福建厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科试题

厦门市2026届高中毕业班适应性练习 数学学科 (满分：150分考试时间：120分钟) 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知复数：=异则：+ A.-2 B.-2i C.2 D.2i 2.已知S。是等差数列|a,|的前n项和，若S,=5a2+5,则{a,I的公差为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点A(4,n)在C上，则|AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 4.随机变量X的分布列为P(X=0)=a,P(X=1)=b.若E(X)=2a,则a= A号 B号 5.已知a=(山，-1)，b=(2,),b在a上的投影向量为70，则x= A.-2 B.-1 C.0 D.1 6.某工厂的产量Q(单位：件)与资本投人K(单位：万元)、劳动投人L(单位：人)满足柯布 道格拉斯生产函数Q=AoK,L(其中A。,a,B为常数).在劳动投人不变的前提下，要使该 工厂的产量提升20%，资本投人需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数α约为 (参考数据：lg2≈0.30,1g3≈0.48) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 7.已知P为椭圆E:名+冷@>b>0上的动点，M,N为圆+子今上的两个动点，者 ∠MPN的最大值为受，则E的离心率为 .2 B 2 c号 2 数学试卷第1页（共4页） 8.已知tanc an(a-B)=2,cosB=子，则cos(2x-pB)= A- c D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数)=sin(r+p)(o>0,lp<受)的部分图象如图所示，A0,-)(写，， 则 Ap=-君 B.0=2 C名=-写是y=八x)图象的一条对称轴 Dy=)的图象向左平移7个单位长度得到的图象关于原点对称 10.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性别 比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读 时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则 ◆频率 频率 组距 0.025组随 0.012 0.010 0.010 0.008 0.005 0.005 0.003 0.002-☐ 020406080100阅读时间mim 020406080100阅读时间mm 男生阅读时间 女生阅读时间 A.a=0.020 B.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟 C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人 11.已知A1,A2,…,A。,…均为有限实数集，记A。中的最大元素为xHn∈N°， A。,1=A。U川a+xn|a∈A.I,若A,=|-2,3引，则 A.A2=1-2.1,3,61 B.7=384 C.Ag中所有元素的平均数为191 D.A。中所有元素的和为3008 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知2x+ 的展开式中所有项的系数之和为81，则此展开式中常数项为 13.写出一个同时满足下列性质①②③的函数f代x)= ①定义域为R;②f(2)=1；③(x)+f2-x)=0. 14.在梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,E为CD上一点，AB=BC=CE=2DE=2,将△AED沿 AE所在直线翻折成△AED'(如图所示).AD'上一点M满足C·E=5,在翻折过程中，二 面角M-BC-E的正弦值的最大值为 D' D E C B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=c+bcos2A, (1)求A; (2)若D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为3V3,求a. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥A,C、AB=BC=CA=AA,=2.过点A1,C的平面a 与直线AB垂直. (1)作出α：截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由： (2)已知B,C=√0，求BC,与平面ACB,所成角的正弦值 A C 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 已知定直线1：x=7,点M在L右侧，且M到F(2,0)的距离与到L的距离之比为2，记湖 的轨迹为曲线。 (1)求T的方程； (2)过F与x轴垂直的直线l交T于A,C两点，过F的直线L2交下于B,D两点.若四边 形ABCD的面积为185，求L2的方程 18.(17分) 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为X,（neN',n>1)的地图共有2n+3个格子，编 号为0,1,2，…，2n+2,如下图所示 012…2n2n+12n+2 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格X。,并获得2枚金币，棋子位于起点(0号格子)； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格：否则，向前跳2 格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到2+2 号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励：当棋子落到2+1号格子时，游戏终止，视为成功，获 得奖励10n元， (1)若选定规格为X2的地图，求游戏成功的概率； (2)若选定规格为X。的地图，求棋子落到2号格子且游戏成功的概率： (3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？ 19.(17分) 已知函数f(x)=e'-aln(ax-a),其中a≠0 (1)当a=-1时，求f八x)在(0，f0)处的切线方程； (2)已知八x)>-a. (i)求a的取值范围； ()记fx)的极值点为，证明：x)<e2+是 数学试卷第4页（共4页）厦门市2026届高中毕业班适应性练习 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.C2.B3.C4.A5.D6.B7.B8.B 8.提示：由tanatan(a-B)=2得sinasin(a-B)=2 cosa cos(a-B), csB=case-(e-》号化简得o(a-)+sinasin(a-)-} 所以sinasin(a-月）-号(a-p）- 9 所以cos(2a-B)=cos(a+a-P)=-c0sc(a-p）-sinsin(a-B)=-} 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.ACD 11.ACD 11.提示：设A,中元素有k个，所有元素和为Sn,平均数为X., 所以x=3,S则有4=(-2136，么=4，马=8，故选项A正确： 易得x=2x,所以x,=3×2,x,=3×2=192,故选项B错误： 因为增加的数一定是3的倍数，-2,3被3整除的余数不等，故元素中不会出现重复， 所以k=2k,所以k=2”, 又S=Sn+Sn+k·x,=2Sn+3×22m,两边除以k=2m,得X1-X,=3×22, 累加得X=号+3x2+3×2++3×2=3x22-1,所以X=191,故选项C正确： S。=k·X。=3×22-2”,所以S,=3008,故选项D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.24 13.x-1(如：(x-1;-cos兀x等其它符合题意均可) 14.提示：易得∠DEA=60°，AE∥BC,所以CM.EA=CE.EA+EM.EA=2+EM.EA=5, 所以EM.EA=1,过M作MN⊥EA,垂足为N, D EM.EA=EN.EA=EN EA =3, 所以BN-多，过N作NHLBC,美足为H, D 则可证BC⊥平面MNH,则可得∠MHN, 即为二面角M-BC-E的平面角， 可求得N=5,NH=5, 6 正弦定理可得sin<MN_snM,所以sin∠MHN=sin∠MH≤ MN NH 6一≤6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 a 15.解：(1)依题意，acos B=c+bcos2A,由正弦定理 sinA sin B sinC' 得sin Acos B=SinC+sin Bcos.2A,…1分 由A+B+C=π，得sinC=sin(A+B), 代入得sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos2A, 高三数学参考答案第1页（共8页） cos Asin B+sin Bcos24=0, …2分 由sinB>0,得cosA+cos2A=0, …3分 有2cos2A-1+cosA=0,解得：cosA=。或cosA=-1, …5分 又A∈(0，π，所以A= π 3 6分 (2)由D为8c的中点，D=4C+,A0-}4C+}4+号4C, 所以b2+c2+bc=36,… …8分 由△1BC的面积为35，得S=bcsin A=35,即bc=12,9分 由余弦定理，d=b2+c2-2bCc0sA=b2+c2-bC.…10分 所以ad2=(b2+c2+bc）-2bc=36-24=12,… ……12分 所以a=2√万.… …13分 16.解：解法一：(1)取AB的中点为O,连接OA,OC,则平面AOC为平面a.·3分 证明如下： 因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形， 因为O为AB的中点，所以AB⊥OC,… …4分 又AB⊥AC,OC∩AC=C,OCc平面AOC,ACc平面AOC,…5分 所以AB⊥平面AOC, 即平面AOC为平面a. 6分 (2)在三棱柱ABC-AB,C中，AB∥AB, 因为AB⊥AC,所以AB,⊥AC, 在Rt△ABC中，因为BC=V10,所以AC=V6 由(1)得AB⊥OA,所以OA=√3， 所以OC2+OA2=AC2,所以OA⊥OC, 所以OA,OC,AB两两互相垂直.… C …8分 以O为坐标原点，以OC，OB,OA所在直线分别为x轴，y轴，？轴如图建立空间直 角坐标系0-z,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(V5,0,0,A(0,0,5 …10分 AA=0,15,AC=(N51,0,AB=4+4B=(01,5+(0,2,0)=(0,35 设平面ACB的一个法向量为方=(x,y,), i.AC=0, 则 所以x+y=0取x=1,则n=,-5,) 所 12分 nB =0, 3y+5z=0, BC =CC-CB=44-CB=(3.0,3), Ci 13分 设BC,与平面ACB,所成角为0， 则sino= BC·n 45 2√26 BC·l √6×√1313 B 所以BC,与平面ACB所成角的正弦值为226 .C. …15分 13 ●1 解法二：(1)同解法一； …6分 (2)在三棱柱ABC-ABC中，AB∥AB, 因为AB⊥AC,所以AB,⊥AC, 高三数学参考答案第2页（共8页） 在R1△ABC中，因为BC=√0，所以AC=√6 由(1)得AB⊥OA,所以OA=√5. 所以OC2+OA2=AC2,所以OA⊥OC, 又因为OA⊥AB,OC∩AB=O,所以OA⊥平面ABC, 所以OA为三棱锥B-ABC的高. ……… 。。。。g …8分 在R△AOA中，AA=2,OA=V5,OA=1,所以∠AA0=60°， 所以∠A4B,=120°，又因为AA=AB=2,所以AB=2√3 在人G8,C.。89,则m2C- 2CA·AB 4 所以8a=C48sin∠CB=国 …10分 2 设三棱锥B-ACB的高为h,因为'cs='4,所以h:S△cs= 所以h=0A·Sg=259 13 …11分 SACB 在△BCB中，coS∠CBB=S B2+BB:-CB= 2CB·BB 所以cos∠CCB=} 在△CC,B,中，BC2=CB2+CC-2CB.CCcos∠CCB=6, 所以BC=V6 13分 设BC,与平面ACB,所成角为O,则sIn8= h_2√26 B 13 2 所以BC,与平面4CB所成角的正弦值为226 …15分 13 17.解：(1)设M(x,x>,Vx-2+少=2 …2分 e-2+r=4〔 …3分 化简得一苦 …4分 故rx-号=10x>0). 5分 3 (2)因为AC⊥x轴，当x=2时，y=±3，所以AC=6. 1 D6分 由题意，1，的斜率存在，设y=k(x-2),B(x,y),D(x,y), 联立{ -苦=1，得-)r+状-+)-0， A …7分 y=k(x-2) 其中，3-k≠0，即k≠3. △=16k+4(3-k2)(4K2+3)=36(K+1)>0, O x 4k2 由韦达定理得x+,=3’= 4k2+3 …8分 3-k2 因为x+x2>0,xx2>0,解得k2>3, …9分 thi SC8, 高三数学参考答案第3页（共8页） 得x-x,=65 11分 因为k-x=x+x)°-4x,= 6Vk2+1 3-k2 …12分 所 6NF+1-65,化简得3k-19k+26=0, 13-21 解得：3或k2 …14分 因为>3，所以k=± 3 故1的方程为：y=5x-239或y=-5B9x+25四 -X- …15分 3 3 3 3 8。解法-1)依短金。向酯跳1步的凝率为后-行向前碳2步的餐率为 63 ，。。。,，，。。。。。。。。,,。。 …1分 设5=“游戏结束时，余下的金币的数量”，则5=0,1,2，设事件M=“游戏成功”， 则P(M)=P(5=1)+P(5=2). 当n=2时，该地图有7个格子. 当且仅当5=2时，棋子经过的路径为0→1→3→5， 1224 所以P(5=2)=×三×三= 33327 …2分 当且仅当5=1时，棋子经过的路径有3条，分别为0→1→2→3→5， 或0→2→3→5，或0→1→3→4→5， 1x1×1×2+2×1×2+1x2x1×1=2+4+2_16 所以P(5=)=3×3×3x写+与××3十3x写**381278181 …4分 则P=PE=)+PG=2)- 所以若选定规格为X,的地图，游戏成功的概率为8 …5分 1 (2)在规格为X,的地图中， 设事件N=“落到编号为2n且游戏成功”， 则棋子经过的路径为0→1→3→…2n-1→2n→2n+1, P()=33 10 1112)2 33273 32 2-1 所以若选定规格为X,的地图，棋子落到2号格子且游戏成功的概率为 32· …8分 (3)在规格为X,的地图中， 当且仅当5=2时，棋子经过的路径为0→1→3→…→2n-1→2n+1, 12) 所以P5=2)=33 ……9分 当且仅当5=1时，棋子经过的路径有3种情况： 第1种情况，棋子经过的路径为0→1→2→3→…→2n-1→2n+1:共跳了n+2步， 其概率p,= …10分 第2种情况，棋子经过的路径为0→2→3→→2n-1→2n+1;共跳了n+1步， 高三数学参考答案第4页（共8页） 其概率× 2 ……11分 第3种情况，棋子落到第2k(2≤k≤)号格处扣除1枚金币且游戏成功， 共有n-1条路径，则棋子经过的其中一条路径如下： 0→1→3→→2k-1→2k→2k+1→→2n-1>2n+1: 共跳了n+2步，每条路径的概率相等，均为P,= …13分 所以概率为：P(传=)=A+P+(-)P=27 n+6. 21 则P(M)=P(5=+P(5=2)-"+2 ……………14分 27 3 记收益为Y,则Y,的分布列为 Y. 0 10n n+122 27 收益期望E(Y)= 10n(n+12) 2 …15分 27 E(Y)≥E(Y) n2+6n-33≤0 令 E()≥E(Y) 有W+8m-260解得V-4长n2-3, 所以n=3,有E(Y)<E(Y)<E(Y)>E(Y)>…, 200 所以=3时，收益的期望最高，最高期望为 …17分 27 解法二：(1)同解法一： …5分 (2)同解法一： …8分 (3)若要获胜，则要跳2n+1格，至少投掷骰子n+1次，至多经过一个偶数号格， 若落到2k(k>1)号格，则必落到2k-1,2k+1两个奇数号格，即要有两次跳1格， 所以跳1格的次数至多3次（其中有一次可以选择路径0→1,0→2→3） 所以最多掷骰子n+2次，其中跳1格3次，跳两格n-1次. ……9分 设事件C=“游戏最终获胜”， C=“共掷骰子n+1次获胜”，C,=“共掷骰子n+2次获胜”， 则C=C+C,C,C互斥， 共掷骰子n+1次获胜即跳1格1次，跳2格n次， 则可能路径仅能为0→1→3→→2n-1→2n+1, 或0→2→3→…→2n-1→2n+1两种可能性， …11分 共掷骰子n+2次获胜即跳1格3次，跳2格n-1次，则必落到偶数号格一次， 即路径为0→1→…→2k-1→2k→2k+1→…2n-1→2n+1,k=1,2,3,…,n, 所以e)n周= …13分 所以P(C)=P(C+C)=P(C)+P(C)= n+12 …14分 27 以下同解法一； …17分 高三数学参考答案第5页（共8页） 19.解法一：(1)a=-1时，f(x)=e+ln(1-x),xe(-o,). …1分 1 所以f'(x)=e x-11 …2分 又f(0)=1,f'(0)=0, …3分 所以f(x)在(0，f(O)处的切线方程为y=1. …4分 (2)①①当a<0时，f)的定义域为xe(m,),取x=1+ <1, a 所以f <e-alne"7 =-a,不符合要求，故舍去： …5分 0 ②当a>0时，f的定义域为xeo),了)=e-品 设g)=e-x名8=e+品 (x-1) >0,所以g(x)在(1，+∞)单调递增， ao+0=e-10,af+oe-e-+e八e-e-a0 由等应存在定理，玉+云ea+小，使g)e =0, x。-1 则当x∈(L,x)时，g(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(x,+∞)时，g(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)=f()=e-aln(a-a)>-a. …7分 所以x2aln。>-a,即x-+x+1>2na, a a' 1 因为a=c(气-，所以-++1>2ne(c-l月=2x+2n(化-， 整莲得一气-)>2n(飞-)。 …9分 设1=x-1>0,则，-t>2lnt, 设m0-1-21,1>0, 因为m)=1-子白+<0，所以m0在0，+)单酒提减，又m0=0, t 所以t∈(0，)，所以x。∈(1,2).… …11分 又因为lna=x+ln(x,-l)关于x递增，所以lna<2,所以a∈(0，e).…12分 (i)由(i)得f(x)=e-alna(x-1)=e[1-x2+x,-2(x-1)ln(x-)].…13分 令t(x)=e[1-x+x-2(x-1)n(x-1],xe(1,2), 有r(x)=-xe[x+1+2In(x-1)],xe(1,2), …14分 设p(x)=x+1+2n(-1),x∈(1,2)， 因为在区间上率提据，且：)-。-20，得)- -2ln2>0, 所以x∈+日》，使得p(k)-0,即x1+2nk-)=0, 高三数学参考答案第6页（共8页） 当1<x<x时，p(x)<0,t(x)>0,当x<x<2时，p(x)>0,t(x)<0, 所以t(x)在区间(1，x)上单调递增，在区间(x,2)上单调递减， 所以=0)=e0-+x+-=xe,+日到 33 所以xe<二e2, .…16分 2 因为e<ee<e+所以e+ …17分 解法二：(1)同解法一： …5分 (2)①①当a<0时，)的定义域为xe(-m,),取x=1+e兰 -a,不符合要求，故舍去： …5分 a ②当a>0时，f(x)的定义域为x∈(1，+o), 对于e-aln(ar-ad)>-a,两边同除a后再加x,得￡-ln(ar-a)+x>x-l, e*+(x-Ina)>(x-1)+In(x-1). …7分 设函数h(x)=e+x,易知h(x)在(0，+o)单调递增， …8分 所以原式化为h(x-lna)>h(n(x-l),(也可构造h(x)=lnx+x) 由单调性得x-lna>ln(x-1),即lna<x-ln(x-),x∈(（L,+o)恒成立，…l0分 设h()=x-n(x-),r()=-2 x-11 x∈(L,2)时，(x)<0,h(x)单调递减；x∈(2，+∞)时，h(x)>0,h(x)单调递增； h(x)n=h(2)=e2,所以a∈(0，e2).… …12分 (也可这样同构： e'-aln(ax-a)>-a(x-1)e'>a(x-1)[In(a(x-1))-1]=[In(a(x-1))-1]e", 构造h(x)=(x-l)e,若In(a(x-)≤0显然成立，若ln(a(x-)>0, 由h(x)=(x-)e在(0，+o)递增，则h(x)>h(n(a(x-1)台x>ln(a(x-1), 综上，转化为x>n(a(x-1)) (ii)由(i)知a∈(0，e), 当a>0时，f()的定义域为x∈(1，+∞)，f'()=e-a -11 设s(-ex28)-e+ (x-1)月 >0,所以8(x)在(1，+0)单调递增， g(a+)=e-1>0,g1+a）=e品-(a+e)≤e安-e-a<0, 、a2+e2月 由零点存在定理，3（+4ea+小使)=e号 当x∈(1，x)时，g(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(x,+o)时，g(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(x), …14分 高三数学参考答案第7页（共8页） 所以f(2)=e2-alna=f(x),…15分 n(x)=-xInx,n'(x)=-1-Inx, x0,时，n()>0,m)单调递增，∈时，n()0,n()单调递减， e 所以。所以当ae)时，-h 1 e 所以f(2)=e2-alha≤e2+ 所以f()<f(2)≤e+,得证. …17分 解法三：(1)同解法一； (2)①①当a<0时，f)的定义域为xe(-m,),取r=1+ a …5分 ②当a>0时，f(x)定义域为(1，+o). 由f(x)>-a,得f(2)>-a,即e2-alna>-a,即e2>alna-a,…6分 令k(a=alna-a,得k'(a=lna+1-l=lna,令k'(a=0,得a=l, 当0<a<1时，k'(a<0,当a>1时，k'(a>0, 所以k(a)在区间(0,1)上单调递减，在区间(L,+∞)上单调递增， 所以k(a)m=k()=-1,且a→0时，k(a)→0，a→+o时，k(a)→+o, 因为k(e)=e2lne2-e2=e2>k(a,解得：0<a<e2. …8分 下面证明当0<a<e2时，f(x)>-a. n(x)=f(x)+a=e'-aln(x-1)-alna+a, 则n(x)=e-a在区间(L,+切)上单调递增， x-1 wCa)-a0)0 所以3e2).使得()=0.即e名=0，即hx-小=ng- 当1<x<x时，n'(x)<0,当x>x时，n'(x)>0, 所以n(x)在区间(1，x)上单调递减，在区间(x,2)上单调递增， 所以n()=nx)=e*-aln(k-）-alna+a=a-2alna+a+a,10分 七。-1 因为22alha++a=号tak-+2a-2 aat-2ana=2a(Q-na. 又因为0<a<e2,所以2a(2-lna>0,所以n(x)≥n(x)>0, 所以当0<a<e2时，f(x)>-a. 综上，a的取值范围为(0，e). …12分 (i)同法一. 高三数学参考答案第8页（共8页）