陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

**基本信息** 试卷聚焦高二数学核心模块，以解析几何、空间向量为主体，通过基础题（如直线方程、抛物线标准方程）与综合题（如双曲线离心率、正三棱柱面面垂直证明）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线方程、抛物线、空间向量运算、椭圆性质|单选第4题结合定点判断直线与椭圆位置关系，考查几何直观；多选第11题通过角平分线与向量关系求离心率范围，体现逻辑推理| |填空题|3/15|圆的公切线、四点共面、线面角余弦值|第14题以《九章算术》“阳马”为背景，融合文化传承与空间想象| |解答题|5/77|直线与圆相切、椭圆轨迹方程、双曲线综合、正三棱柱二面角|第19题（Ⅲ）探究线段上点的存在性，需构建空间坐标系论证面面垂直，培养数学建模与创新意识，贴合高考命题趋势|

▣4▣ 汉中市仁德学校高二年级上学期第二次月考 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2。选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朗上，切勿脂出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 ▣ 4.在草稿纸、试题卷上答题无效 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题，每题5分；9~11为多选题，每题6分，共58分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 11[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 9 [A][B][C][D] 5[A][B[C][D] 10 [A][B][C][D] 填空题（每题5分，共15分） 2 14. 解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) 囚囚■ ■ 18.(17分) I I I 1 19.(17分) C C D B B A 4 i ㄖ■囚 囚■囚 绝密★启用前 汉中市仁德学校高二上学期第二次月考数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线过点且斜率，则的方程为(    ) A. B. C. D. 2.焦点为的抛物线标准方程是(    ) A. B. C. D. 3.三棱锥中，，，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.直线与的位置关系为(    ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5.已知直线与直线，若，则(    ) A. B. C. 或 D. 6.设为椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 7.已知抛物线：的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.过双曲线左焦点的直线与交于两点，且，若，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有(    ) A. B. C. D. 10.已知曲线(    ) A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则是圆，其半径为 C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则是两条直线 11.如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若圆：与圆：有且仅有三条公切线，           ． 13.已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为          ． 14.在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，，，，． 求，，的值； 求向量与所成角的余弦值． 16.本小题分 已知圆：，直线经过点 ． 若直线与圆相切，求直线的方程； 若直线与圆相交于，两点，求三角形面积的最大值，并求此时直线的方程． 17.本小题分 已知圆与定点，动圆过点且与圆相切． 求动圆圆心的轨迹的方程； 若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值． 18.本小题分 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． 求点的轨迹的方程； 过的直线与曲线交右支于两点在轴上方，曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 19.本小题分 如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求二面角的大小； Ⅲ在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线的点斜式方程应用问题，属于基础题． 利用点斜式写出直线的方程，再化为一般式方程． 【解答】 解：直线经过点，且斜率为， 则直线的方程为， 化为一般式方程为， 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程， 利用抛物线的焦点坐标，转化求解抛物线方程即可． 【解答】 解：由抛物线的焦点坐标可得，抛物线开口向上， 设标准方程为，则 故抛物线的标准方程为 故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量的加减运算及数量积运算，属于基础题． 将变成，再利用数量积公式即可求解． 【解答】 解： 由已知得， 因为， 所以 ． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线与椭圆的位置关系． 直线，恒过点，只需判断点与椭圆椭圆的位置关系即可． 【解答】 解：直线，恒过点， ， 点在椭圆的内部， 直线与椭圆的位置关系为相交． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的平行，属于基础题利用两条直线平行的性质列式计算即可． 【解答】 解：若，则，所以或． 当时，，重合当时，符合题意． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的概念及椭圆的标准方程，属于基础题． 设，，利用及余弦定理得，即可求解． 【解答】 解：设，， 因为， 由椭圆定义得， 在中， 由余弦定理，得， 所以得， 所以， 所以， 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的性质及几何意义、抛物线的概念及标准方程，属于基础题． 根据题意求出抛物线方程为，设到准线的距离为，根据，即可求出结果． 【解答】 解：因为抛物线：的焦点为，准线为，且过点，所以抛物线的准线方程为， 所以，即， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线内， 过点作准线的垂线，垂足为，则， 设到准线的距离为，且， 则， 当且仅当、、三点共线时，取等号， 所以的最小值为． 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及向量的坐标表示，直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于拔高题． 设，，，由向量的坐标表示可得，设直线的方程为，联立双曲线方程，运用韦达定理，可得，的关系式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理可得，，的等式，由离心率公式可得所求值． 【解答】 解：设，，， 由，可得， 设直线的方程为，联立双曲线方程可得 ， 可得，， ，即为，即有，， 可得，， 化为，即为， ． 故选B． 9.【答案】  【解析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解． 对于，，故A正确， 对于，由于，则，故，B正确， 对于，，故与不垂直，故C错误，对于，，D正确， 故选： 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于基础题． 结合选项，分别由椭圆、圆、双曲线、直线方程依次判断即可． 【解答】 解：对于，若， 则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得渐近线方程为，故C正确； 对于，若，则可化为， 即，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次不等式的解法，向量的数乘，椭圆的定义及几何意义，余弦的定理，属于中档题． 首先根据得出，，从而，由于是的角平分线，从而得出，再根据椭圆的定义从而得出，，根据余弦定理得出，从而得出答案． 【解答】解：， ，，则， 是的角平分线，， 又， ，， 在中，由余弦定理得， ， ，解得． 故选CD． 12.【答案】  【解析】解：圆：与圆：有且仅有三条公切线，说明两个圆相外切， 圆：的圆心，半径为；与圆：，的圆心，半径为：， 可得， 可得． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：因为． 由题意得，所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线与平面所成角的作法及求法，属中档题． 首先证明平面，连接，可得为与平面所成角，设，，然后求解三角形可得直线与平面所成角的余弦值． 【解答】 解：侧棱底面，平面， ． ，，，平面， 平面， 连接，平面， ， 三角形为直角三角形，则为与平面所成角的平面角， ，，为棱的中点，则，故BE， 故在直角三角形中，，， ， ． 故答案为： 15.【答案】解，，，且，． 解得 由知，，， ，． ， ，．   ． 向量  与  所成角的余弦值为  ．   【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题． 由向量的平行和垂直可得关于，，的关系式，解之即可求得结论；  由可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论． 16.【答案】解：若直线的斜率不存在，则直线，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即． 由题意知，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或； 因为直线与圆相交， 所以直线的斜率必定存在，且不为，设直线的方程为， 则圆心到直线的距离，即． 三角形的面积 ， ，即， 当，即时，取得最大值，则，解得或，满足条件， 直线的方程为或．  【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程，考查圆有关的最值问题，属于中档题． 首先验证直线斜率不存在时是否满足条件，再由直线与圆相切可得圆心到已知直线的距离等于半径，设直线点斜式方程，列方程可得斜率． 由垂径定理可得弦长，边上的高为圆心到直线的距离，从而可知，利用二次函数性质求最值可得当时，取得最大值，再根据点到直线的距离公式求直线的斜率，即得的方程． 17.【答案】解：设圆的半径为， 由题意可知，点满足：，， 所以，， 由椭圆定义知点的轨迹为以， 为焦点的椭圆， 且，，进而，故轨迹方程为：  当直线斜率不存在时， ，或，，此时弦长． 当直线斜率存在时， 设的方程为：， 由 消去得：， 由恒成立， 设、， 可得：，，     ， 令，则， 则，， 当时，，   综上，弦长的最大值为  【解析】本题主要考查椭圆方程的应用，是高考中常见的题型，属于中档题． 设圆的半径为，题意可知，点满足：，，化解即可求解； 当直线斜率不存在时，，或，，弦长；当直线斜率存在时，设的方程为：，消去，由恒成立，得：，，得到，令，根据的范围求出弦长的最大值． 18.【答案】解：设，由题意可知， 化简得，即点的轨迹的方程为； 因为点在轴上方，所以直线的斜率不为，， 可设直线的方程为，，， 联立方程 消去整理，得， 则 即，，， 又，，，， 所以， 又因为， 所以， 即为定值．  【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题，直线与双曲线的位置关系及其应用，以及双曲线中的定值问题，属于较难题． 根据题意得出，化简即可求出结果； 设直线的方程为，，，与曲线的方程联立，结合根与系数的关系和斜率公式，即可求出结果． 19.【答案】解：Ⅰ证明：连结交于，连结，， 因为三棱柱是正三棱柱， 所以四边形是矩形， 所以为的中点． 因为是的中点， 所以是三角形的中位线， 所以C. 因为平面， 平面， 所以平面． Ⅱ解：作于，所以平面， 所以在正三棱柱中， 如图建立空间直角坐标系． 因为，，是的中点． 所以，，，， 所以，，． 设是平面的法向量， 所以即 令，则，， 所以是平面的一个法向量． 由题意可知是平面的一个法向量， 所以． 所以二面角的大小为． Ⅲ解：设，则， 设平面的法向量， 所以即 令，则，，， 又，即，解得， 所以存在点，使得平面平面且  【解析】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题． Ⅰ连结交于，连结，，由已知条件得四边形是矩形，由三角形中位线能证明平面． Ⅱ作于，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的大小． Ⅲ设，求出平面的法向量，利用向量法能求出存在点，使得平面平面，且． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校高二第二次月考补偿练习 1、 单选题： 1.已知抛物线：的焦点坐标为，则的准线方程为(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则下列向量的数量积等于的是(    ) A. B. C. D. 3.已知直线：，：，若，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 4.已知点在椭圆上，是椭圆的左右焦点，若，且的面积为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.设抛物线的焦点为，点为上的任意点，若点使得的最小值为，则下列选项中，符合题意的点可为(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 6.已知曲线：，    ． A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 7.椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率可能为(    ) A. B. C. D. 三、填空题： 8.如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点，分别在，上，，若，，，四点共面，则          ． 9.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则          用，，表示 四、解答题： 10.已知在平面直角坐标系中，动点满足到定点和直线的距离之比为． 求动点的轨迹的方程； 若与原点距离为的直线：与曲线相交于，两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点位于直线的两侧，记，的面积分别为，，求的取值范围． 11.如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，． 求证：； 在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：抛物线：的焦点坐标为，则， 所以准线方程是． 故选：． 由焦点坐标得，从而得准线方程． 本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查棱锥的结构特征、空间向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 由条件利用空间向量的数量积的定义，对各个选项中式子进行运算，可得结论．  【解答】 解：由题意可得，，故排除； ，故B满足条件； ，故排除； ，故排除． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两条直线平行的判定及应用，属于较易题．  根据两条直线平行的判定，即可求出实数的值．  【解答】 解：设，，，，，， 若，则，即 由，解得或， 又，所以实数的值为． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的焦点三角形，由基本不等式求最值或取值范围，向量的数量积的概念及其运算，椭圆的定义，属于中档题． 设，则，，从而得到，的值，再由基本不等式得，即可求出结果． 【解答】 解：如图所示：    不妨设， 则， ， 两式相除可得，所以， 又，所以， 所以， 由椭圆的定义，得， 当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线的定义，最值问题，属于基础题． 利用抛物线的定义和方程，对选项逐一判断． 【解答】 解：抛物线的准线为，焦点， A.在的内部，此时的最小值为，错误； B.在上，此时的最小值为，错误； C.在的内部，此时的最小值为，正确； D.在的外部，此时的最小值为，错误． 故选C． 6.【答案】  【解析】若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；  若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故 C错误；  若，，则可化为，即，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积、椭圆的性质及几何意义．  设，，，求出向量的坐标，利用恒成立，即可求出结果． 【解答】 解：设，，，，，则，，，． 因为 恒成立，所以离心率故选AC． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：据题意得， 得， 得， 从而， ． 10.【答案】解：设的坐标为， 由题知， 整理得：， 即动点的轨迹的方程为； 由题知，原点与直线的距离为， 故，即， 设直线， 联立，可得， 又直线与椭圆相切， 所以，整理得：， 又与之间的距离， 则， 又， 由， 故， 因为，值于直线异侧， 故，同号， 则， 故． 即的取值范围为．  【解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，两平行直线间的距离公式，三角形的面积公式，属于拔高题． 设的坐标为，由题可得，整理即可得解动点的轨迹的方程； 由题知，原点与直线的距离为，即可得到，设直线，联立直线与椭圆的方程，根据直线与椭圆相切，根据即可得到，求出与之间的距离，根据三角形的面积公式即可得到，根据的取值范围即可求解的取值范围． 11.【答案】解：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系． 则，，，，所以，， 由此可得，所以，即． 假设存在满足题意的点，设，， 则， 所以，， 设平面的法向量为，平面的法向量为 由，得． 即，可取， 由，得， 即，可取． 由，得， 解得，故． 综上所述，线段上存在点符合题意，此时．   【解析】本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，属于中档题． 以为原点，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标． 求出，，的坐标，要证明，即证明即可得答案； 要求满足条件使得二面角为直二面角的点，即求平面和平面的法向量互相垂直，由此求出点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $