精品解析：2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷

郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测 数学 （试题卷） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目． 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中最小的一个数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为：； 故选：B． 2. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将数据126000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形， 的左视图是， 故选B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ） A. 176 B. 188 C. 190 D. 191 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数，按照定义求解即可． 【详解】解：该组数据从小到大排序为：176， 188，190，191，191，共5个数，第3个数是190， 即中位数是190， 故选C． 7. 如图，，，，则的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点所在象限的判定，掌握平面直角坐标系的特点是关键． 根据平面直角坐标系中各象限中点的符号特点判定即可，第一象限点的符号，第二象限点的符号，第三象限点的符号，第四象限点的符号． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D ． 9. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找出等量关系． 根据两种分配方案的人数相等这一等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，半斤8两， 根据两种分配方案的人数相等可列如下方程： ． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象上的“和谐点”在第二象限 B. 函数图象上有两个“和谐点” C. 函数图象上只有一个“和谐点” D. 函数图象上的“和谐点”的横坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数，二次函数图形点的特点，理解新定义的计算方法是关键． 点的关系为，即，由此代入一次函数，二次函数解析式中计算即可求解． 【详解】解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即， A、函数， ∴， 解得，，则， ∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意； B、函数， ∴，整理得，， 解得，，则对应的， ∴“和谐点”为， ∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意； C、函数， ∴，整理得，，无解， ∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意； D、函数， ∴，整理得，， 解得，，则， ∴“和谐点”为， ∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的绝对值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，掌握是解题的关键． 【详解】解：； 故答案：． 12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程中，求出的值即可． 【详解】将代入方程中，得 ， ， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 13. 将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率．根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是， 故答案为：． 14. 某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的函数值，将代入计算即可． 【详解】解：当时，（分钟）， 故答案为：5． 15. 如图，，．若，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 16. 校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：米，， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即的最小值为3． 故答案为：3． 18. 小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 17 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：， 不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：， 由题意得， 解得， 所以排队人数m的最小值为17， 故答案为：；17． 三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查0指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值．根据0指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．用加减消元法求出其中一个未知数的值，将求出的未知数的值代入其中的一个方程求解，即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 21. 某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）； （3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数． 【答案】（1）50，40，72 （2） 补全图形如下： （3）720人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，利用样本估计总体． （1）用A等级人数除以所占百分比可得参赛总人数，进而可求出m，； （2）总人数减去A，C，D人数可得B等级人数，再补全图形即可； （3）用学校总人数乘以“B等级”的人数所占百分比可得答案． 【小问1详解】 解：该班参加竞赛的学生有（人）， 扇形统计图中，， 圆心角， 故答案为：50，40，72； 【小问2详解】 解：B等级人数为：（人）， 【小问3详解】 解：（人） 答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人． 22. 某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A、B两款吉祥物的销售单价； （2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； （2）当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款吉祥物的销售单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意可以得到利润与购买A款吉祥物数量的函数关系，然后根据B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，可以求得A款吉祥物数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是多少元． 【小问1详解】 解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元， 根据题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； 【小问2详解】 解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元， ， ∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍， ∴， 解得，， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 120-x=40， 答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 23. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）． 求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2） 解：选择①平分； 证明：平分， ， ∵是线段垂直平分线， ∴，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 为菱形． 选择②点G为中点， 证明：∵是线段垂直平分线， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∵是线段垂直平分线， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定定理． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可； （2）选择①平分，先证明四边形为平行四边形，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．选择②点G为中点，先证明是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质求得，即可证明四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：，，． 素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数） 【答案】 任务一：篮球架安装合格，理由如下， ∵， ∴，合格， 如图所示，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，合格， 综上所述，篮球架安装合格； 任务二：篮球架的伸臂距离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键． 任务一：根据题意得到，合格，如图所示，过点作，根据平行线的判定可得，合格，由此即可求解； 任务二：如图所示，过点作于点，则，可得，设米，则，可得米，根据题意得到，是等腰直角三角形，则，即，由此即可求解． 【详解】解：任务一：略 任务二：如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 设米，则， ∴米， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴米， ∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，． ①求点P的坐标； ②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入对应抛物线解析式中计算求解即可； （2）①过点P作轴于H，交于G，先求出，直线解析式为；再证明，得到；设，则，则，解方程即可解题； ②先求出抛物线的解析式为；点F的坐标为；再求出直线解析式为，则，可证明是等腰直角三角形，得到；再分如图2所示，当点N在y轴右侧时，如图3所示，当点N在y轴左侧时，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得，解得； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点P作轴于H，交于G， 由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， 在中，当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； ②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； ∵点F为点P平移后的对应点， ∴点F的坐标为，即； 由①同理可求得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如2图所示，当点N在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴； 如2图所示，过点N作轴于K， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 把代入中得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K， 同理可得， ∴， 设， ∴， 把代入中得：， 解得（舍去）或， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的中与判定，一次函数与几何综合，勾股定理等等，解（2）①的关键在于作出辅助线构造相似三角形，解（2）②的关键在于证明． 26. 如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∵过点作，即， ∴， ∴； （2）①； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可知，，且， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解； （2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解； ②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵是直径，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵所对圆周角是，所对圆心角， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测 数学 （试题卷） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目． 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中最小的一个数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ） A. 176 B. 188 C. 190 D. 191 7. 如图，，，，则的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 8. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象上的“和谐点”在第二象限 B. 函数图象上有两个“和谐点” C. 函数图象上只有一个“和谐点” D. 函数图象上的“和谐点”的横坐标为 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的绝对值是 _______． 12. 已知关于的方程的一个根为2，则的值为________． 13. 将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________． 14. 某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟． 15. 如图，，．若，则________度． 16. 校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）． 17. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 18. 小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）； （3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数． 22. 某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A、B两款吉祥物的销售单价； （2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，点D为线段上任意一点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）． 求证：四边形是菱形． 24. 综合与实践 目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪测得：，，． 素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，） 任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）． 任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数） 25. 在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，． ①求点P的坐标； ②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长． 26. 如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $