精品解析：湖南郴州市2026年中考第二次模拟监测 数学

2026年中考第二次模拟监测 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定，的正负性，再结合绝对值的性质、不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，在原点左侧，在原点右侧， ， ，，， 故B，C，D错误， 又， ，故A正确． 2. 如图是一款郴州特产狗脑贡茶的正六棱柱形茶罐，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵左视图能看到左侧的两个侧面，且这两个侧面在投影面上宽度相等， 左视图是由两个宽度相等的长方形并排组成的图形． 观察选项，只有B符合． 3. 截至1月29日8时，2024年央视春晚新媒体端直播收视次数达2130000000次，将数据2130000000用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A．，A错误． 选项B．与不是同类二次根式，不能合并，B错误． 选项C．，C错误． 选项D．，D正确． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：  解不等式 ，得   不等式组的解集为  在数轴上表示为： 6. 某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】分别用每个项目的成绩乘以其权重，再将所得结果相加即可得到总成绩． 【详解】解：小明的模拟训练成绩． 7. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 故选B. 8. 如图，某市排水防涝改造项目中，一条公路的两侧铺设、两条平行管道，现将纵向管道改成管道．已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 即， ∵，， ∴， ∴． 9. 在任意中，通过尺规作图得到射线（作图痕迹如图所示），交边于点E，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图方法可知，平分，则，由平行四边形的性质结合平行线的性质可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A的结论正确，符合题意； 根据现有条件无法得到，故B、C、D的结论错误， 不符合题意 ． 10. 已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵溶质的质量溶液质量浓度，甲、丙在反比例函数图象上， ∴甲、丙两种溶液的溶质的质量相等， ∵乙在函数图象上方，丁在函数图象下方， ∴乙种溶液的溶质的质量>甲、丙两种溶液的溶质的质量，丁种溶液的溶质的质量<甲、丙两种溶液的溶质的质量， ∴四种溶液的溶质质量最大的是乙． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式a可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 12. 某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件 ∴当B型机器人每小时分拣x件时，A型机器人每小时分拣件 ． 13. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度得到点，则点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据右加左减，上加下减的规律作答即可． 【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度得到点， ∴点坐标为即． 14. 某校开展“书香校园”活动，将印有“书”“香”“致”“远”四张卡片放入盒中，从中随机抽取1张，则抽取到的卡片上印有汉字“书”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定符合条件的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：总共有4张卡片，即所有等可能的结果数为4，印有“书”的卡片只有1张，即符合条件的结果数为1， ∴（抽到“书”）． 15. 图1所示是我国古代园林连廊常采用正八边形窗户设计，图2是正八边形窗户的示意图，它的一个外角为__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和等于，正多边形的每个外角相等，用除以边数即可求解． 【详解】解：多边形的外角和等于，且正八边形的每个外角相等， ． 16. 如图，在中，，．将沿折叠，点B的对应点为D，E为的中点．线段的端点M，N在，上滑动，． （1）若，则__________； （2）下列结论正确的是__________．（写出所有正确的答案） ①； ②； ③M，N两点不可能同时为线段，的中点． 【答案】 ①. ②. ②③ 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据是的中线，不是的角平分线，得到①错误；再根据勾股定理得到，根据可得到②正确；若M，N两点同时为线段，的中点，故是的中位线，求出，故③正确． 【详解】（1）由题意可得，四边形是正方形，， 在中，； （2）由题意可知，， E为的中点， 是的中线，不是的角平分线， 故，①错误； ， 在中，， ， ，②正确； 若M，N两点同时为线段，的中点， 故是的中位线， ，③正确； 综上，正确的有②③． 三、解答题（本大题共8个小题，第17-21题，每小题8分，第22-23题，每小题10分，第24题，12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，接着计算乘法，最后从左到右计算即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简和代入求值，利用完全平方公式和整式的乘法将整式展开再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】 当时， 原式 19. 如图，在中，，D，E分别是，的中点．过点A作交的延长线于点F，连接． （1）已知__________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号①或②） 在（1）的条件下，再解决下列问题： （2）求证：四边形是平行四边形； （3）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）①（或②） （2） 证明：选①：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 选②：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形； （3） 解：选①：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， 即， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 选②：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴， 即， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）任选其一即可； （2）选①：根据中位线定理得到，即可证明四边形是平行四边形； 选②：根据中位线定理得到，根据，得到，即可证明四边形是平行四边形； （3）选①：根据平行四边形的性质得到，根据中位线定理得到四边形对角线互相平分，根据得到四边形对角线相等，可知四边形是矩形； 选②：根据平行四边形的性质得到，根据中位线定理得到四边形对角线互相平分，根据可知四边形是矩形； 【小问1详解】 解：已知①（或已知②）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校数学兴趣小组为调查七、八年级学生寒假参加志愿服务情况，将志愿服务时间x（单位：分钟）分为四组（A组：；B组：；C组：；D组：）． 信息一：随机调查七年级20名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 20，20，20，30，30，30，30，30，30，40，40，40，40，40，40，40，40，40，60，60． 【分析数据】众数为m，方差为114． 信息二：随机调查八年级若干名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 【分析数据】众数为30，方差为． 【解决问题】请结合以上信息，解决下列问题： （1）通过信息一，可得__________； （2）通过信息二，可得： 随机调查八年级学生的人数是__________人； 扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于__________度； 补全条形统计图； （3）此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是__________年级学生（填“七”或“八”），说明理由； （4）已知该校八年级学生人数为500人，请估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数． 【答案】（1）40 （2）20；；补全统计图如下： （3） 此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是八年级学生，理由如下： ∵七年级的方差为114，八年级的方差为，且， ∴此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是八年级学生； （4）250人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得答案； （2）用八年级D组的人数除以其人数占比可求出八年级参与调查的人数，用360度乘以扇形统计图中C组的人数占比可求出对应的圆心角对数；求出条形统计图中B组的人数，再补全统计图即可； （3）根据方差越小，参加志愿服务时间越均匀可得答案； （4）用500乘以样本中八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级寒假参加志愿服务时间为40分钟的人数最多， 故； 【小问2详解】 解：人， ∴随机调查八年级学生的人数是20人， ∴扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于，条形统计图中B组的人数为人， 补全统计图略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：人， 答：估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数为250人． 21. 某公司准备购进洗衣液和洗洁精两种产品．已知洗衣液的单价比洗洁精的单价便宜2元，用80元购买洗衣液和用100元购买洗洁精的数量相等． （1）求洗衣液和洗洁精的单价各是多少元？ （2）某公司准备购进这两种产品共200瓶，且洗洁精的数量不少于洗衣液数量的，当购进洗衣液多少瓶时，所花费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）洗衣液单价8元，洗洁精单价10元 （2）购进洗衣液120瓶时，所花费用最少，最少费用为1760元 【解析】 【分析】（1）设洗洁精的单价为元，则洗衣液的单价为元，利用“数量总价单价”结合购买数量相等的条件列分式方程求解； （2）设购进洗衣液瓶，总费用为元，先列出总费用的一次函数解析式，再根据不等关系求出自变量取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最小费用． 【小问1详解】 解：设洗洁精的单价为元，则洗衣液的单价为元， 根据题意得 方程两边同乘得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 因此是原分式方程的解．， 答：洗衣液的单价是8元，洗洁精的单价是10元； 【小问2详解】 解：设购进洗衣液瓶，总费用为元，则购进洗洁精瓶．根据题意得， 根据题意得不等关系， 解不等式得， ∵购进洗衣液的瓶数不能为负数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 答：当购进洗衣液120瓶时，所花费用最少，最少费用为1760元． 22. 某研学基地为了遮阳和防雨，搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆所在直线．用绳子拉直“天幕”后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上．通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合大小．已知“天幕”，． （1）天晴时打开“天幕”，使得，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减小到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）点下降的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，是轴对称图形，直线为其对称轴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：遮阳宽度约为； 【小问2详解】 解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，在中，， 当时，在中，， ∴， 答：点下降的高度约为． 23. 【动手操作】如图1，在矩形纸片中，在边上取一点E，连接．沿着直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 将三角形纸片置于四边形纸片上方，使得点与点重合，点在边上．连接，交边于点．连接，分别交线段，于点，，如图3所示． 【问题解决】在图3中，请解决下列问题 （1）__________度； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由题意得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，结合矩形得出，证明是等腰直角三角形，即可得出； （2）先由和证是等腰直角三角形得，结合对顶角相等证得对应角相等，再结合等腰直角三角形的角证，最后由相似三角形对应边成比例交叉相乘即可得证； （3）设，由得，用勾股定理和等腰直角三角形性质求出、、，再利用证求出和，接着通过求出，通过求出，最后用减去和得到，进而求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，设，则， ∴，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 24. 已知抛物线与抛物线交于，两点． （1）求b，c的值； （2）如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：； （3）如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） 证明：由（1）可知，抛物线为， 当时，，即， ∴， 抛物线，当时，，即， ∴， ∴，即． （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）由与抛物线相交可得，，可得，，即可证明结论； （3）由条件可得，再由，可得，可得当时，四边形的面积最大值是，再分在对称轴的左边和右边两种情况即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在． ∵直线与两条抛物线分别相交于点M，N， ∴，， ∴， 如图，过点作于点，设交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大值是， ∵， ∴四边形的面积存在最大值为， 当时，在对称轴的左边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 当，即时，在对称轴的右边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 综上所述，a的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟监测 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）     A. B. C. D. 2. 如图是一款郴州特产狗脑贡茶的正六棱柱形茶罐，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至1月29日8时，2024年央视春晚新媒体端直播收视次数达2130000000次，将数据2130000000用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某市排水防涝改造项目中，一条公路的两侧铺设、两条平行管道，现将纵向管道改成管道．已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 在任意中，通过尺规作图得到射线（作图痕迹如图所示），交边于点E，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解： ____________． 12. 某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 13. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度得到点，则点坐标为__________． 14. 某校开展“书香校园”活动，将印有“书”“香”“致”“远”四张卡片放入盒中，从中随机抽取1张，则抽取到的卡片上印有汉字“书”的概率为__________． 15. 图1所示是我国古代园林连廊常采用正八边形窗户设计，图2是正八边形窗户的示意图，它的一个外角为__________度． 16. 如图，在中，，．将沿折叠，点B的对应点为D，E为的中点．线段的端点M，N在，上滑动，． （1）若，则__________； （2）下列结论正确的是__________．（写出所有正确的答案） ①； ②； ③M，N两点不可能同时为线段，的中点． 三、解答题（本大题共8个小题，第17-21题，每小题8分，第22-23题，每小题10分，第24题，12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求c的值． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，D，E分别是，的中点．过点A作交的延长线于点F，连接． （1）已知__________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号①或②） 在（1）的条件下，再解决下列问题： （2）求证：四边形是平行四边形； （3）判断四边形的形状，并说明理由． 20. 某校数学兴趣小组为调查七、八年级学生寒假参加志愿服务情况，将志愿服务时间x（单位：分钟）分为四组（A组：；B组：；C组：；D组：）． 信息一：随机调查七年级20名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 20，20，20，30，30，30，30，30，30，40，40，40，40，40，40，40，40，40，60，60． 【分析数据】众数为m，方差为114． 信息二：随机调查八年级若干名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 【分析数据】众数为30，方差为． 【解决问题】请结合以上信息，解决下列问题： （1）通过信息一，可得__________； （2）通过信息二，可得： 随机调查八年级学生的人数是__________人； 扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于__________度； 补全条形统计图； （3）此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是__________年级学生（填“七”或“八”），说明理由； （4）已知该校八年级学生人数为500人，请估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数． 21. 某公司准备购进洗衣液和洗洁精两种产品．已知洗衣液的单价比洗洁精的单价便宜2元，用80元购买洗衣液和用100元购买洗洁精的数量相等． （1）求洗衣液和洗洁精的单价各是多少元？ （2）某公司准备购进这两种产品共200瓶，且洗洁精的数量不少于洗衣液数量的，当购进洗衣液多少瓶时，所花费用最少？并求出最少费用． 22. 某研学基地为了遮阳和防雨，搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆所在直线．用绳子拉直“天幕”后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上．通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合大小．已知“天幕”，． （1）天晴时打开“天幕”，使得，求遮阳宽度（结果精确到）； （2）下雨时收拢“天幕”，从减小到，求点E下降的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 23. 【动手操作】如图1，在矩形纸片中，在边上取一点E，连接．沿着直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 将三角形纸片置于四边形纸片上方，使得点与点重合，点在边上．连接，交边于点．连接，分别交线段，于点，，如图3所示． 【问题解决】在图3中，请解决下列问题 （1）__________度； （2）求证：； （3）若，求的值． 24. 已知抛物线与抛物线交于，两点． （1）求b，c的值； （2）如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：； （3）如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $