2）求｜｜的最大值与最小值. 15.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据：sin 53°≈0.8） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1　向量概念 1.D　对于A，单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确.故选D. 2.B　由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于180°－∠ABC，与的夹角等于∠BAC，与的夹角等于∠ACB，与的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B正确.故选B. 3.D　单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D. 4.D　由＝，＝，｜｜＝｜｜，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. 5.ACD　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b. 6.BC　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在▱ABCD中，｜｜＝｜｜，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确.故选B、C. 7.0　解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等. 8.，，　解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量为，，. 9.135°　解析：∵∠B＝45°，∴与的夹角为135°. 10.解：（1）与长度相等的向量是，，，，，，，. （2）与共线的向量是，，； 与共线的向量是，，. （3）因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°. 11.ACD　若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对于B，由a≠b⇒/｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜⇒a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确. 12.0　解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0. 13.120°　解析：易知∠ABC＝∠OCB＝30°，所以∠COA＝60°，又因为向量与的夹角为∠COA的补角，所以向量与的夹角为120°. 14.解：（1）画出所有的向量，如图所示. （2）由（1）所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝. 所以｜｜的最大值为，最小值为. 15.解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和， 即AB＋BC＝70 n mile. （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50（n mile）， 由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $