精品解析：海南华侨中学等校2025-2026学年九年级下学期数学第一次学情自测

海南华侨中学2025-2026学年九年级下学期第一次月考试题 数 学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 2. 当时，代数式的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是（ ） A. 熊猫馆 B. 孔雀馆 C. 鸵鸟馆 D. 金丝猴馆 8. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应满足（ ） A. B. C. D. 11. 飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（ ）． A. B. C. D. 12. 某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 请写出一个比1小的无理数：______． 14. 分解因式：_______________． 15. 如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________． 16. 如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG． （1）当，且时，四边形AEGF的面积为_________； （2）的最小值为_________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与化简： （1）； （2）． 18. 河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 19. 在某校的“校园科技文化节”活动中，学校组织评委对七、八年级的所有参与科技小制作活动的作品进行了评分．现从七、八年级的参赛作品得分中分别随机抽取了20个得分（百分制且得分用x表示），然后对抽取的数据进行整理和分析，共分为四组： ，下面给出了部分信息． 抽取的七年级科技小制作的所有评分数据： 65，72，73，76，78，79，84，85，85，85，86，88，89，89，94，96，98，99，99，100． 抽取的八年级科技小制作的评分数据中C组包含的所有数据： 86，87，87，87，88，88，89，89． 抽取的七、八年级科技小制作的评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 86 85.5 b 94.5 八 86 a 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _________， _________， _________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的科技小制作的水平更高一些？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次七年级参与科技小制作并进行评分的同学有700名，八年级参与科技小制作并进行了评分的同学有800名，估计两个年级评分为优秀（）的学生总人数． 20. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 21. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 22. 四边形是正方形，、分别是，边上两点，且满足，连接和交于，连接． （1）【探究发现】如图，数学兴趣小组探究发现，无论点在何处，总有，且，请证明这个结论． （2）【类比应用】当是边中点，经过度量后发现，兴趣小组的同学经过自主探究后，小明和小雅各给出了一种方法． 小明思路：延长和交于，可证得，可得是中点，即是斜边中线，所以． 小雅思路：过作于，延长交于，可证得，可得是中点，得到是的垂直平分线，所以． 如图，若，是边上一点，且，连接，请类比上面的其中一种方法说明． （3）【拓展应用】如图，若，是延长线上一点，当______时用含的式子表示，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2025-2026学年九年级下学期第一次月考试题 数 学 （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、单选题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 2. 当时，代数式的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，将代入代数式，直接计算即可得出结果． 【详解】将代入代数式，得：． 故选C． 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 4. 2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到亿公里．亿，将374000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将374000000用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握平方差公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则判断选项A；根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断选项B；根据同底数幂的乘法运算法则判断选项C；根据平方差公式判断选项D即可． 【详解】解：A． ，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 故选：C． 6. 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，求解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， ∴， 故选：D． 7. 如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是（ ） A. 熊猫馆 B. 孔雀馆 C. 鸵鸟馆 D. 金丝猴馆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对表示实际位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．由平面地图可知，横线和竖线相交的地方就是景点位置． 【详解】解：由平面地图可知，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是熊猫馆， 故选：A． 8. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 9. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设设 (V＞0)，把（2.4，50）代入得到k=120，推出 (V＞0)，当P=100时，V＝，由此即可判断． 【详解】解：∵根据题意可设 (V＞0)， 由题图可知，当V=2.4时，P=50， ∴把（2.4，50）代入得到 解得：k=120， ∴ (V＞0)， 为了安全起见，气球内的气压应不大于100kPa，即， ∴V≥． 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式． 11. 飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处的圆弧，列车在转弯时起点为A，终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，转角为．若圆的半径，则长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ∵过点的两条切线相交于点， ， ， ， 故选：B． 12. 某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 请写出一个比1小的无理数：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则计算即可． 本题考查了实数的大小比较，解题的关键是明确无理数的取值范围． 【详解】解：， ． 又∵ 是无理数， ∴是无理数，故一个比1小的无理数可以是 故答案为：（答案不唯一）． 14. 分解因式：_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，直接根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 15. 如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，作合适的辅助线是解题的关键． 过作交于，由角平分线的性质可得，，再解即可． 【详解】解：过作交于， 为内角平分线的交点， ，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点E在边长为2的正方形ABCD内，且，点F是边AD的中点，点G是边CD上的一动点，连接EG，FG． （1）当，且时，四边形AEGF的面积为_________； （2）的最小值为_________． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，得E为正方形ABCD的中心，由DG=GC，证得G，E，H三点共线，进而推出四边形AFGE为平行四边形，最后求得面积； （2）由，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点，连接O，线段即为所求． 【详解】解：（1）取AB的中点H，连接EH， ∵AE⊥EB，AE=EB， ∴EH垂直平分AB，E为正方形ABCD的中心， 又DG=GC， ∴G，E，H三点共线， ∴GH⊥AB， ∵AD⊥AB， ∴AD∥EG， ∵F，E分别是AD，GH的中点， ∴GE=AF， ∴四边形AFGE为平行四边形， ∴四边形AEGF的面积为1×1=1． 故答案为：1； （2）由，可知点E在以AB为直径的圆O上运动，作点F关于CD的对称点，连接O， ∵， ∴FG+GE=G+GE≥E， 当，G，E三点共线时，FG+GE有最小值， 在Rt中， ， ∴=， 即FG+GE最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题，以及动点轨迹的探究，能够准确地判断动点的轨迹和找出最短路径是解决问题的关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 【答案】冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设冰箱售价为元，电视机售价为元，根据小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设冰箱售价为元，电视机售价为元； 根据购买冰箱和电视机，共获补贴1100元，列得方程： ， 解方程得：， ， 答：冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元． 19. 在某校的“校园科技文化节”活动中，学校组织评委对七、八年级的所有参与科技小制作活动的作品进行了评分．现从七、八年级的参赛作品得分中分别随机抽取了20个得分（百分制且得分用x表示），然后对抽取的数据进行整理和分析，共分为四组： ，下面给出了部分信息． 抽取的七年级科技小制作的所有评分数据： 65，72，73，76，78，79，84，85，85，85，86，88，89，89，94，96，98，99，99，100． 抽取的八年级科技小制作的评分数据中C组包含的所有数据： 86，87，87，87，88，88，89，89． 抽取的七、八年级科技小制作的评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 86 85.5 b 94.5 八 86 a 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _________， _________， _________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的科技小制作的水平更高一些？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次七年级参与科技小制作并进行评分的同学有700名，八年级参与科技小制作并进行了评分的同学有800名，估计两个年级评分为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）87，85，20 （2） 八年级的科技小制作的水平更高一些； 理由：从中位数看，八年级的中位数比七年级高；从方差来看，八年级的成绩更稳定． （3）两个年级评分为优秀的学生总人数约为名 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，扇形统计图，用样本估计总体； （1）根据中位数和众数的定义求出a，b，计算出八年级中C组所占百分比，然后可得； （2）可以从中位数或方差进行判断； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵八年级中A，B组共有人， ∴第11，12名的成绩分别为87，87， ∴， ∵七年级中得85分的人数最多， ∴， ∵八年级中C组所占百分比为， ∴， ∴， 故答案为：87，85，20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级评分为优秀的人大约为：（名）； 八年级评分为优秀的人大约为：（名）； 所以两个年级评分为优秀的学生总人数约为（名）． 20. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， ， （3）①当时，图象所表示的函数的最大值为；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点作轴于点，交于点，由点和点的坐标得出直线的解析式，用表示出点、点和点的坐标，再表示出，然后根据四边形的面积，写出关于的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案； （3）①由（）条件下的、、的值，写出和的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值； ②求得两个特殊点时，的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴于点，交于点， ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为，， 又∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交于点，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为， ∴，，， ∴，， ， ∴， 又∵四边形的面积，， ∴， 又∵与之间的函数关系式为， ∴，，； 【小问3详解】 解：①由知，，， ∴的解析式为；的解析式为； ∴的对称轴为，的对称轴为， ∵，中，中， ∴当或3时，取最小值为，当时，取最大值为； 当时，取最大值为，当时，取最小值为； ∵图象、合起来得到的图象记为， ∴当时，图象所表示的函数的最大值为； ②∵线段的两个端点坐标分别为、， ∴且轴， ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； 综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质对称轴、最值等、图形面积计算以及函数图象交点问题．熟练掌握二次函数的相关性质和待定系数法，灵活运用图形面积的转化与函数交点的分析方法是解题的关键． 22. 四边形是正方形，、分别是，边上两点，且满足，连接和交于，连接． （1）【探究发现】如图，数学兴趣小组探究发现，无论点在何处，总有，且，请证明这个结论． （2）【类比应用】当是边中点，经过度量后发现，兴趣小组的同学经过自主探究后，小明和小雅各给出了一种方法． 小明思路：延长和交于，可证得，可得是中点，即是斜边中线，所以． 小雅思路：过作于，延长交于，可证得，可得是中点，得到是的垂直平分线，所以． 如图，若，是边上一点，且，连接，请类比上面的其中一种方法说明． （3）【拓展应用】如图，若，是延长线上一点，当______时用含的式子表示，． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， 故，， ， ， 即， 即无论点在何处，总有，且． （2） 证明：类比小明思路： 如图所示，延长、交于点， ， ， ， 设，，则， ， ，，， 故，即为的中点， 又， 为的中线， ． 类比小明思路： 作于点，交于点，反向延长交的延长线于点，如图所示， 则，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ， 设，，． ． ， ， ，设， 故，． ， ， 解得， 故，， 即， ∵， ∴， 即， ∴点为的中点， ∴为线段的中垂线， ． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等的结论即可证明，； （2）类比小明思路：延长、交于点，证明，得到，设，，则，得，，，故，得为的中点，进而得为的中线，从而证明结论； 类比小明思路：作于点，交于点，反向延长交的延长线于点，易知四边形为平行四边形．根据，设，，由平行证明，得，设，则，又，根据列方程，解得，故，，即证明，进而可得为的中点，从而知为线段的中垂线，证明结论． （3）作于点，交于点，交于点，由，可得，即由平行关系证明∽，设，则，再说明为的中点，可得故，而，易知四边形为平行四边形，则，从而得方程，整理可得，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，作于点，交于点，交于点， ， ，即． ， ，设， ，． ， 为的中点，从而为的中点， ． 故， 则 ， ∵，， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 即， 整理可得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并能类比推理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $