专题13 一次函数的图象和性质【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

专题13 一次函数的图象和性质 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数的图象和性质】 1.正比例函数的图象与性质 （1）正比例函数的图象 一般地，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线。 （2）正比例函数的性质 ① 当k>0时,直线第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大； ② 当k<0时,直线第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小； ③ |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 从左向右上升 y随x的增大而增大 k<0 二、四 从左向右下降 y随x的增大而减小 （3）描点法画正比例函数图象的步骤： ① 列表：正比例函数一定过原点（0,0），再任意取一个不为0 的自变量(一般取x=1)，算出对应的=k ，列出两点坐标（0,0）和（1，k）； ② 描点：在平面直角坐标系中，根据两点坐标标出列表中算出的两个点； ③ 连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是正比例函数的图象。 2.一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时向上平移，当b<0时向下平移）。一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. （2）一次函数的性质 k/b的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k>0 b>0 一、二，三 从左向右上升 y随x的增大而增大 k>0 b<0 一、三，四 k<0 b>0 一、二，四 从左向右下降 y随x的增大而减小 k<0 b<0 二，三，四 （3）描点法画一次函数图象的步骤 ① 列表：任意取二个自变量，算出对应的[常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和]，列出两点坐标； ② 描点：在平面直角坐标系中，根据两点坐标标出列表中算出的两个点； ③ 连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是一次函数的图象。 3.待定系数法求函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法。 （1）待定系数法求正比例函数解析式 ① 设：设所求的正比例函数解析式为y=kx（k≠0） ； ② 代：把已知点代入正比例函数解析式中，得到关于未知系数的方程； ③ 解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值； ④ 反代：将求得的比例系数k值代入正比例函数解析式y=kx即可。 （2）待定系数法求一次函数解析式 ① 设：设所求的一次函数的解析式为（k≠0）； ② 代：将图象上的已知点的横坐标、纵坐标分别代换一次函数解析式中的，得到关于k,b的方程组 ③ 解方程组：解关于的方程组；得到k和b的值； ④ 反代：将求得的k,b值代入一次函数解析式y=kx+b即可。 4.一次函数图象的平移 （1）一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在自变量上加减平移单位。左加右减自变量。 ① 若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=k（x+a）+b 。 ② 若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=k（x-a）+b 。 （2）一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在函数解析式上加减平移单位。上加下减常数项。 ① 若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=kx+b+a 。 ② 若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=kx+b-a 。 注意：一次函数图象平移后的两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2是平行的，其中k1=k2 【重难点常考题型概览】 【题型01】正比例函数的图象与性质 【题型02】判断一次函数的图象 【题型03】画正比例函数及一次函数的图象 【题型04】一次函数的图象与参数关系 【题型05】一次函数的增减性与参数关系 【题型06】一次函数经过的象限与参数关系 【题型07】待定系数法求一次函数解析式 【题型08】根据一次函数的性质综合求解 【题型09】根据一次函数的性质比较大小 【题型10】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【题型11】一次函数图象的平移问题 【题型12】一次函数的规律探究问题 【题型13】一次函数的动点探究问题 【题型14】一次函数图象与性质的综合应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】正比例函数的图象与性质 【例1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．由的图象经过一，三象限可得答案． 【解答】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一，三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【变式1-1】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】见解析 【解答】解：正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·安徽宿州·月考）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图象经过第________象限． 【答案】（1）；（2）一、三 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）由（1）可得函数解析式为，进而可得该函数的图象经过第一、三象限． 【解答】解：（1）解：∵函数的图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴函数解析式为， ∵， ∴该函数的图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． （1）若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若随的增大而减小，求的取值范围； （3）若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【解答】解：（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 【题型02】判断一次函数的图象 【例2】（2025-2026八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 【变式2-1】（2024-2025八年级下·河南洛阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【解答】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C 【变式2-2】（2024-2025八年级下·河北邢台·期末）下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，解一元一次不等式组，掌握一次函数图像的规律是解题的关键．分别根据四个答案中函数的图象求出的取值范围即可． 【解答】解：一次函数可变形为， A. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； B. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； C. 由函数图象可知，，解得，即无解，故此种情况不存在，符合题意； D. 由函数图象可知，，解得，即，故此种情况存在，不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，先根据直线经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【解答】解：A．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； B．直线中，，，中，，则，一致，故本选项符合题意； C．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； D．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【题型03】画正比例函数及一次函数的图象 【例3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）描点并连线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）把对应的x的值代入解析式中求出对应的y的值即可； （2）根据（1）所求，先描点，再连线画出函数图象即可． 【解答】解：（1）解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）解：函数图象如下所示： 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象． （1）列表： … 0 1 2 … … … （2）描点并连线． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）根据的值求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【解答】解：（1）解：列表： x … … … … （2）描点、连线： 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【答案】（1）见分析；（2）随着的增大，直线的倾斜程度越来越大；（3）， 【分析】本题考查了正比例函数的图象及性质，根据题目要求画出函数图象，解题的关键是熟悉图象的倾斜程度与斜率的关系， 【解答】解：（1）如图所示． （2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线的倾斜程度越来越大． （3）由题可知，均小于0，且直线的倾斜程度越来越大，的增大，故. 【变式3-3】（2025-2026八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 【解答】解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当是，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【题型04】一次函数的图象与参数关系 【例4】（2024-2025八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，那么、的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．根据一次函数的图象所经过的象限来判断，的符号，从而求得，的取值范围． 【解答】根据图示知：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即，且； 故选：A． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【解答】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河南安阳·阶段练习）一次函数的图象如图，则点在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，以及象限内点的坐标特征，正确掌握一次函数图象分布与k，b的关系是解题的关键． 根据图象分布，确定k，b的符号，再根据象限内点的坐标特征确定位置即可． 【解答】解：由图知，， 点在第二象限； 故选：C． 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【解答】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 【题型05】一次函数增减性与参数关系 【例5】（2024-2025八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【解答】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 【变式5-1】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正比例函数的增减性判断系数的符号，列一元一次不等式求解即可得到m的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数中，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 移项得， ∴． 【变式5-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【解答】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 【变式5-3】（2024-2025八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【解答】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 【题型06】一次函数经过的象限与参数关系 【例6】（2023-2024八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象经过，但不经过第二象限，则下列结论不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． 由一次函数图象不经过第二象限可知且，结合图象过点得，逐一验证选项即可． 【解答】解：∵一次函数图象不经过第二象限， ∴， ∵图象过点， ∴，即， 对于A：，正确； 对于B：，正确； 对于C：，故不正确； 对于D：由，得，正确． 故选：C． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【解答】解：解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·山西忻州·阶段练习）写出一个一次函数的解析式，使该函数的图象不经过第一象限，这个一次函数的解析式为 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大．根据不经过第一象限，得出，，写出一个一次函数解析式即可． 【解答】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴这个一次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·安徽六安·期中）已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）解：∵y随x的增大而减小 ∴ ∴； （2）∵该函数图象经过第一、三、四象限 ∴ ∴． 【题型07】待定系数法求一次函数解析式 【例7】（2024-2025八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式及一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）当点代入求出的值即可； （2）结合（1）中关于的函数表达式，当时，求得，再根据一次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点， ∴， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵关于的函数表达式为， 当时，，得：， 又∵中一次项系数， ∴随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 【变式7-1】（2025-2026八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】三点共线说明三个点都在同一条直线上，先根据两个已知点坐标求出直线解析式，再将第三个点代入解析式即可求出的值． 【解答】解：设过点和的直线解析式为， 将两点坐标代入解析式得， 解得， 直线解析式为， 点在该直线上， 将代入得：． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如果函数，当时，求此函数的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 分时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【解答】解：当时，则y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 综上所述，此函数解析式为或， 故答案为：或． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·江西赣州·期末）如图，一次函数 、为常数，且与正比例函数，交于点，与坐标轴分别交于点和点， (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)已知过点的直线将三角形的面积分成，求该直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）根据题意得出，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得点的坐标为，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则分两种情况讨论，分别求得，，待定系数法求解析式，即可求解． 【解答】（1）解：∵， ，， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）由题意，联立，解得， 点的坐标为， ∴； （3）设过的直线交轴与点，由题意，过点的直线将三角形的面积分成，则 ①当，时，点，此时的解析式为； ②当，时，点，此时的解析式为； 综上所述，此时的解析式为或． 【题型08】根据一次函数的性质综合求解 【例8】（2024-2025八年级下·内蒙古兴安盟·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数的图象 D．若点在该函数的图象上，且，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数的性质和应用，平移，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【解答】解：一次函数，得函数图象与轴的交点坐标是，图象分布在第一，二，四象限，且y随x的增大而减小， A. 函数图象与轴的交点坐标是，正确，不符合题意； B. 函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； C. 将函数图象向下平移6个单位长度得到函数的图象，错误，符合题意 D. 若点在该函数的图象上，且，则，正确，不符合题意， 故选：C． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴所围成的三角形面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．先令，求出y的值；再令求出x的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：令时，， 令时，，解得：， ∴，， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 故答案为：6． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·江苏镇江·期末）根据所给函数图象，解答下列问题． (1)______； (2)求、的值； (3)关于、的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数交点问题，待定系数法求解析式，解二元一次方程组． （1）将代入求得交点的纵坐标，即可求解； （2）将代入，待定系数法求解析式即可求解； （3）将代入得出方程组为，解方程组，即可求解． 【解答】（1）解：当时，， ∴ 故答案为：． （2）解：将代入得， 解得： ∴ （3）解：∵ ∴方程组为 解得： 故答案为：． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得一次函数的表达式为，再分和两种情况讨论，利用函数y的最大值和最小值的差是6，列式求解即可． 【解答】（1）解：由题意得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：代入点，得， ∴， ∴一次函数的表达式为， ∴当时，；当时，， 当时，y随着的增大而增大， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； 当时，y随着的增大而减小， 则函数y在取得最大值，在取得最小值， ∴， 解得； ∴综上，a的值为或． 【题型09】根据一次函数的性质比较大小 【例9】（2025-2026八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【解答】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据得到随的增大而减小，继而即可求解． 【解答】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到、是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出、，再利用一次函数的增减性求解即可． 【解答】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限， ∴、， ∵点与在一次函数的图像上，， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可判断求解； （）方法一：利用一次函数的性质解答即可；方法二：求出，再利用作差法比较即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解答】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：点不在这个函数图像上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个函数图像上； （3）解：方法一：∵， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴； 方法二：当时，；当时，， ∵， ∴． 【题型10】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例10】（2025-2026八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时，，代入解析式，确定k值即可． （2）令，得，求解即可． 【解答】解：（1）解：将，代入， 得． ∴， ∴一次函数解析式为：． （2）解：当时，得 解得：    ∴这个一次函数的图象与轴交点的坐标为． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·海南·月考）直线经过点（____，0）和 （0，____）． 【答案】 【分析】分别令求出对应的值，令求出对应的值，即可得到结果． 【解答】解：对于直线，当时，， 解得， 当时，． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数的图像与x、y轴分别交于A、B两点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．先分别求出点的坐标，从而可得的长，再根据建立方程，解方程即可得． 【解答】解：如图，当时，，解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）分别把、代入求出A、B坐标，将点代入中，得，从而得出点C坐标； （2）先求出，再用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）解：把代入，得， 所以点B的坐标为， 把代入，得，解得， 所以点A的坐标为． 把代入，得， 把代入，得，解得， 所以点C的坐标为； （2）解：由（1）知， 所以， 所以． 【题型11】一次函数图象的平移问题 【例11】（2024-2025八年级下·河北秦皇岛·期末）将直线平移得到直线，下列说法正确的是（   ） A．将向左平移个单位长度得到 B．