专题10.5 分式方程（4大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

专题10.5 分式方程 知识点1：分式方程的概念 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.核心特征：①是等式；②含有分母；③分母中含未知数（仅含字母系数不是分式方程）。 3.与整式方程区别：整式方程分母不含未知数，分式方程分母必含未知数。 知识点2：分式方程的解法 1.基本思想：转化思想，将分式方程化为整式方程求解。 2.一般步骤： ①找最简公分母：分母为多项式先因式分解，再确定最简公分母； ②去分母：方程两边同乘最简公分母，化为一元一次整式方程； ③解整式方程：求出未知数的值； ④检验（必写步骤）：代入最简公分母，不为0是解，为0是增根，原方程无解。 3.增根：使最简公分母为0的根，是整式方程的根，但不是原分式方程的根。 知识点3：分式方程解的判定（表格对比） 情况 判定条件 有解 整式方程的解≠增根 无解 ①整式方程无解；②整式方程的解全是增根 解为正数/负数 解>0或<0，且≠增根 解为整数 解是整数，且≠增根 知识点4：列分式方程解应用题 1.步骤：审→设→列→解→双检验（方程解+实际意义）→答。 2.常见等量关系： 行程：路程=速度时间；顺水速度=静速+水速，逆水速度=静速-水速； 工程：工作量=效率时间，常把总工作量看作1； 经济：总价=单价数量，利润=售价-进价。 【基础必考题型】 【题型1】分式方程的概念辨析 1.核心知识点 分式方程定义；分母含未知数；与整式方程区分 2.解题方法技巧 只看分母是否含未知数，不含字母系数；不含未知数的是整式方程 【例题1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 【题型2】解简单分式方程（单项式分母） 1.核心知识点 去分母；解一元一次方程；代入最简公分母检验 2.解题方法技巧 直接乘最简公分母化为整式方程；解完必检验 【例题2】.（北京市东城区2025--2026学年第二学期九年级统一测试（一）数学试卷）方程的解为______． 【答案】 / 【详解】解： 方程两边同乘以最简公分母得， 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 【变式题2-1】.（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【详解】解：两边同乘以得， ， 解得， 检验：当时， ， 为分式方程增根， 故原分式方程无解． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】2 【分析】先统一分母，将分式方程化为整式方程求解，求解后进行检验得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘，得 ， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 【变式题2-3】.（2026·广东茂名·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 【题型3】解复杂分式方程（多项式分母） 1.核心知识点 因式分解；确定最简公分母；去分母；验根 2.解题方法技巧 先分解再定公分母；去分母时常数项不漏乘；验根写完整 【例题3】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）解方程： 【答案】 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为； （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【变式题3-3】.（2026·陕西汉中·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：，                     解得：．                         检验，当时，， ∴原分式方程的解是． 【题型4】根据分式方程的解求参数值 1.核心知识点 方程解的定义；代入求值；排除增根 2.解题方法技巧 解代入方程得参数方程；求解后检验是否为增根 【例题4】.（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于的方程的解为2，则的值为___________． 【答案】2 【分析】将方程的解代入原方程即可求解的值． 【详解】解∶是方程的解， ， 解得． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东济南·月考）关于的方程的解为，则________． 【答案】 【分析】将代入分式方程，求出的值即可． 【详解】∵关于的方程的解为， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 【培优高频题型】 【题型5】分式方程的增根问题 1.核心知识点 增根定义；最简公分母为0；代入整式方程求参数 2.解题方法技巧 令最简公分母=0得增根；代入去分母后的整式方程求参数 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程增根的概念，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将分式方程两边同乘去分母得， ∵原分式方程有增根， ∴分母， 解得， 将代入整式方程得， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 【题型6】分式方程无解问题 1.核心知识点 无解两种情况；整式方程无解；解均为增根 2.解题方法技巧 分两类讨论：整式方程无解；解为增根，不遗漏 【例题6】.（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 【变式题6-1】.（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【变式题6-2】.（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数． （1）将“▲”替换为后，先统一分式的分母，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可得到方程的解． （2）先设“▲”为，将原分式方程化为整式方程，分式方程无解包含两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别分析求解即可得到“▲”的值． 【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数是． 【题型7】分式方程的解为正数/负数/整数 1.核心知识点 解的范围；不等式；排除增根 2.解题方法技巧 先求解→列范围→剔除增根→得参数范围 【例题7】.（2026·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】原方程变形为 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 【答案】24 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个偶数解， ∴这两个偶数解为，0， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴或5或7或8， 则． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 【题型8】列分式方程（行程/工程/经济基础情境） 1.核心知识点 三类问题等量关系；审题列方程 2.解题方法技巧 抓关键词“比…多/少”“提前/推迟”；单位统一 【例题8】.（25-26八年级下·河南周口·期中）某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3600元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一批每本进价为元，则第二批每本进价为元 ∴第一批购进数量为本，第二批购进数量为本 又∵第二批购进数量比第一批少本 ∴ 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，利用无人机比快艇配送时间少分钟的等量关系列方程即可． 【详解】解：设快艇的平均速度为海里小时，则无人机的平均速度为海里小时，快艇的配送时间为小时，无人机的配送时间为小时， 根据题意得：． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·江西抚州·期中）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【详解】解：由工程问题公式：工作量工作效率工作时间， 由题意，可知甲工作组的工作效率为每天做x个，乙工作组的工作效率为每天做个， 由“甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等”，列方程， 得． 【变式题8-3】.（2026·上海松江·二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 【题型9】分式方程的实际应用 1.核心知识点 列方程；解方程；双检验；作答 2.解题方法技巧 设未知数带单位；结果检验是否符合实际 【例题9】.（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【答案】3小时 【分析】设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设使用高铁货运配送所需时间为小时，则使用特快货物班列配送所需时间为小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题目要求． 答：使用高铁货运配送所需时间为3小时． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【答案】(1)甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼 (2)甲至少要销售7小时 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【详解】（1）解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． （2）解：设甲销售小时，则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 【变式题9-2】.（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)①且m为整数；② 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可； （2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可； ②根据张老师合计付款330元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【详解】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 【压轴素养题型】 【题型10】跨学科情境应用题（古文/物理/环保） 1.核心知识点 古文翻译；物理模型；分式方程建模 2.解题方法技巧 提炼数学关系→设未知→列方程→双检验→作答 【例题10】.（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 【变式题10-1】.（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)． (2)学校买这批仪器至少要花费670元． 【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值． （1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻． （2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小 ），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知：，解得：， 总费用，即， ∵，∴y随m的增大而减小． ∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 【变式题10-3】.（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2) 燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 【题型11】方案设计与最优选择问题 1.核心知识点 分式方程；不等式组；最优方案 2.解题方法技巧 先求基本量→列不等关系→求整数解→选最优 【例题11】.（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）某校组织学生乘汽车去研学实践基地开展研学实践活动，路线有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短，但路上货车多，影响速度，用时比方案二多20分钟． 路途长，但是速度快，平均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【答案】140分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为分钟，根据“方案二的平均速度是方案一平均速度的倍”列出方程即可解答． 【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为分钟， 列方程得， 方程两边乘，得，， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：， 答：方案二需要的时间为140分钟． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）某县要修一条通往市区的快速通道，招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天需付甲队工程款4万元，付乙队工程款3万元．现有三种施工方案： （Ⅰ）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完工；（Ⅱ）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多12天；（Ⅲ）由甲、乙两队，剩下的由乙队单独做，也正好能如期完工．方案（Ⅲ）中“”部分被损毁了．小聪同学设规定工期为x天．依题意列出方程：． (1)请将方案（Ⅲ）中“”的部分补充出来； (2)三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由． 【答案】(1)合作10天 (2)方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是关键． （1）由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要天，甲的工作效率是，乙的工作效率是，所以表示甲乙两队合作10天完成的工作量，即可得到答案； （2）先解分式方程，得，再分别求出三种方案所需的费用即可． 【详解】（1）解：由已知，规定工期为x天，则乙队单独完成这项工程需要天，甲的工作效率是，乙的工作效率是， 所以表示甲乙两队合作10天完成的工作量，表示乙队单独工作天完成的工作量， 所以方案（Ⅲ）中“”的部分应为：合作10天； （2）解：方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款． 理由：解分式方程， 得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以方案（Ⅰ）需要的工程款为：（万元）； 方案（Ⅱ）不能如期完工，舍去； 方案（Ⅲ）需要的工程款为：（万元）（万元）； 所以方案（Ⅲ）既能如期完工，又能节省工程款． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 【答案】(1)甲工程队完成施工任务用了5天 (2)应选B方案 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和分式的大小比较，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）利用时间关系列出方程即可求解． （2）分别求出两种方案的时间，再利用作差法比较大小即可求解． 【详解】（1）解：（1）根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∵（天）， 所以，甲工程队完成施工任务用了5天． （2）解：由题意，得 ， ． 由题意，得，则， ， ， 应选B方案． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·天津南开·期末）八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． (1)设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； (2)参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 【答案】(1)所列方程为，大巴的平均速度为； (2)选择方案B能更早返回学校，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式除法的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为，根据一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达列出方程求解即可； （2）根据时间等于路程除以速度分别表示出两种方案的时间，再利用作商法比较两种方案的时间的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴的平均速度为； 答：所列方程为，大巴的平均速度为； （2）解：选择方案B能更早返回学校，理由如下： 方案A需要的时间为， 方案B需要的时间为， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴方案B需要的时间更少， ∴选择方案B能更早返回学校． 【题型12】新定义运算与分式方程结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式方程解法；综合检验 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为常规分式方程→求解→检验 【例题12】.（24-25七年级下·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； （3）证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东江门·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5，求所代表的代数式． (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4，求，的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，正确理解“雅中式”和“雅中值”是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则求出的结果，再根据“雅中式”和“雅中值”的定义证明求解即可； （2）根据定义可得，则，据此去分母求解即可； （3）根据定义可得，则，则可推出，根据式子恒成立得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3，证明如下： ∵，， ∴ ， ∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3； （2）解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵式子恒成立， ∴， 解得，即． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义“和整分式”的理解，分式的加减运算，分式方程的解法及无解问题，理解新定义是解题关键． （1） 先化简分式，再计算的结果，根据新定义判断是否为和整分式并确定值． （2）先根据和整分式的定义求出，再化简，结合为正整数及为正整数求解的值． （3）先确定的值，再根据列出方程，分一次项系数为0和方程有增根两种情况求解的值． 【详解】（1）解： 是正整数 与是互为“和整分式”，“和整数值” （2）解：， 与互为“和整分式”， （） 的值为正整数，为正整数 为的负约数 或 解得或 是正整数 舍去 答：正整数的值为1． （3）解：由（2）知 两边乘得 整理得 关于的方程无解 分两种情况 情况一： 解得，此时方程，无解 情况二：方程有增根，增根为 将代入 得 解得 综上，的值为或． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 【答案】(1)是 (2) (3)①，；②． 【分析】（1）根据友好分式的定义，分别计算两个分式的差与积，比较二者是否相等，完成判断． （2）仿照示例，设分式的友好分式为，根据定义列方程，通过移项、整理求解． （3）①先根据定义求出分式的友好分式，再根据其值为正整数，结合整数的性质求解的取值；②根据友好分式的定义列等式，通分后对比等式两边的系数，建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 是的友好分式； （2）解：设的友好分式为，根据定义得： ， ， ， ， ， ， ∴分式的友好分式为； （3）解：①设的友好分式为，根据定义得： ， ∴， 是正整数，为整数， 为整数，且， 为的非零因数，且． 当时，，不符合正整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，符合． 综上，整数的值为，． ②根据友好分式定义，其中，，得 ， ， ∴ ∴， ∴ 由方程得： ， 或． 当时，代入方程得 ∴， 本方程中，常数项为，首项系数为，因此可能的有理根为，． 代入：， 代入：， 代入：， 代入：， ∴该方程无有理根，故方程无整数解，舍去． 当，即时，代入方程得 ， ∴， ∴ 或（舍去）， 当时，． ， ∴的值为． 易错点 1.去分母时漏乘常数项，忘记给不含分母的项乘最简公分母。 2.不检验，未排除增根直接写解。 3.混淆增根与无解，认为有增根就是无解。 4.求参数范围时未排除增根，导致范围错误。 5.应用题单位不统一、忘记检验实际意义。 6.多项式分母未分解就去分母，最简公分母找错。 重点 1.分式方程的定义判断。 2.分式方程的解法步骤，尤其验根。 3.由解的情况求参数（增根、无解、符号、整数解）。 4.列分式方程解决行程、工程、经济三类应用题。 难点 1.含参数分式方程无解、增根、解范围的分类讨论。 2.复杂情境下建模列方程，提炼等量关系。 3.新定义、规律探究等创新题型的转化与求解。 4.应用题双检验与实际意义的综合判断。 【对应练习题】 一、单选题 1．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 2．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将互为相反数的分母变形，再将方程两边同乘最简公分母，即可得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为可变形为， ∵方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘以，去分母得． 3．我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，先根据抢修车速度得到工人的修复速度，再利用公式表示出两者的用时，最后根据时间差列出方程． 【详解】解：∵设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，则一名工人每小时修复速度为公里．依题意得： ． 二、填空题 4．分式方程的解为____________． 【答案】 【分析】先去分母将其转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 5．若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 6．对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 【答案】0 【分析】根据新定义的运算规则，列出关于的分式方程，解分式方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由 得： ， 方程两边同乘得： ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴x的值为0． 三、解答题 7．计算： (1)解方程：． (2)解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】(1)； (2)，9． 【分析】（1）去分母解整式方程，求出解检验即可； （2）分别求出每个不等式的解集得到不等式组的解集，即可求出整数解 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． （2）解： 解不等式①，； 解不等式②， 此不等式组的解集为， 整数解为： 整数解的和：． 8．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 【答案】80千米/时 【分析】根据路程=速度×时间的关系，结合A型车比B型车少用0.75小时的等量关系，设未知数列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度为千米/时，则A型车的平均速度为千米/时． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度为千米/时． 9．学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． (1)分别求型、型雕刻刀的单价； (2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元 (2)购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设B型雕刻刀的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设花费为元，购买型雕刻刀把，则购买B型雕刻刀把，列出关于花费的一次函数，再根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设B型雕刻刀的单价是元， 则型雕刻刀的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元． （2）解：设花费为元，购买型雕刻刀把， 则购买B型雕刻刀把， 根据题意，得， 解得， 由（1）可知， ， 随的增大而增大， 当取最小整数30时，有最小值， 最少花费为（元）． 答：购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元． 10．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.5 分式方程 知识点1：分式方程的概念 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.核心特征：①是等式；②含有分母；③分母中含未知数（仅含字母系数不是分式方程）。 3.与整式方程区别：整式方程分母不含未知数，分式方程分母必含未知数。 知识点2：分式方程的解法 1.基本思想：转化思想，将分式方程化为整式方程求解。 2.一般步骤： ①找最简公分母：分母为多项式先因式分解，再确定最简公分母； ②去分母：方程两边同乘最简公分母，化为一元一次整式方程； ③解整式方程：求出未知数的值； ④检验（必写步骤）：代入最简公分母，不为0是解，为0是增根，原方程无解。 3.增根：使最简公分母为0的根，是整式方程的根，但不是原分式方程的根。 知识点3：分式方程解的判定（表格对比） 情况 判定条件 有解 整式方程的解≠增根 无解 ①整式方程无解；②整式方程的解全是增根 解为正数/负数 解>0或<0，且≠增根 解为整数 解是整数，且≠增根 知识点4：列分式方程解应用题 1.步骤：审→设→列→解→双检验（方程解+实际意义）→答。 2.常见等量关系： 行程：路程=速度时间；顺水速度=静速+水速，逆水速度=静速-水速； 工程：工作量=效率时间，常把总工作量看作1； 经济：总价=单价数量，利润=售价-进价。 【基础必考题型】 【题型1】分式方程的概念辨析 1.核心知识点 分式方程定义；分母含未知数；与整式方程区分 2.解题方法技巧 只看分母是否含未知数，不含字母系数；不含未知数的是整式方程 【例题1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【题型2】解简单分式方程（单项式分母） 1.核心知识点 去分母；解一元一次方程；代入最简公分母检验 2.解题方法技巧 直接乘最简公分母化为整式方程；解完必检验 【例题2】.（北京市东城区2025--2026学年第二学期九年级统一测试（一）数学试卷）方程的解为______． 【变式题2-1】.（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 【变式题2-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【变式题2-3】.（2026·广东茂名·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【题型3】解复杂分式方程（多项式分母） 1.核心知识点 因式分解；确定最简公分母；去分母；验根 2.解题方法技巧 先分解再定公分母；去分母时常数项不漏乘；验根写完整 【例题3】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）解方程： 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（2026·陕西汉中·二模）解方程：． 【题型4】根据分式方程的解求参数值 1.核心知识点 方程解的定义；代入求值；排除增根 2.解题方法技巧 解代入方程得参数方程；求解后检验是否为增根 【例题4】.（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于的方程的解为2，则的值为___________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东济南·月考）关于的方程的解为，则________． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】分式方程的增根问题 1.核心知识点 增根定义；最简公分母为0；代入整式方程求参数 2.解题方法技巧 令最简公分母=0得增根；代入去分母后的整式方程求参数 【例题5】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【变式题5-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【题型6】分式方程无解问题 1.核心知识点 无解两种情况；整式方程无解；解均为增根 2.解题方法技巧 分两类讨论：整式方程无解；解为增根，不遗漏 【例题6】.（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【变式题6-1】.（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【变式题6-2】.（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【题型7】分式方程的解为正数/负数/整数 1.核心知识点 解的范围；不等式；排除增根 2.解题方法技巧 先求解→列范围→剔除增根→得参数范围 【例题7】.（2026·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式题7-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的不等式组有解且仅有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的值的和为__________． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【题型8】列分式方程（行程/工程/经济基础情境） 1.核心知识点 三类问题等量关系；审题列方程 2.解题方法技巧 抓关键词“比…多/少”“提前/推迟”；单位统一 【例题8】.（25-26八年级下·河南周口·期中）某书店购进一批教辅资料，用3000元购进第一批，用3600元购进第二批，第二批每本进价是第一批的倍，购进数量比第一批少10本．设第一批每本进价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）年月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试．已知在一次配送中无人机的飞行路程为海里，快艇的航线路程为海里，无人机的平均速度是快艇的倍，且无人机比快艇的配送时间少分钟．设快艇的平均速度为海里/小时，根据题意可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·江西抚州·期中）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【变式题8-3】.（2026·上海松江·二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【题型9】分式方程的实际应用 1.核心知识点 列方程；解方程；双检验；作答 2.解题方法技巧 设未知数带单位；结果检验是否符合实际 【例题9】.（2026·云南昆明·一模）某物流企业接到一笔紧急配送订单，需要将一批生鲜物资从甲地运往900公里外的乙地．若使用特快货物班列配送，所需时间比高铁货运多3小时．已知高铁货运的速度是特快货物班列的2倍，求使用高铁货运配送所需时间是多少小时． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【变式题9-2】.（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【压轴素养题型】 【题型10】跨学科情境应用题（古文/物理/环保） 1.核心知识点 古文翻译；物理模型；分式方程建模 2.解题方法技巧 提炼数学关系→设未知→列方程→双检验→作答 【例题10】.（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【变式题10-1】.（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【变式题10-2】.（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【变式题10-3】.（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【题型11】方案设计与最优选择问题 1.核心知识点 分式方程；不等式组；最优方案 2.解题方法技巧 先求基本量→列不等关系→求整数解→选最优 【例题11】.（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）某校组织学生乘汽车去研学实践基地开展研学实践活动，路线有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短，但路上货车多，影响速度，用时比方案二多20分钟． 路途长，但是速度快，平均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南周口·期末）某县要修一条通往市区的快速通道，招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天需付甲队工程款4万元，付乙队工程款3万元．现有三种施工方案： （Ⅰ）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完工；（Ⅱ）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多12天；（Ⅲ）由甲、乙两队，剩下的由乙队单独做，也正好能如期完工．方案（Ⅲ）中“”部分被损毁了．小聪同学设规定工期为x天．依题意列出方程：． (1)请将方案（Ⅲ）中“”的部分补充出来； (2)三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又能节省工程款？说明你的理由． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 【变式题11-3】.（25-26八年级上·天津南开·期末）八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． (1)设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； (2)参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 【题型12】新定义运算与分式方程结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式方程解法；综合检验 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为常规分式方程→求解→检验 【例题12】.（24-25七年级下·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东江门·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是5，求所代表的代数式． (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是4，求，的值． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 易错点 1.去分母时漏乘常数项，忘记给不含分母的项乘最简公分母。 2.不检验，未排除增根直接写解。 3.混淆增根与无解，认为有增根就是无解。 4.求参数范围时未排除增根，导致范围错误。 5.应用题单位不统一、忘记检验实际意义。 6.多项式分母未分解就去分母，最简公分母找错。 重点 1.分式方程的定义判断。 2.分式方程的解法步骤，尤其验根。 3.由解的情况求参数（增根、无解、符号、整数解）。 4.列分式方程解决行程、工程、经济三类应用题。 难点 1.含参数分式方程无解、增根、解范围的分类讨论。 2.复杂情境下建模列方程，提炼等量关系。 3.新定义、规律探究等创新题型的转化与求解。 4.应用题双检验与实际意义的综合判断。 【对应练习题】 一、单选题 1．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 2．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 3．我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．分式方程的解为____________． 5．若关于的方程无解，则的值为_____． 6．对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 三、解答题 7．计算： (1)解方程：． (2)解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 8．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 9．学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． (1)分别求型、型雕刻刀的单价； (2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 10．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $