精品解析：湖南岳阳市弘毅新华中学等校2025-2026学年下学期七年级期中考试试卷 数学

弘毅 2026 年春季七年级期中考试试卷 数 学 时量：120分钟总分：120 分 一． 选择题（本大题共 10 个小题，每小题只有一个正确答案． 按答题卡中的要求填涂正确答案的字母代 号． 每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各数中，属于无理数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义．无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比． 判断各选项是否符合无理数的定义即可． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．是有限小数，属于有理数； D．，是无理数，故也是无理数； 故选：D． 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同类项的概念，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，逐一判断选项的运算结果即可. 【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故本选项计算结果不是 ； B、 与 不是同类项，不能合并，故本选项计算结果不是 ； C、，故本选项计算结果是 ； D、，故本选项计算结果不是 ． 3. 在下列结论中，正确的是（ ） A. B. 是的一个平方根 C. 一定没有平方根 D. 的立方根是4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；熟记不等式的性质是解决问题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立即可得到答案． 【详解】解：已知，分析各选项： A、两边加，得，符合不等式加法性质，正确，不符合题意； B、两边乘（负数），不等号方向改变，得，正确，不符合题意； C、平方运算不保序，例如，当，时，成立，但，故不正确，符合题意； D、两边乘（正数），得，符合不等式乘法性质，正确，不符合题意； 故选：C． 5. 若，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算性质，利用积的乘方的逆运算将所求式子变形，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，解题关键是掌握大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解．先解不等式组，再根据空心圆圈向右表示大于，实心圆圈向右表示大于等于，结合数轴可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则解集在数轴上表示为， 故选：A． 7. 若是完全平方式，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特征解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴． 8. 如果 ，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9. 已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A. 1，3 B. 3，1 C. D. ，3 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 10. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 二． 填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 计算的结果是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根定义直接进行计算化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题关键． 12. 计算 的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加即可求解． 【详解】解： ． 13. 已知的解集为，则的范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式方向改变可知，不等式两边同时除以小于0，求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为，不等式方向改变， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质． 14. 若 ，则代数式的值为_____． 【答案】2022 【解析】 【分析】将原式变形为，再代入计算即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 15. 如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是______. 【答案】8. 【解析】 【分析】设长方形的长为x，宽为y，由题意列方程组，利用完全平方公式即可解答． 【详解】设长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， ∴x+y=6， ∴（x+y）2=36， ∴x2+2xy+y2=36 ∴2xy=36-（x2+y2）=16， ∴xy=8， ∴长方形ABCD的面积是8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征． 16. 若（且是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果的值是_____； （2）如果，则的值是_____． 【答案】 ①. 6 ②. 2 【解析】 【分析】（1）先利用同底数幂的乘法法则化简等式左边，再根据题中结论列一元一次方程求解． （2）先提取公因式化简等式左边，将右边整理为以为底的幂，再根据题中结论列一元一次方程求解． 【详解】解：（1）， 由同底数幂的乘法法则得， 即， 根据题中结论得， 解得． （2）， ， ， 等式两边同除以，得 ， 即， 根据题中结论得， 解得． 三． 解答题 （本大题共 8 个小题， 共 72 分， 请写出详细的推理或计算过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 18. 计算： （1）解不等式组： （2）用乘法公式计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解为：； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式化简计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， ． 20. 如图，将长方形分成四个区域，其中、两正方形区域的面积分别是 3 和 9． （1）、 两正方形的边长各是多少？ （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】（1），3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积公式求解即可； （2）利用以长为3，宽为的长方形面积减去A正方形的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由于正方形区域的面积是3， 则正方形的边长是； 由于正方形区域的面积是9， 则正方形的边长为； 【小问2详解】 解：， 答：阴影部分的面积是． 21. 已知，，利用乘法公式求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴或． 22. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元． （1）若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量； （2）如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？ 【答案】（1）20枚 （2）14枚 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 即购买 “骐骐” 徽章的数量为20枚； 【小问2详解】 解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 则至少购买 “骐骐” 徽章14枚． 23. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； （2）请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； （3）如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）26 （3） 根据题意，画出图形，如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）设，则，，再利用其变形解答即可； （3）结合长方形面积公式画图即可； （4）设，结合图形，计算得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【小问1详解】 解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 【小问2详解】 解：设，则，， ∴，即， ∴， 即； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 24. 如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程 （组） 的 “友好范围”，例如： 不等式 的解集是 ，它包含了方程 的解，因此 是 的 “友好范围”． （1）判断：① ；② ，中哪个不等式的解集是方程 的 “友好范围”； （2）若不等式 的解集是方程 的 “友好范围”，求 的取值范围． （3）已知 是方程 的解，不等式组 的解集是方程 的 “友好范围”，求的取值范围； （4）若不等式组 的解集是方程 的 “友好范围”，求 的取值范围． 【答案】（1）① （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“友好范围”的定义即可判断； （2）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“友好范围”的定义即可； （3）解不等式组得出，再根据“友好范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案； （4）解不等式组得出，再根据“友好范围”的定义，将方程的解代入  的范围，建立关于  的不等式，进而求出  的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：，②不等式的解集为：， 不等式①的解集是方程 的“友好范围”； 【小问2详解】 解：方程 ，解得：， 不等式的解集是， ∵不等式 的解集是方程 的 “友好范围”， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，解不等式组得：， 是方程的解，不等式组的解集是方程的“友好范围”， 且， ， ， ， ∵，且， ∴； 【小问4详解】 解：由题意，不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 不等式组的解集为． 又方程的解为， ． ， ∴， ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘毅 2026 年春季七年级期中考试试卷 数 学 时量：120分钟总分：120 分 一． 选择题（本大题共 10 个小题，每小题只有一个正确答案． 按答题卡中的要求填涂正确答案的字母代 号． 每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各数中，属于无理数的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列结论中，正确的是（ ） A. B. 是的一个平方根 C. 一定没有平方根 D. 的立方根是4 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如果 ，那么的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 9. 已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A. 1，3 B. 3，1 C. D. ，3 10. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 二． 填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 计算的结果是__________． 12. 计算 的结果是_____． 13. 已知的解集为，则的范围______． 14. 若 ，则代数式的值为_____． 15. 如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是______. 16. 若（且是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果的值是_____； （2）如果，则的值是_____． 三． 解答题 （本大题共 8 个小题， 共 72 分， 请写出详细的推理或计算过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： （1）解不等式组： （2）用乘法公式计算： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，将长方形分成四个区域，其中、两正方形区域的面积分别是 3 和 9． （1）、 两正方形的边长各是多少？ （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）． 21. 已知，，利用乘法公式求下列各式的值： （1）； （2）． 22. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元． （1）若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量； （2）如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？ 23. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； （2）请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； （3）如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 24. 如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程 （组） 的 “友好范围”，例如： 不等式 的解集是 ，它包含了方程 的解，因此 是 的 “友好范围”． （1）判断：① ；② ，中哪个不等式的解集是方程 的 “友好范围”； （2）若不等式 的解集是方程 的 “友好范围”，求 的取值范围． （3）已知 是方程 的解，不等式组 的解集是方程 的 “友好范围”，求的取值范围； （4）若不等式组 的解集是方程 的 “友好范围”，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $