精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025—2026学年下学期期九年级数学试题

大庆市第六十九中学 2025-2026学年度下学期期中初三年级 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 2. 下列说法中不正确的是（ 　　 ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项再配方，即可得到原方程变形后的结果． 【详解】解： ． 4. 如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：． 故选C． 6. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 7. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为，根据题意得， ． 8. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 9. 如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知比例式，可得，， （）． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 13. 如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 15. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据，当时，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 18. 如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点、，连接、.则下列结论中：；；若，则；．其中正确的结论有______ 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，即可判断；通过证明，得出，进而得出，结合，即可判断；当时，设，，则，，在中，根据勾股定理求出，则，，即可判断；根据全等的性质得出，，则，证明，进而得出，即可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故正确； 当时，设，，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ，， ，故正确； ， ， ， ， 是的垂直平分线，则， ， ，故错误； 正确的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（共10题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 20. 如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 【答案】 （1）证明： ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6， ∴AB=8，AC=10， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）DE=4.5 【解析】 【分析】（1）由条件可得，且为公共角，则可证明； （2）由（1）可得，可求得. 【详解】⑴ 略 ⑵ ∵△ADE∽△ACB， ∴， ∵BC=9， ∴DE=4.5. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键. 21. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在销售问题中的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【详解】解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，平均每天的销售量为个， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：或， 因为商家需要尽快减少库存，降价越多销售量越大， 因此取， 答：每个玩具应降价12元． 23. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图所示，在四边形中，对角线、交于点，，，且，过点C作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，进一步得，通过推导角之间的关系得出，即可得证； （2）先过点B作，垂足为点，再利用菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得出，的长，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为点， 又， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，， ，四边形为平行四边形， ． ，， ． 在中，， ． ， ， ， ． 25. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15； （2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______； （3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，AE=，BF=；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可． （2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可． （3）根据矩形的定义画出图形即可． 【详解】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求． （2）如图2中，菱形ABEF即为所求．AE=， BF=； （3）如图3中，矩形ABMN即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 27. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长，恰好是方程的两根，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可得证； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式可得一个关于的方程，解方程即可得． 【小问1详解】 证明：在关于的一元二次方程中， 方程根的判别式为， 所以无论为何值，方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵两直角边的长，恰好是方程的两根， ∴，， ， ∵， ∴由勾股定理得：，即， ∴，即， 解得或（舍去）， 则的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． 28. 综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可； （2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得． （3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意知：，， 当，则， ， ， ，； 当，则， ， ， ， 当或时，以、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：或； 【小问3详解】 过点作、，分别交于、交于，如图所示： ， 四边形是矩形， 当时，即时，为等腰三角形， 此时把沿翻折得到四边形是菱形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第六十九中学 2025-2026学年度下学期期中初三年级 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中不正确的是（ 　　 ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A. B. C. D. 7. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2000辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 9. 如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如果，那么____________． 12. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 13. 如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 15. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 16. 如图，点D是的边上的一点，，，当______时，． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为，则的长为 _____． 18. 如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点、，连接、.则下列结论中：；；若，则；．其中正确的结论有______ 三、解答题（共10题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 21. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 23. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 如图所示，在四边形中，对角线、交于点，，，且，过点C作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 25. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． （1）在图1中画一个以为边的平行四边形，点C、D在格点上，且平行四边形的面积为15； （2）在图2中画一个以为边的菱形（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形的对角线______，______； （3）在图3中画一个以为边的矩形（不是正方形），点M、N在格点上． 26. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 27. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）在直角三角形中，，斜边，两直角边的长，恰好是方程的两根，求的值． 28. 综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $