辽宁大连第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

大连市第一中学2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若tana=3,则sin2a=( 83 C. 2 5 D. 3 2.设a=7sin96-5 0s84,6=2tan13 1-cos50° 1-tan2130c= ,则有() 2 A.b<c<a B.a<b<ct C.c<b<a D.a<c<b .3.下列函数中，其图象与函数y=sin2x的图象重合的是( A.y=2sincos B.y=2sinxcos C.y=2sincosx D.y=2sincosx 4.记△ABC的面积为S,△ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2B-sin2C,则C=（) C.2 D.3n 3 4 5.如图所示，△MBC的三条边均与圆O相切，其中BC=20, ∠ABC=120°，∠ACB=20°，则圆O的半径约为（) 下×B cos10°≈0.985) 70 A.5.861 B.5.674C.5.076 D.4.926 1R0 6.已0<a<经0<B<号且3simB=sn(2a+吲，则amB的最大值为（) A.② B.2 C.1 4 2 7.已知函数/(x)=3sinx+4cosx在x=x,处取得最大值，若g(x)=3cosx-4sinx在x=为处 取得最大值，则x与x的关系可能为 () 长-=经B-名=至C58 5π 0.4-x受 高一数学试控第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 8.在△ABC中，已知AB.AC=9,sinB=cos小：sinC,三bcsin A=6,P为线段AB上的- 2 点，且CP=x, CA CB 则一+一的最小值为 'x y 7+2万 A. B.7+3V2 C.7+2V6 0.7+45 12 12 12 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有一 项或多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的有 A.-120°是第三象限角 B.若扇形的圆心角为2rad,半径为3，则弧长为6面积为9 C若，阝为第二象限角，且sina>sinB,则tana>tan3 D.sin(cos(x)与cos(sin(x))值域相同， 10.在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确的是( A.若a=5,b=8,A=30°，则三角形有两解 已知向量前=(sinA,cosA),方=(3，V3),若而与的夹角为锐角，则A的取值范围为(0， C.若B>90°，C=60°，则色的取值范围为(2，+o) D.若△ABC的外心为0，且c=6,b=4,则A0.BC=-10. 11.已知函数f(x)=2sin(ox+p)(w?0,0<p<π)的部分图象如图，则下列结论正确的是(） A0的值为号 B.函数∫(x)的图象关于直线x=-T对称 6 17π C.若函数∫(x)恰有4条对称轴和3个零点落在区间[0，]内，则 实数m的取值范围是 10π23π 9'18 D.若方程far)=)(a>0,且a*1)在Q背)内至少有3个不同的根，则实数a的取 高一数学试卷第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 值范围是 17 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知函数f(x)=tan@x(ω>0)的单调递增区间为 受-+ 8 ,k∈Z,则函数 8W=2(sinx+)的最小正周期为 13. 已知向量a=(1-入，5)，五=(2,2)，若(a+)1(a-),则a在6上的投彤向量的坐标是 - 14.已知Vx∈[0,1]，x2sin0-x(1-x)+(1-x)2cos0>0.则0的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 已知角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3). cos r-asn9+a-2sin(x+acos(←a） 2 (1)求 (2 a pint-a-a) 的值. cos 16.（15分) 己知cosa=7 如(e+月=9，aa0:la.求 (1)sina的值： (2)cos(a+B)的值： (3)B的值. 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, (c-2a)cosB=b(2coSA-3sinC). (1)求B: (②)若D是边AC上靠近A的三等分点，4=2，BD=25, 求△ABC的面积： 3 (3)若BD是∠ABC的角平分线，a=2,BD=25 ,求6的长 尚一数学试卷第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 18.（17分)已知函数f(x)=cos4x-sin4x+2V3 sinx cosx, ()将函数()的图象向左平移亞个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原 来号纵坐标不变，得到函数6)的图象，若关于的方是因+子0在[后引 3 上有两个不 相等的实数根x,x2,求cos3(:-x2)的值. ②设g刻=simx+eos,若方程则女-》2g()-0在x0到上有解，求实数加的取 值范围。 19.(17分) 2 如图，设Ox、Oy是平面内相交成a(0<a<π)的两条射线， g、马分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系x0y 为xOa1仿射坐标系，在xOya仿射坐标系中，若 E 0P=xg+y吧，则记0P=(xy): B ()在0)仿射坐标系中，若ā=(V5,,求同： ②在01a仿射坐标系中，若a=(-1,3),6=(-3,,且ā与石的夹角为行， 求sina: 3)如图所示，在0周仿射坐标系中，8、C分别在x轴、y轴正半轴上， BC=1, O=乙OC,E、F分别为BD、BC中点，求O正.OF的最大值. 10 岛一敌学试卷第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 2025-2026下学期高一数学参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 女 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A C A C D AB ACD ACD 11题解【答案】ACD 【分机】A逃项很据/得到p=若：B泌项由子股号得到号0音 17 再由f π 18 =0得到0= 36,.1 k+ ,k∈Z,进而得到k=1,o=3,f(x)的图象不关于直 17 1 线x=-刀对称，B错误；C选项，整体法得到3m+刀∈ 7 ,4 得到C正确；D选项， 6 6 2 先考虑临界情况，再得到α的取值范围. 【详解】对于A选项，由题意得f(o)=l,即2sinp=1,sinp= 1 2 且在r=0附近单调递增，又0<p<元，故0=”，A正确： 6 对于B选项，由题意得？<17π<37 4182 又0>0， 故2二<1<2红，解得5<0 54 401820 17 17 又）0。且酒数在：附近单调迷操 18 即2sin 17π0π 186 =0,17π0+=(2k+)元，keZ. 186 解得0=36k+ 17kez. 15 17 6 又keZ.故k=1,所以w=36+15-3. 1717 -2sn3x+引故引2sn(子+5 所以f(x)的图象不关于直线x=-”对称，B错误； 6 对于C项.3+管[后训+名 高一数学期中答案1 若函数了)哈有4条对称轴和3个号点落在区间Q川内。则3加+石[经 10π23π 解得m∈ C正确， 9 18 对于D选项，由于/ 18 2sin2π=0， 由于a>0,且a≠1，f(ax)在f(x)的基础上，纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的 要想方程四)-(a>0,且a)在〔0)内至少有3个不同的根 先考虑临界情况，如图， y=f(x) 18 ly=f(ax) 此时f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在 11元 0,18 内有2个不同的根， 且满足x=1l匹时，f(a)=f(成立， 18 即2sin 11π，π 3a× =2sin3× 11元，元 18+6 186 结合图象的单调性，可知3a× l+=3×1l++元， 186 186 17 解得a= 11 当a∈ +o时，f(αc)纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足 17 方程f(ax)=f(x)（a>0,且a≠1)在0， 1π 18 内至少有3个不同的根， 实数a的取值范围是ae 17 D正确 故选：ACD 高一数学期中答案2 二、填空题：12.π 13.(1,0) 14. π+2kkeZ) 元+2k,12 14题详解令 f(x)=x'sin0-x(1-x)+(1-x)'cos0=(sin@+cos0+1)x2-(1+2cos0)x+cos0, f(0)=cos0>0,f(1)=sin0+cos0+1-1-2cos0+cos0=sin0>0, 改0e2受+2aj4e.则号a平+ee.meo, 1+2cos0 sin2 0 +cos +2cos29-2sin2 (x)对称轴为x= 2 2 2(sin0+cos0+1) 22sin2co +2cos2 00 2 3-tan20 +2co）】 令1=m号eL2.则m号-l, 3-tan20 故 =3---2+21+2-1++2 4 tan- +1 4t 4t 4 2 又sin0+cos0+1>0,故使得f(x)最小的x在区间[0，]内， 故对f(x)=(sin0+cos0+1)x2-(1+2cos0)x+cos0, =(1+2cos0)-4(sin0+cos0+1)cos0=1-4sin0cos0<0, 即有2m9cs0=m20>分则29e气8+k冬12a4eZ, 即0（臣+a设akez.又92+2ajez, 取交集可得9侣+2a,吾+2cez. 三、解答题 15.(13分)( R-s 高一数学期中答案3 【详解】(1)角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点P(2,3),则 ABr=OP=4+9=13, rV厉13，cosa='=2=23 所以sina=上=33v3 -2分 rV13131 所以 oain-zin()e-a) 2 +a 2 -2sin(π+a)cos(-a) 经tam(x-a） cos 2+ajsin(-x-a) cos 213 _-sina-cosa-2.(sinacosa sina-cos cosa 13- 2 -sina.sina -sina·sina sina 3337分 13 2)由rsmg+小n臣-侣】--j片 f餐+j小=ma-倍-P】-s任-pj 所以m名江》g-分 6.15分)45a-号 【详解】(1)cosa=7且ae(0,m),∴sina=V-cosa= 45.…3分 7 (2).cosa= e0且a=0,a5} 又aa+传》汉me*例=普a+8径 8分：oma+川=--ma+列=-告-1分 高一数学期中答案4 （3)由D(2)知sa45,os(e+月=4 7 ..cosB=cos (a+B)-a=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina (4片酒5ge0.8导 --15分 17(15分)(1)解：因为(c-2a)cosB=b(2cosA-5sinC）, 由正弦定理可得sinCcosB-2 sin AcosB=2 cosAsinB-V3 sinBsinC, sinC(3sinB+cosB)=2(sinAcosB+cos4sinB), 所以2 sinCin+=2in4+8)片2snC, --2分 又因为0<C<π，所以sinC≠0， 所以m8+君}=1，又因为0<8<，所以B+石∈(Gg 6(6’6 所以8+8受故因=晋：一5分 (2)解：因为D是边AC上靠近A的三等分点， 所以B0=BM+4c=8M+aB+BC)-号M+8c, 所u丽-居丽8c=号+号丽c8C-+4mc+c) 又因为a=2,BD=25,8= 3 化荷得号4+e+到-e+e+ 即c2+c-2=0,解得c=1或c=-2（舍去)， 所以Sax方asm8-2x×sn子- ---10分 2 32 高一数学期中答案5 (3)解：已知BD平分∠ABC,且B=骨，故∠ABD=∠CBD=, 6 由5ax=5o+Som得esin8=c,BD-sn+a-bDsn 62 将a=2,BD 25代入得×2xcx5-xcx2xgx2x2×号解得c=1 -×C× X- 3 2 22322 32 b=a2+c2-2 accos B=-4+1-4×2=5-2=3 b=5 ---15分 18.(17分) (1)f(x)=cos'x-sinx+23sinxcosx=(cos'x+sinx)(cosx-sinx)+23sinxcosx cosin22sin 将函数/)的图象向左平移日个单位长度 得y=2sin[2(x+)+周=2sin(2x+) 函数图象上所有点的横坐标交为原来的子，纵坐标不变得 h6网-2sin(2×2x+)2sin(3x+)hW+子2sim(3x+)+号=0 即如引在刻[后引上有两个不相等约突数出 当≤x5时.5≤3x+s,设w=3x+,M∈5红， 6 3 6 34 L6’6 3π11π 可知y=2sinu在u∈ 5π，3π上单调递减，在u 6’2 L2’6 上单调递增， 3++36+3，即天+-g 那么）s(gs】》w66+到 因为*引-子所以叫x1如f引-时 高一数学期中答案6 所以a6+到m6g+寸-a+) 所以cos3(x-x2)= ---8分 2)方程mx-28(=0在xe0到上有解 (x--2m2(8周-2m2n 所以方程变为m2sin2x+2(sinx+cosx)=0 即方程sn+cosx+msn2x=0在xe0,）上有解， 设sinx+cosx=t,则1+sin2x=t2,所以sin2x=t2-1, 因为到上而议+任）则=m+] 则原方程可化为t+m(P-1)=0在1∈1，V2上有解， 由题知，0，放方程可化为品1在1门]上有架 因为y=1在1，v2]上单调递增，y=在t1,v2]上单调递减， 浙议=-在小同上单地所议马 所以0故me(问故实数m的取信范国为，同。-19分 19.(17分) (1)1 (2)46 > 别 【详解】(1)由题意可知，g、G的夹角为3亚， 4 由T面问盘数联积的定义可得6石-月同o经。马 2 高一数学期中答案7 因为a=(2,l),则a=√2e+e, 则a2-(2e+)=2+22e+g2=2-251-1, 所以同=Vf=1.3分 (2)由a=(-1,3),6=(-3,1),得a=-e+3e,b=-3e+6, 且e·e2=l×l×cosa=cosa, 所以a2=(-3+3eg=G2-6g·6+9g2=10-6osa, i2=(-36+e2=9e-6e6+eg,=10-6c0sa, 则la=6=10-6csa,a.6=(-g,+38)(3+e) =3e+3e,-10ge2=6-10cosa, 因为a与6的夹角为骨所以o了同同 元a.b6-10cosa_1 10-6cosa 2 解得cosa=引 Pe+cosa,0<a<,所以sina=V1-cosa三1、4 ---8分 7 (3)依题意，设B(m,0)、C(0,n)(m>0,n>0,且∠B0C=元 3’BC=1, 因为F为BC的中点，则OF=OB+BF=OB+BC -0+oc-0-oc+号0丽-m+56, B末 高一数学期中答案8 因为E为BD中点，同理可得OE-)OD+OB-)me+ 7 38 所以死.0-{ 2 7 76 mn+mne·e, (76 由题意知G=62=1,66=1P×co π1 32 ,7 mi, 76 在△OBC中，依据余弦定理得m2+n2-mn=1,所以mn=m2+n2-1, 代入上式得，0E0F=8, 13 1。m2+5n2-75=。(8m2+5n2)767 -n- 19 BC OB Oc 在△OBC中，由正弦定理得sin sin.∠COB sin∠BCO, 3 设/sc0=0,则n∠Ca0=sm0+引 且0<0<2 所以m方0，：引 3 321-cos20 3 55, 因为0<0< 则p<20- 3 故当20-p=号时，8m2+5m取最大值（13+7）)=40 2 则0正.0r=r+)是6智是器 ---17分 高一数学期中答案9