将向左平移个单位长度得到 C．将向上平移个单位长度得到 D．将向上平移个单位长度得到 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可，掌握平移规律是解题的关键． 【解答】解：、将向左平移个单位长度得，符合题意； 、将向左平移个单位长度得，不符合题意； 、将向上平移个单位长度得，不符合题意； 、将向上平移个单位长度得，符合题意； 故选：． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【答案】 【分析】先利用“左加右减”的平移规律得出平移后的直线解析式，再通过令函数值为0求解自变量的值，即可得到与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵直线由直线向左平移10个单位长度得到， ∴平移后的直线解析式为， 展开得． 令，则：， 解得：， ∴直线与x轴交点坐标为． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【解答】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查一次函数，牢记采用待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图象平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）先求出中点坐标，平移后的直线的解析式，将中点坐标代入移后的直线的解析式即可解答． 【解答】（1）解：把点和分别代入中，得， ∴， ∴与函数解析式为； （2）解：∵， ∴的中点坐标为， ∵直线l向上平移n个单位， ∴平移后的直线的解析式为， 把代入中，则， 解得：， ∴的值为6． 【题型12】一次函数的规律探究问题 【例12】（2023-2024八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【解答】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入 得出 ∴ 直线， 当时，则 ， ∵， ∴， 把，则 即， ∵ ∴把，则 即， ， ，． ∴的坐标为 故选：D 【变式12-1】（2022-2023八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，利用等腰直角三角形的性质可得出，结合点的坐标可求出的值，设点的坐标为，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，，，的值，再利用三角形的面积公式即可得出，，，的值，代入即可求出结论． 【解答】解：过点作轴于点，如图所示． △，△，△，都是等腰直角三角形， ，，，，． 点的坐标为， ； 设点的坐标为，，则点的坐标为，． 点在直线上， ， ， ， 点的坐标为，，即，． 点在直线上， ， ， ． ，，，， ， ， ． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变化，找出点纵坐标的变化规律“”是解题的关键． 【变式12-2】（2025-2026八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【解答】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【变式12-3】（2024-2025八年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【解答】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【题型13】一次函数的动点探究问题 【例13】（2024-2025八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点F的坐标 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①设点，则点)，则，由，，则，，，再由勾股定理得，，则，由此求解即可； ②设点， ，点在直线上，，，，进行求解即可； ③过点作交于，过点作轴于，根据，是等腰直角三角形，再证，得出，，根据点为线段的中点，，求出，设，则， 待定系数法求直线的解析式为，点在上，，代入得方程解方程即可． 【解答】（1）解：对于，令，， ， 令， ， ， ， 点与点A关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （2）解：①设点， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：； ②设点， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， 的面积为， ， ， 或； ③过点作交于，过点作轴于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点为线段的中点，， ，， 设，则，，则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在上，， ， 解得：， 点的坐标为． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·青海玉树·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 【答案】(1) (2)当移动到点时，的面积为2 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入解析式进行求解即可； （2）求出点坐标，根据三角形的面积公式求出点的坐标即可． 【解答】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，； ∴当移动到点时，的面积为2． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． （1）求点的坐标． （2）连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【解答】解：（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与轴交于点，过中点的直线交轴于，且其横坐标为． (1)点C的坐标为_________． (2)求的长． (3)求直线对应的函数关系式． (4)点P为直线上一动点，点在轴上，当以点A、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3) (4)或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及求点坐标、线段长度、函数关系式及平行四边形存在性问题，解题关键是熟练运用一次函数性质与平行四边形性质． （1）先求出直线与轴、轴交点、的坐标，进而得到的长度，再根据点是中点求出长度，从而确定点坐标； （2）已知A、坐标，根据勾股定理求的长度； （3）设直线的函数关系式为，把、坐标代入，解方程组得到、的值，从而得到直线对应的函数关系式； （4）设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解． 【解答】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， ∵点是的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，， ， ； （3）解：设直线对应的函数关系式为， ， ， ， ∴直线对应的函数关系式为； （4）解：设， ∵以点为顶点的四边形为平行四边形，， 当为平行四边形的边，且点在点右边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的边，且点在点左边，如图所示： 是平行四边形， 和是对角线，互相平分， 解得： ∴点的坐标为 当为平行四边形的对角线，如图所示： 是平行四边形， 和互相平分， 解得： ∴点的坐标为 ∴综上，点的坐标为或或． 【题型14】一次函数图象与性质的综合应用 【例14】（2025-2026八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题； （2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出与关系后，代入不等式，得到m的取值范围； （3）利用一次函数的增减性可知，当时，y取最小值，代入解析式求出m即可． 【解答】（1）解：设， 将，代入解析式，得： ， 解得，， ∴，即； （2）解：将，代入解析式，得： ， ∵， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最小值5， ∴，解得，． 【变式14-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 【解答】解：（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）将点代入解析式求出m的值即可； （2）由一次函数图象不经过第三象限，得求解即可； （3）分情况：当时，当时，根据函数的增减性求解即可． 【解答】（1）解：一次函数为常数且的图象经过， ， 解得：， ； （2）∵一次函数为常数且的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为； （3）一次函数为常数且中， 当时，y随x的增大而减小， 当时，有， 解得：， 当时，y随x的增大而增大， 至少有一个x的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或， 故答案为：或 【变式14-3】（2025-2026七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，直线的关系式为，图见解析 (3)的面积为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． ()对于，当时，，当时，，由此可得点，点的坐标，然后画出直线即可； ()根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点的坐标，画出直线即可； ()根据点在直线上，可设点的坐标为再根据点到轴的距离为得，由此解得，， 进而得点的坐标，然后再求出的面积即可． 【解答】（1）解：对于，当时，， 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示： （2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：， 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 直线如图所示： （3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴，解得，， 此时点的坐标为，， ①当点的坐标为时，如图所示： ； ②当点的坐标为时，如图所示： ∴． 综上所述：的面积为或． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，作出两条直线的图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作，求出两直线与坐标轴的交点坐标，得到，可得出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出结果． 【解答】解：两条直线如下图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作， 在直线上，当时，， 点， 在直线上，当时，，当时，， ，， ， ，， ， 设， ，即， 解得：，（舍去）， 故选：C． 2.（2025-2026八年级下·宁夏银川·月考）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质求出顶点A的坐标，再通过直线的解析式确定平移后点的坐标，将点B按照该平移方式平移，即可求出点的坐标． 【解答】解：过点A作于点D， 是等边三角形，B的坐标是， 、， ， 的坐标是， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上，且横坐标为5， 将代入得：， 的坐标为， 点A向右平移3个单位，向上平移个单位得到， 的坐标为， 即的坐标为． 3．（2024-2025八年级下·陕西咸阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【解答】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 4.（2025-2026八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式． （1）根据一次函数的定义得到，，求解即可； （2）先确定函数解析式，再分别令，，求出该函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据直线l与一次函数的图象关于y轴对称，得到直线l过点，，运用待定系数法求解即可． 【解答】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 5.（2025-2026八年级上·四川成都·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意设，代入时，求出，写出与之间的函数表达式； （2）当时代入解析式，求的值； （3）分别求出当和时，对应的x的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围． 【解答】（1）解：设， 当时，． ， ， 则， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 6.（2025-2026八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【分析】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【解答】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 7.（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点．与轴交于点，与直线交于点．已知点的坐标为，点在点A的左侧且． (1)直接写出直线的解析式：______和直线的解析式：______； (2)在直线上，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合题，一次函数的交点问题，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与面积的综合题是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，先联立方程组求出点E的坐标，再根据面积公式列方程求解即可． 【解答】（1）解：把和的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为； ，， ， ， 设直线的解析式为， 把和的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为． 故答案为：；． （2）解：存在， 设， 联立方程组， 解得， ， ， ， ， 解得或9 ， 当时，， 当时，， 或， 存在点，使得，且或． 8.（2025-2026八年级上·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 【答案】（1），；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，两直线交点坐标的求法是解题的关键． （1）分别求出，，，即可求解； （2）分别求出，，，即可求解； （3）分别求出，，，即可求解． 【解答】解：（1）解：， ∴直线表达式为 当时，， ， 当时，， ， ， ∵点为直线和直线的交点， ， 得， ， ； （2）解：∵直线表达式为， 可得：， ， ， 解方程组得：， 即， ， ； （3）解：依题意有交点．则 ①当时，交点为，与无关 ②当或时， ③当时，． 9.（2025-2026八年级上·福建漳州·期中）直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求点、的坐标； （2）以为斜边在第二象限作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，点在线段上（不与点重合），点在上，、，，求与的函数关系式． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）过点作轴于点，作轴于点，证明根据全等三角形的性质得出，即可得出，，则点的坐标为； （3）延长至点，使，连接、，证明，进而得出，在中，，可得 ，即可求解． 【解答】解：（1）解：在中，当时， 当时， ， （2）如图1，过点作轴于点，作轴于点， 则， 是等腰直角三角形 ， 即 在和中， ， ∴ 设，则， ， ， 点的坐标为； （3）解：延长至点，使，连接、， 点是线段的中点，， ，， 在和中， ， ，， 在中，， ， 即， 在中，， ， 、， ，，，， 在中，， ， 化简，得：， 关于的函数关系式为：． 10.（2025-2026七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 11.（2024-2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)x轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，的长为 【分析】（1）由求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）过点D作轴于点E，求出，，可得，故，即有，得，再证是等腰直角三角形，知，从而求出； （3）根据四边形为平行四边形，知，即可求出，故，，可得的长为． 【解答】（1）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点E，如图， 在中，令，得，解得， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 轴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴； （3）解：轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，理由如下： 如图： 由（2）知，， 四边形为平行四边形， ∴，即轴，， ∴， 在中，令得，解得， ∴， ∴， ， ∴， 的长为． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【解答】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【解答】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 3.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【解答】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【解答】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【解答】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【解答】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 7．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 9.（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与其系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【解答】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 10．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【解答】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 11．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【解答】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 12．（2023·湖南·中考真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可． 【解答】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小， ， 故只有D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 13．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【解答】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 14．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【解答】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 15．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【解答】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 16．（2023·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．    【答案】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【解答】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，    ， ， 当时，，即， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 17.（2024·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时， ∴符合条件的点坐标是，. 【点评】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时，    ∴符合条件的点坐标是，. 【点评】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数的图象和性质 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数的图象和性质】 1.正比例函数的图象与性质 （1）正比例函数的图象 一般地，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线。 （2）正比例函数的性质 ① 当k>0时,直线第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大； ② 当k<0时,直线第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小； ③ |k|越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快. k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 从左向右上升 y随x的增大而增大 k<0 二、四 从左向右下降 y随x的增大而减小 （3）描点法画正比例函数图象的步骤： ① 列表：正比例函数一定过原点（0,0），再任意取一个不为0 的自变量(一般取x=1)，算出对应的=k ，列出两点坐标（0,0）和（1，k）； ② 描点：在平面直角坐标系中，根据两点坐标标出列表中算出的两个点； ③ 连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是正比例函数的图象。 2.一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时向上平移，当b<0时向下平移）。一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. （2）一次函数的性质 k/b的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k>0 b>0 一、二，三 从左向右上升 y随x的增大而增大 k>0 b<0 一、三，四 k<0 b>0 一、二，四 从左向右下降 y随x的增大而减小 k<0 b<0 二，三，四 （3）描点法画一次函数图象的步骤 ① 列表：任意取二个自变量，算出对应的[常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和]，列出两点坐标； ② 描点：在平面直角坐标系中，根据两点坐标标出列表中算出的两个点； ③ 连线：过这两个点画一条直线，并向两端延伸，就是一次函数的图象。 3.待定系数法求函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法。 （1）待定系数法求正比例函数解析式 ① 设：设所求的正比例函数解析式为y=kx（k≠0） ； ② 代：把已知点代入正比例函数解析式中，得到关于未知系数的方程； ③ 解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值； ④ 反代：将求得的比例系数k值代入正比例函数解析式y=kx即可。 （2）待定系数法求一次函数解析式 ① 设：设所求的一次函数的解析式为（k≠0）； ② 代：将图象上的已知点的横坐标、纵坐标分别代换一次函数解析式中的，得到关于k,b的方程组 ③ 解方程组：解关于的方程组；得到k和b的值； ④ 反代：将求得的k,b值代入一次函数解析式y=kx+b即可。 4.一次函数图象的平移 （1）一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在自变量上加减平移单位。左加右减自变量。 ① 若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=k（x+a）+b 。 ② 若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=k（x-a）+b 。 （2）一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在函数解析式上加减平移单位。上加下减常数项。 ① 若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=kx+b+a 。 ② 若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为y=kx+b-a 。 注意：一次函数图象平移后的两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2是平行的，其中k1=k2 【重难点常考题型概览】 【题型01】正比例函数的图象与性质 【题型02】判断一次函数的图象 【题型03】画正比例函数及一次函数的图象 【题型04】一次函数的图象与参数关系 【题型05】一次函数的增减性与参数关系 【题型06】一次函数经过的象限与参数关系 【题型07】待定系数法求一次函数解析式 【题型08】根据一次函数的性质综合求解 【题型09】根据一次函数的性质比较大小 【题型10】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【题型11】一次函数图象的平移问题 【题型12】一次函数的规律探究问题 【题型13】一次函数的动点探究问题 【题型14】一次函数图象与性质的综合应用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】正比例函数的图象与性质 【例1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·安徽宿州·月考）已知函数．若该函数图象经过原点： （1）求的值； （2）该函数的图象经过第________象限． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·上海徐汇·月考）已知关于的正比例函数． （1）若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若随的增大而减小，求的取值范围； （3）若点在该函数的图象上，求的值． 【题型02】判断一次函数的图象 【例2】（2025-2026八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·河南洛阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·河北邢台·期末）下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型03】画正比例函数及一次函数的图象 【例3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）描点并连线． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象． （1）列表： … 0 1 2 … … … （2）描点并连线． 【变式3-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． （2）探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ （3）灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·河南郑州·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【题型04】一次函数的图象与参数关系 【例4】（2024-2025八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，那么、的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河南安阳·阶段练习）一次函数的图象如图，则点在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【题型05】一次函数增减性与参数关系 【例5】（2024-2025八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-1】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 【题型06】一次函数经过的象限与参数关系 【例6】（2023-2024八年级下·吉林·期末）已知一次函数的图象经过，但不经过第二象限，则下列结论不正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·重庆万州·月考）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【变式6-2】（2024-2025八年级下·山西忻州·阶段练习）写出一个一次函数的解析式，使该函数的图象不经过第一象限，这个一次函数的解析式为 （写出一个即可） 【变式6-3】（2025-2026八年级上·安徽六安·期中）已知关于x的一次函数． （1）当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （2）当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【题型07】待定系数法求一次函数解析式 【例7】（2024-2025八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴交于点，点的坐标是． （1）求关于的函数表达式． （2）当时，求自变量的取值范围． 【变式7-1】（2025-2026八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如果函数，当时，求此函数的解析式是 ． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·江西赣州·期末）如图，一次函数 、为常数，且与正比例函数，交于点，与坐标轴分别交于点和点， (1)求一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)已知过点的直线将三角形的面积分成，求该直线的解析式． 【题型08】根据一次函数的性质综合求解 【例8】（2024-2025八年级下·内蒙古兴安盟·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数的图象 D．若点在该函数的图象上，且，则 【变式8-1】（2024-2025八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴所围成的三角形面积为 ． 【变式8-2】（2025-2026八年级上·江苏镇江·期末）根据所给函数图象，解答下列问题． (1)______； (2)求、的值； (3)关于、的方程组的解是______． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若图象还经过，求该一次函数的表达式． (2)若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值． 【题型09】根据一次函数的性质比较大小 【例9】（2025-2026八年级上·广东清远·期末）已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）已知和是函数上的点且，则与的大小关系为______． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【变式9-3】（2025-2026八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图像经过点， (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图像上，并说明理由； (3)若图像上有两点，，比较，的大小．（用两种不同的方法） 【题型10】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例10】（2025-2026八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，． （1）求一次函数的表达式； （2）求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·海南·月考）直线经过点（____，0）和 （0，____）． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数的图像与x、y轴分别交于A、B两点，且，则 ． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求的面积． 【题型11】一次函数图象的平移问题 【例11】（2024-2025八年级下·河北秦皇岛·期末）将直线平移得到直线，下列说法正确的是（   ） A．将向左平移个单位长度得到 B．将向左平移个单位长度得到 C．将向上平移个单位长度得到 D．将向上平移个单位长度得到 【变式11-1】（2025-2026八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为_____ ． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【题型12】一次函数的规律探究问题 【例12】（2023-2024八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2022-2023八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025-2026八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【变式12-3】（2024-2025八年级下·贵州黔东南·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为____． 【题型13】一次函数的动点探究问题 【例13】（2024-2025八年级下·四川达州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·青海玉树·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． （1）求点的坐标． （2）连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【变式13-3】（2024-2025八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与轴交于点，过中点的直线交轴于，且其横坐标为． (1)点C的坐标为_________． (2)求的长． (3)求直线对应的函数关系式． (4)点P为直线上一动点，点在轴上，当以点A、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【题型14】一次函数图象与性质的综合应用 【例14】（2025-2026八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【变式14-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． （1）求正比例函数的解析式； （2）在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 【变式14-3】（2025-2026七年级上·山东泰安·期末）已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上． (1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象； (3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 2.（2025-2026八年级下·宁夏银川·月考）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 3．（2024-2025八年级下·陕西咸阳·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 4.（2025-2026八年级上·江苏宿迁·月考）已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 5.（2025-2026八年级上·四川成都·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 6.（2025-2026八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 7.（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点．与轴交于点，与直线交于点．已知点的坐标为，点在点A的左侧且． (1)直接写出直线的解析式：______和直线的解析式：______； (2)在直线上，是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.（2025-2026八年级上·广东佛山·期末）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线分别交轴、轴于点A、B，交直线于点．点到轴的距离记为． （1）【特例探究】当时，求与的值． （2）【猜想验证】探究线段、的长度与之间的数量关系． （3）【类比推广】将“直线”更改为“直线”，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 9.（2025-2026八年级上·福建漳州·期中）直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求点、的坐标； （2）以为斜边在第二象限作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，点在线段上（不与点重合），点在上，、，，求与的函数关系式． 10.（2025-2026七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 11.（2024-2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9.（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 12．（2023·湖南·中考真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A． B． C． D． 13．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（   ）    A． B． C． D． 14．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 15．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 16．（2023·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．    17.（2024·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 18．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $