专题8.2 特殊的平行四边形（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦特殊平行四边形核心知识点，系统梳理矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定，明确它们与平行四边形的包含关系，通过基础概念辨析、判定应用到培优综合计算、动态问题再到压轴实际情境与新定义题型，构建递进式学习支架。 资料亮点在于分层设计与素养融合，基础题型强化性质判定直接应用，培优题型结合勾股定理、坐标系培养推理能力，压轴题型通过测量吊车高度等实际情境发展应用意识，动态问题与新定义问题提升创新思维。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学眼光与思维能力。

专题8.2 特殊的平行四边形 知识点1：矩形的定义、性质与判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 2.性质（含平行四边形所有性质，新增独特性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以矩形为例） 角 四个角都是直角 对角线 相等且互相平分 ，（为对角线交点） 对称性 中心对称图形+轴对称图形（2条对称轴：对边中点连线所在直线） 3.判定方法： 判定类型 具体条件 符号语言（以四边形为例） 定义法 平行四边形+一个角是直角 若中，则为矩形 角判定 三个角是直角的四边形 若，则为矩形 对角线判定 平行四边形+对角线相等 若中，则为矩形 知识点2：菱形的定义、性质与判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（菱形是特殊的平行四边形）。 2.性质（含平行四边形所有性质，新增独特性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以菱形为例） 边 四条边都相等 对角线 互相垂直且平分，平分一组对角 ，，，等 对称性 中心对称图形+轴对称图形（2条对称轴：对角线所在直线） 3.面积公式： 常规公式：底高（同平行四边形）； 特殊公式：（对角线互相垂直的四边形通用）。 4.判定方法： 判定类型 具体条件 符号语言（以四边形为例） 定义法 平行四边形+一组邻边相等 若中，则为菱形 边判定 四条边都相等的四边形 若，则为菱形 对角线判定 平行四边形+对角线互相垂直 若中，则为菱形 知识点3：正方形的定义、性质与判定 1.定义：四条边相等且四个角都是直角的四边形叫作正方形（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形）。 2.性质（兼具矩形和菱形所有性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以正方形为例） 边 四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 相等、互相垂直且平分，平分一组对角 ，，，等 对称性 中心对称图形+轴对称图形（4条对称轴：对边中点连线+对角线所在直线） 3.面积公式： ； （、为对角线）。 4.判定方法（核心：先证矩形再证菱形，或先证菱形再证矩形）： 判定路径 具体条件 逻辑推导 矩形→正方形 矩形+一组邻边相等 矩形对边相等，加一组邻边相等则四边相等，故为正方形 菱形→正方形 菱形+一个角是直角 菱形四边相等，加一个直角则四角都是直角，故为正方形 平行四边形→正方形 平行四边形+对角线相等且垂直 对角线相等→矩形，对角线垂直→菱形，故为正方形 知识点4：特殊平行四边形的关系与两条平行线之间的距离 1.包含关系： 2.两条平行线之间的距离： 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度； 性质：两条平行线之间的距离处处相等，且夹在两条平行线间的平行线段相等。 【基础必考题型】 【题型1】特殊平行四边形的概念辨析与性质直接应用 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的定义与核心性质；特殊平行四边形与平行四边形的性质区别。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断图形类型，优先利用“特殊性质”解题（如矩形对角线相等、菱形四边相等）； 注意性质的适用前提（如“对角线相等”是矩形的特殊性质，平行四边形不具备）； 角度计算可利用“直角”“对角相等”“邻角互补”快速推导，边长计算直接套用定义或性质中的等量关系。 【例题1】.（25-26八年级上·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【变式题1-3】.（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【题型2】特殊平行四边形的基础判定 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的判定定理；平行四边形的判定与性质。 2.解题方法技巧 先判断前提：是“平行四边形背景”还是“普通四边形背景”，平行四边形背景下可少用一个条件； 开放性题型添加条件时，优先选择最简条件（如证菱形可加“一组邻边相等”或“对角线垂直”，选便于计算的即可）； 判定正方形时，先明确路径（先矩后菱或先菱后矩），再补充所需条件。 【例题2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【变式题2-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·广东深圳·周测）下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 【变式题2-3】.（25-26九年级上·四川成都·期末）如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【题型3】特殊平行四边形的周长与面积计算 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的周长公式与面积公式；对角线与面积的关系。 2.解题方法技巧 周长计算：矩形周长（长+宽），菱形/正方形周长边长； 面积计算：矩形直接用“长×宽”，菱形优先用“对角线乘积的一半”（已知对角线时），正方形灵活选择“边长²”或“对角线乘积的一半”； 注意“对角线分图形为面积相等的部分”（如矩形对角线分4个等腰三角形面积相等，菱形对角线分4个全等直角三角形）。 【例题3】.（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·广东广州·期中）顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 【变式题3-3】.（2025·江苏无锡·二模）操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（　　） A．图①、图②展开后周长均变大． B．图①、图②展开后周长均不变． C．图①、图②展开后周长均变小． D．图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． 【培优高频题型】 【题型4】特殊平行四边形与三角形的综合计算 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；勾股定理；等腰三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 对角线与边构成直角三角形时（如矩形对角线分直角三角形、菱形对角线垂直构成直角三角形），直接套用勾股定理求未知边； 遇到“对角线夹角为60°/120°”时，优先找等边三角形（如矩形对角线夹角60°，则短边=对角线的一半）； 利用等腰三角形“等角对等边”转化线段关系（如菱形对角线平分对角，可推出等腰三角形）。 【例题4】.（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 【变式题4-1】.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接，．则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 【变式题4-3】.（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 【题型5】平面直角坐标系中的特殊平行四边形 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；坐标与线段长度的关系；中点坐标公式。 2.解题方法技巧 已知顶点坐标求边长：利用“横坐标差²+纵坐标差²=边长²”； 已知三个顶点求第四个顶点：根据“对角线互相平分”（中点坐标相等）列方程，注意正方形、矩形需额外满足边长或对角线的特殊关系； 利用对称性简化计算（如矩形对边中点连线为对称轴，可快速求对称点坐标）。 【例题5】.（25-26九年级上·福建漳州·月考）重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是角平分线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·吉林·期中）解答下列问题． (1)如图①，四边形是矩形，，，三点的坐标分别是，，，则点的坐标是_______________． (2)如图②，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，求，两点的坐标． (3)如图③，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，直接写出，两点的坐标．（用含的式子表示）． 【题型6】特殊平行四边形的折叠问题 1.核心知识点 折叠的性质（全等、对应边相等、对应角相等）；特殊平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 折叠后必全等，先标注对应边、对应角，将未知边转化为已知边； 矩形折叠常与直角三角形结合，利用勾股定理列方程（如设未知边长为，根据折叠后的线段关系列等式）； 菱形折叠注意“对角线垂直”的性质，折叠后可能形成等腰直角三角形。 【例题6】.（24-25八年级上·福建福州·期中）如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题6-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【题型7】特殊平行四边形的判定与性质综合证明 1.核心知识点 特殊平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 证明线段相等：先证图形为特殊平行四边形，再利用“对边相等”“对角线平分”推导，或通过全等三角形证明； 证明线段平行：利用特殊平行四边形的“对边平行”，或通过全等推出内错角/同位角相等； 辅助线技巧：证明对角线关系时，优先连接对角线，利用“互相平分”“相等”“垂直”的性质。 【例题7】.（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【变式题7-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【变式题7-2】.（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·广东清远·期末）如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【压轴素养题型】 【题型8】特殊平行四边形与实际情境的综合应用 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；数学建模思想；测量问题的转化。 2.解题方法技巧 实际建模：将实际问题（如测量物体高度、制作框架、光电转换）转化为特殊平行四边形问题，利用“对边相等”“对角线相等”将不可直接测量的线段转化为可测量线段； 测量技巧：如利用矩形对边平行构建平行四边形，使测量的线段长度等于目标线段长度； 跨学科融合：结合物理“光线反射”（利用平行线距离相等）、美术“图形拼接”（利用特殊平行四边形的对称性）等情境。 【例题8】.（24-25八年级下·山东临沂·月考）安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端A到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 操作示意图 操作数据 起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点B到的距离米 操作评价 【变式题8-1】.（24-25九年级下·福建厦门·月考）某小区入口为A处，共有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋．为激励居民进行垃圾分类和可回收物交投，社区垃圾分类管理部门准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心分类回收箱”（如图1）． 任务1：计算投放重量 “爱心分类回收箱”是一个有偿回收系统，回收标准为元/千克．某日，居民小海扫描回收箱上的二维码绑定手机号后，将回收物投入箱中，随后点击屏幕中的“结束投放”，很快屏幕显示元已入账所绑定的手机．入账金额需满10元才可以提现，若小海想提现，则他至少还需投入多少千克的回收物； 任务2：测算运输费用 当回收箱满仓时，会有专人将回收物转运到中转站，再进行大仓分拣，最终实现资源再生，据调查，运输费用随着运输距离的变化情况如表所示： 距离x/千米 … 1 2 3 4 5 6 … 运费y/元 … 10 13 16 … 若小区入口A处与回收点的距离为千米，请根据表3中的数据估计满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用； 任务3：确定摆放位置 现需设计“爱心分类回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最小，某数学兴趣小组开展了如下探究活动：小组成员借助小区平面图（如图2）测得，根据比例测算出了某些道路的长度，并抽象成图3，其中与交于点F，，米，米，米．请在图3中标出投放地点G的位置，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据：） 【变式题8-2】.（25-26九年级上·福建宁德·期中）综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示．   （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取）    【变式题8-3】.（24-25九年级上·广东佛山·月考）根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 矩形就是长方形，四个角都是；两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时，常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简，我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的． 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 请说明矩形是黄金矩形的理由； 任务三 如图5，若，连接，求点E到线段的距离． 【题型9】特殊平行四边形的动态问题 1.核心知识点 特殊平行四边形的判定与性质；动点路程表示；垂线段最短；将军饮马模型。 2.解题方法技巧 动点问题：设运动时间为，用含的代数式表示线段长度，根据判定条件列方程（如动点构成矩形需满足“对角线相等”）； 最值问题：利用“垂线段最短”求高的最值（进而求面积最值），或利用“将军饮马”模型求线段和的最小值（如菱形中动点到两定点距离和的最小值）； 分类讨论：动点在不同边上运动时，需分情况分析图形形状，避免漏解。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【题型10】特殊平行四边形的新定义问题 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质与判定；新定义的理解与应用（如“垂美四边形”“等对角四边形”）。 2.解题方法技巧 先吃透新定义（如“垂美四边形”是对角线垂直的四边形），再结合特殊平行四边形的性质推导结论； 利用“类比法”解题（如垂美四边形的面积公式可类比菱形）； 探究性问题：先假设结论成立，反向推导所需条件，再正向证明。 【例题10】.（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·湖南长沙·月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形： ． (2)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． (3)如图2、3在方格纸中，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (4)【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 易错点 1.混淆特殊平行四边形的判定条件：如误认为“对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形”（缺少“平行四边形”前提）； 2.忽略分类讨论导致漏解：如已知三个顶点求正方形第四个顶点时，未考虑不同的对角线情况；动点问题未分动点在不同边上的情况； 3.面积计算时误用公式：如菱形面积忘记除以2（对角线乘积直接作为面积），正方形面积混淆“边长²”与“对角线乘积”； 4.折叠问题中未找准对应关系：导致线段长度、角度关系错误，进而影响勾股定理的应用； 5.误认为“正方形是轴对称图形但不是中心对称图形”（实际正方形既是轴对称也是中心对称图形）。 重点 1.掌握矩形、菱形、正方形的核心性质（角、边、对角线），能熟练进行边、角、周长、面积的计算； 2.灵活运用特殊平行四边形的判定方法，根据题目条件选择最优路径（如平行四边形背景下证矩形优先看对角线）； 3.理解特殊平行四边形的包含关系，能根据图形特征快速判断类型； 4.掌握折叠、坐标系、动点等基础综合题型的解题思路，能利用勾股定理、全等三角形等工具转化问题； 5.能将实际问题转化为特殊平行四边形模型，解决测量、拼接等实际应用问题。 难点 1.特殊平行四边形的综合证明：需结合判定与性质，灵活运用全等、勾股定理、等腰三角形等知识，梳理复杂逻辑关系； 2.动态问题的分析：动点、旋转、折叠等问题中，需变“动”为“静”，准确表示线段关系，结合分类讨论和最值模型解题； 3.新定义与探究性问题：需快速理解新定义的本质，类比已有知识推导结论，具备逆向思维和创新意识； 4.实际情境的建模：能从复杂的实际问题中提炼出特殊平行四边形的核心特征，将实际需求转化为数学条件； 5.特殊平行四边形与其他几何图形（如三角形、圆）的综合应用：需整合多个知识点，设计合理的辅助线策略。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 4．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 6．一个矩形相邻两边的长分别为m，n，则这个矩形的周长是________． 7．如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 9．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 10．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 三、解答题 11．如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 12．如图，的对角线交于点，，，当___________时，求证：四边形是菱形．从以下三个选项中选一个作为已知条件：，并完成证明．你选择的条件是___________． 13．如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，的面积为，求的周长． 14．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 15．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 特殊的平行四边形 知识点1：矩形的定义、性质与判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 2.性质（含平行四边形所有性质，新增独特性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以矩形为例） 角 四个角都是直角 对角线 相等且互相平分 ，（为对角线交点） 对称性 中心对称图形+轴对称图形（2条对称轴：对边中点连线所在直线） 3.判定方法： 判定类型 具体条件 符号语言（以四边形为例） 定义法 平行四边形+一个角是直角 若中，则为矩形 角判定 三个角是直角的四边形 若，则为矩形 对角线判定 平行四边形+对角线相等 若中，则为矩形 知识点2：菱形的定义、性质与判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形（菱形是特殊的平行四边形）。 2.性质（含平行四边形所有性质，新增独特性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以菱形为例） 边 四条边都相等 对角线 互相垂直且平分，平分一组对角 ，，，等 对称性 中心对称图形+轴对称图形（2条对称轴：对角线所在直线） 3.面积公式： 常规公式：底高（同平行四边形）； 特殊公式：（对角线互相垂直的四边形通用）。 4.判定方法： 判定类型 具体条件 符号语言（以四边形为例） 定义法 平行四边形+一组邻边相等 若中，则为菱形 边判定 四条边都相等的四边形 若，则为菱形 对角线判定 平行四边形+对角线互相垂直 若中，则为菱形 知识点3：正方形的定义、性质与判定 1.定义：四条边相等且四个角都是直角的四边形叫作正方形（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形）。 2.性质（兼具矩形和菱形所有性质）： 性质维度 具体结论 符号语言（以正方形为例） 边 四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 相等、互相垂直且平分，平分一组对角 ，，，等 对称性 中心对称图形+轴对称图形（4条对称轴：对边中点连线+对角线所在直线） 3.面积公式： ； （、为对角线）。 4.判定方法（核心：先证矩形再证菱形，或先证菱形再证矩形）： 判定路径 具体条件 逻辑推导 矩形→正方形 矩形+一组邻边相等 矩形对边相等，加一组邻边相等则四边相等，故为正方形 菱形→正方形 菱形+一个角是直角 菱形四边相等，加一个直角则四角都是直角，故为正方形 平行四边形→正方形 平行四边形+对角线相等且垂直 对角线相等→矩形，对角线垂直→菱形，故为正方形 知识点4：特殊平行四边形的关系与两条平行线之间的距离 1.包含关系： 2.两条平行线之间的距离： 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度； 性质：两条平行线之间的距离处处相等，且夹在两条平行线间的平行线段相等。 【基础必考题型】 【题型1】特殊平行四边形的概念辨析与性质直接应用 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的定义与核心性质；特殊平行四边形与平行四边形的性质区别。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断图形类型，优先利用“特殊性质”解题（如矩形对角线相等、菱形四边相等）； 注意性质的适用前提（如“对角线相等”是矩形的特殊性质，平行四边形不具备）； 角度计算可利用“直角”“对角相等”“邻角互补”快速推导，边长计算直接套用定义或性质中的等量关系。 【例题1】.（25-26八年级上·山东东营·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 【变式题1-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 【变式题1-3】.（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【题型2】特殊平行四边形的基础判定 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的判定定理；平行四边形的判定与性质。 2.解题方法技巧 先判断前提：是“平行四边形背景”还是“普通四边形背景”，平行四边形背景下可少用一个条件； 开放性题型添加条件时，优先选择最简条件（如证菱形可加“一组邻边相等”或“对角线垂直”，选便于计算的即可）； 判定正方形时，先明确路径（先矩后菱或先菱后矩），再补充所需条件。 【例题2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·广东深圳·周测）下列说法中，不正确的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴 D．如图，四边形中，，顺次连接四边形各边中点得到的图形是矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，中点四边形，中位线的性质，根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确； B、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确； C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确； D、如图，四边形中， 设四边形各边中点分别为， ∴ 又∵， ∴ ∴四边形是菱形，即顺次连接四边形各边中点得到的图形是菱形，原说法错误； 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·四川成都·期末）如图， ，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【题型3】特殊平行四边形的周长与面积计算 1.核心知识点 矩形、菱形、正方形的周长公式与面积公式；对角线与面积的关系。 2.解题方法技巧 周长计算：矩形周长（长+宽），菱形/正方形周长边长； 面积计算：矩形直接用“长×宽”，菱形优先用“对角线乘积的一半”（已知对角线时），正方形灵活选择“边长²”或“对角线乘积的一半”； 注意“对角线分图形为面积相等的部分”（如矩形对角线分4个等腰三角形面积相等，菱形对角线分4个全等直角三角形）。 【例题3】.（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·广东广州·期中）顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形与原正方形相似，且相似比是，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 【详解】解：如图： 四边形是正方形， ，， ，F，G，H是正方形各边的中点， ， ，， ，， 同理：， 四边形是正方形， 四边形四边形， 设，则，， 所得的四边形的面积与原正方形的相似比为， 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 【变式题3-3】.（2025·江苏无锡·二模）操作与发现：如图①，将正方形纸片沿对角线折叠一次，剪去阴影部分（直角梯形）．如图②，将正方形纸片沿对角线折叠两次，剪去阴影部分（直角梯形）．与原正方形纸片相比，下列说法正确的是……（　　） A．图①、图②展开后周长均变大． B．图①、图②展开后周长均不变． C．图①、图②展开后周长均变小． D．图①展开后周长不变，图②展开后周长变大． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，根据折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长解答即可． 本题考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，图形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的周长为， 如图，根据折叠性质和正方形的性质，得到四边形都是矩形， 得到， 第一次剪裁后，图形的周长为 ， 故第一次剪裁后的图形周长与原正方形的周长相同； 同理可证，第二次剪裁后的图形周长与原正方形的周长也是相同的， 故选：B． 【培优高频题型】 【题型4】特殊平行四边形与三角形的综合计算 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；勾股定理；等腰三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 对角线与边构成直角三角形时（如矩形对角线分直角三角形、菱形对角线垂直构成直角三角形），直接套用勾股定理求未知边； 遇到“对角线夹角为60°/120°”时，优先找等边三角形（如矩形对角线夹角60°，则短边=对角线的一半）； 利用等腰三角形“等角对等边”转化线段关系（如菱形对角线平分对角，可推出等腰三角形）。 【例题4】.（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接，．则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点，推出当点A，P，E三点共线时，取得最小值，等于的长度，然后证明出是等边三角形，得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， 点，点关于所在直线对称，连接交于点， ， ， 当点A，P，E三点共线时，取得最小值，等于的长度， 四边形是菱形，， ， ， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， ，即的最小值为． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 【答案】2 【分析】由三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（2026·安徽合肥·一模）如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则α的度数是______． 【答案】 【分析】由五边形是正五边形，则，所以，又四边形是正方形，所以，最后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【题型5】平面直角坐标系中的特殊平行四边形 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；坐标与线段长度的关系；中点坐标公式。 2.解题方法技巧 已知顶点坐标求边长：利用“横坐标差²+纵坐标差²=边长²”； 已知三个顶点求第四个顶点：根据“对角线互相平分”（中点坐标相等）列方程，注意正方形、矩形需额外满足边长或对角线的特殊关系； 利用对称性简化计算（如矩形对边中点连线为对称轴，可快速求对称点坐标）。 【例题5】.（25-26九年级上·福建漳州·月考）重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是角平分线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ∴，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，利用得到，由全等三角形对应边相等得到，如图：过D作于F，利用勾股定理及面积法求出与的长，即可确定点D的坐标． 【详解】解：如图：设与x轴交于点E， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则有， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴， 如图：过D作于F， ∵， ∴， ， ∴． 故选C． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·吉林·期中）解答下列问题． (1)如图①，四边形是矩形，，，三点的坐标分别是，，，则点的坐标是_______________． (2)如图②，四边形是菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，求，两点的坐标． (3)如图③，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，直接写出，两点的坐标．（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用矩形的性质求出，即可． （2）利用菱形的性质求出，即可． （3）利用正方形的性质求出，，即可． 【详解】（1）解：如图1中，，， ，， 四边形是矩形， ，，， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，四边形是菱形， ，， ，， ．， ，； （3）解：如图3中，四边形是正方形， ，， ， ， ， ，． 【题型6】特殊平行四边形的折叠问题 1.核心知识点 折叠的性质（全等、对应边相等、对应角相等）；特殊平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 折叠后必全等，先标注对应边、对应角，将未知边转化为已知边； 矩形折叠常与直角三角形结合，利用勾股定理列方程（如设未知边长为，根据折叠后的线段关系列等式）； 菱形折叠注意“对角线垂直”的性质，折叠后可能形成等腰直角三角形。 【例题6】.（24-25八年级上·福建福州·期中）如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】分析由，求得，因为，所以，由折叠得，即可求得长方形的面积是2，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图形折叠可得，，因为正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出，即可作答． （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为3，， ，，， 在中，， ， 解得， ． （2）解：∵， ∴， ∴的面积． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或，图见解析 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， 同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 综上所述，BP的长度为或． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； ②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 【题型7】特殊平行四边形的判定与性质综合证明 1.核心知识点 特殊平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 证明线段相等：先证图形为特殊平行四边形，再利用“对边相等”“对角线平分”推导，或通过全等三角形证明； 证明线段平行：利用特殊平行四边形的“对边平行”，或通过全等推出内错角/同位角相等； 辅助线技巧：证明对角线关系时，优先连接对角线，利用“互相平分”“相等”“垂直”的性质。 【例题7】.（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【答案】 12 【分析】根据菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【变式题7-2】.（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点O，以为半径，点O为圆心作圆交于点E和点F，再作四边形即可．根据作图可知，，则四边形是正方形； （2）利用勾股定理求出，取的中点N，连接，可知利用中位线定理求出和，并证明，继而求出，再用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如下图所示，正方形即为所求作的正方形， （2）解：取的中点N，连接， 由作图可知： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵点N是的中点，是的中点， ∴，， ∴ ∴，． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·广东清远·期末）如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证出四边形是正方形，再通过延长至使构造全等三角形，先证，利用角的代换得到，再证，由全等三角形的对应角相等证得，从而证明平分． （2）取边的中点，作，交于点，连接，证四边形为正方形，利用（1）的角平分线结论结合的边角关系，通过勾股定理求出的长度，进而计算出的面积，结合正方形的面积与内部各三角形面积的数量关系求出的面积，再由是中点且证出是的中位线，得到为中点，最终将的面积转化为2倍的面积求解，核心是构造正方形实现面积拆分，利用中位线定理实现面积的倍数转化． （3）先在的延长线上取点使，连接，利用四边形内角和证得，结合四点共圆的性质证出，进而证得，得到且，由此证出为等边三角形，过作于，利用勾股定理求出的长度，再将四边形的面积转化为与的面积和，即等边的面积，最后通过三角形底乘高的面积公式求出结果． 【详解】（1）解：延长至点，使得，如图， ∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，取边的中点，作，交于点，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴四边形是正方形，面积为． 由（1）． ∴， ∴， 由勾股定理得，得， 解得， ∴． 在中，，同理，． ∴， 由（1），而， ∴． ∵是中点，， ∴是的中位线， 点是的中点， ∴. （3）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接． ∵四边形的内角和为， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，． 过点作于，则为的中点，． 在中，由勾股定理：， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，同时考查了图形面积的转化与计算，核心侧重辅助线的构造与几何图形间的边角、面积转化技巧．本题的关键是根据不同问题特征构造合适的辅助线，利用全等、特殊三角形的性质实现边角和面积的转化，将未知问题转化为已知可解的问题． 【压轴素养题型】 【题型8】特殊平行四边形与实际情境的综合应用 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质；数学建模思想；测量问题的转化。 2.解题方法技巧 实际建模：将实际问题（如测量物体高度、制作框架、光电转换）转化为特殊平行四边形问题，利用“对边相等”“对角线相等”将不可直接测量的线段转化为可测量线段； 测量技巧：如利用矩形对边平行构建平行四边形，使测量的线段长度等于目标线段长度； 跨学科融合：结合物理“光线反射”（利用平行线距离相等）、美术“图形拼接”（利用特殊平行四边形的对称性）等情境。 【例题8】.（24-25八年级下·山东临沂·月考）安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端A到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 操作示意图 操作数据 起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点B到的距离米 操作评价 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．中，根据勾股定理求出得到，于是得到结论． 【详解】解：在中， 由勾股定理得， 根据题意得：米， 米， 答：点到地面的距离的长为米． 【变式题8-1】.（24-25九年级下·福建厦门·月考）某小区入口为A处，共有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋．为激励居民进行垃圾分类和可回收物交投，社区垃圾分类管理部门准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心分类回收箱”（如图1）． 任务1：计算投放重量 “爱心分类回收箱”是一个有偿回收系统，回收标准为元/千克．某日，居民小海扫描回收箱上的二维码绑定手机号后，将回收物投入箱中，随后点击屏幕中的“结束投放”，很快屏幕显示元已入账所绑定的手机．入账金额需满10元才可以提现，若小海想提现，则他至少还需投入多少千克的回收物； 任务2：测算运输费用 当回收箱满仓时，会有专人将回收物转运到中转站，再进行大仓分拣，最终实现资源再生，据调查，运输费用随着运输距离的变化情况如表所示： 距离x/千米 … 1 2 3 4 5 6 … 运费y/元 … 10 13 16 … 若小区入口A处与回收点的距离为千米，请根据表3中的数据估计满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用； 任务3：确定摆放位置 现需设计“爱心分类回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最小，某数学兴趣小组开展了如下探究活动：小组成员借助小区平面图（如图2）测得，根据比例测算出了某些道路的长度，并抽象成图3，其中与交于点F，，米，米，米．请在图3中标出投放地点G的位置，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】任务1：千克；任务2：元；任务3：543米． 【分析】任务1：设还需投入x千克的回收物，根据入账金额需满10元才可以提现建立不等式求解即可； 任务 2 ，先求出距离大于 3 千米时的函数解析式，再将代入解析式求出值即可； 任务 3 ，连接交于点，连接，根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到 4 栋住宅楼的距离之和最小．就是求出线段的值即可． 【详解】解：任务1，设还需投入x千克的回收物， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为， 答：小海想提现，则他至少还需投入千克的回收物； 任务2：从表格数据看，当运输距离大于等于3千米时，运输距离每增加1千米时，运费增加元， ∴， 当时，； 答：满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用为元． 任务3：如图，连接交于点，连接， ∵，， ， ， ∴垂直平分线段， ， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到4栋住宅楼的距离之和最小． 米，米， （米）， 米， ∵， ， ∵， ， 米， （米）， 过点D作，则四边形是矩形， 米，米， （米）， （米）， （米）． 答：点G到四栋楼距离之和最小值约为543米． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次不等式的应用，求函数关系式和函数值，线段垂直平分线的性质与判定，等角对等边，矩形的性质与判定，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·福建宁德·期中）综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示．   （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取）    【答案】任务一：；任务二：272 【分析】任务一：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出，再根据图纸的绘制比例为，即可求出所需防虫网的实际长度； 任务二：先证明为等边三角形，再证明得，，进而得是等边三角形，垂直平分，根据垂直平分线的性质得，再证是等边三角形，则，即可判定四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算的面积，用实际面积除以即可得出答案． 【详解】解：任务一：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵图纸的绘制比例为， ∴所需防虫网的实际长度为：； 任务二：连接， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵图纸的绘制比例为，图纸上， ∴实际， ∴实际四边形的面积为：， ∵一株卷心菜合理种植面积是， ∴四边形最多种植（株）卷心菜． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，菱形判定，比例尺，勾股定理，垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，菱形的判定． 【变式题8-3】.（24-25九年级上·广东佛山·月考）根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 矩形就是长方形，四个角都是；两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时，常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简，我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的． 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 请说明矩形是黄金矩形的理由； 任务三 如图5，若，连接，求点E到线段的距离． 【答案】任务一：；任务二：见解析；任务三： 【分析】任务一：根据分母有理化，分子分母分别乘即可化简； 任务二：设，根据正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； 任务三：首先由黄金矩形的性质得到，然后求出，设点E到线段的距离为h，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：任务一：； 任务二：设， 由题意得：， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是黄金矩形； 任务三：∵四边形是黄金矩形， ∴； 由折叠知四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点E到线段的距离为h， ∴， 即， ∴； 即点E到线段的距离为． 【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，理解黄金矩形定义，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键． 【题型9】特殊平行四边形的动态问题 1.核心知识点 特殊平行四边形的判定与性质；动点路程表示；垂线段最短；将军饮马模型。 2.解题方法技巧 动点问题：设运动时间为，用含的代数式表示线段长度，根据判定条件列方程（如动点构成矩形需满足“对角线相等”）； 最值问题：利用“垂线段最短”求高的最值（进而求面积最值），或利用“将军饮马”模型求线段和的最小值（如菱形中动点到两定点距离和的最小值）； 分类讨论：动点在不同边上运动时，需分情况分析图形形状，避免漏解。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； （2）解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； （3）解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 【题型10】特殊平行四边形的新定义问题 1.核心知识点 特殊平行四边形的性质与判定；新定义的理解与应用（如“垂美四边形”“等对角四边形”）。 2.解题方法技巧 先吃透新定义（如“垂美四边形”是对角线垂直的四边形），再结合特殊平行四边形的性质推导结论； 利用“类比法”解题（如垂美四边形的面积公式可类比菱形）； 探究性问题：先假设结论成立，反向推导所需条件，再正向证明。 【例题10】.（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 【答案】(1)AC (2)补全一般研究中的探究过程见解析 (3) 【分析】（1）由勾股四边形定义逐项验证即可得到答案； （2）由等边三角形性质，在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而由勾股四边形定义得证； （3）以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示，由旋转性质得到，，由等腰三角形性质得到，由勾股定理可得，从而在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而确定线段的关系． 【详解】（1）解：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． A、如图所示： ， 矩形是勾股四边形，符合题意； B、如图所示： 等腰梯形的任意两条邻边都不垂直， 等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意； C、如图所示： ， 直角梯形是勾股四边形，符合题意； D、如图所示： 平行四边形的任意两条邻边都不垂直， 平行四边形不是勾股四边形，不符合题意； 故选：AC； （2）解：补全一般研究中的探究过程如下： 证明：以为边作等边三角形，连接，如图所示： ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， 在和中， ， ， ， 由勾股四边形定义可知，邻边平方和等于对角线的平方，故四边形为勾股四边形； （3）解：以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示： ，， ，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，， ，则， ， 在和中， ， ， , ，即， 故线段的关系是． 【点睛】本题几何综合，涉及勾股定理、矩形性质、等腰梯形性质、直角梯形性质、平行四边形性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，读懂题意，理解勾股四边形定义及求证方法是解决问题的关键． 【变式题10-1】.（24-25八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①画图见解析，② 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 【变式题10-2】.（24-25八年级下·湖南长沙·月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【答案】(1)①  ② (2)①  ② (3)①×  ②× 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键． （1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，进行说明． 【详解】（1）解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为， ∴菱形的“接近度”：， 故答案为：； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形， 故答案为：； （2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； （3）解：①×， 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等. 故答案为：×； ②×， 理由如下： 越接近，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×. 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形： ． (2)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． (3)如图2、3在方格纸中，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (4)【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【答案】(1)长方形（矩形）或正方形 (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等内容，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据定义直接得解； （2）连接，在中求出，进而在中求出； （3）依据题意画图即可； （4）由题易得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可知长方形（矩形）或正方形符合题意， 故答案为：长方形（矩形）或正方形； （2）解：如图，连接， 在中，， 在中，， 故答案为：． （3）解：如图所示，画两个不全等的即可； （4）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵点E是的中点，， ∴，． ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； ∴四边形是对直四边形． 易错点 1.混淆特殊平行四边形的判定条件：如误认为“对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形”（缺少“平行四边形”前提）； 2.忽略分类讨论导致漏解：如已知三个顶点求正方形第四个顶点时，未考虑不同的对角线情况；动点问题未分动点在不同边上的情况； 3.面积计算时误用公式：如菱形面积忘记除以2（对角线乘积直接作为面积），正方形面积混淆“边长²”与“对角线乘积”； 4.折叠问题中未找准对应关系：导致线段长度、角度关系错误，进而影响勾股定理的应用； 5.误认为“正方形是轴对称图形但不是中心对称图形”（实际正方形既是轴对称也是中心对称图形）。 重点 1.掌握矩形、菱形、正方形的核心性质（角、边、对角线），能熟练进行边、角、周长、面积的计算； 2.灵活运用特殊平行四边形的判定方法，根据题目条件选择最优路径（如平行四边形背景下证矩形优先看对角线）； 3.理解特殊平行四边形的包含关系，能根据图形特征快速判断类型； 4.掌握折叠、坐标系、动点等基础综合题型的解题思路，能利用勾股定理、全等三角形等工具转化问题； 5.能将实际问题转化为特殊平行四边形模型，解决测量、拼接等实际应用问题。 难点 1.特殊平行四边形的综合证明：需结合判定与性质，灵活运用全等、勾股定理、等腰三角形等知识，梳理复杂逻辑关系； 2.动态问题的分析：动点、旋转、折叠等问题中，需变“动”为“静”，准确表示线段关系，结合分类讨论和最值模型解题； 3.新定义与探究性问题：需快速理解新定义的本质，类比已有知识推导结论，具备逆向思维和创新意识； 4.实际情境的建模：能从复杂的实际问题中提炼出特殊平行四边形的核心特征，将实际需求转化为数学条件； 5.特殊平行四边形与其他几何图形（如三角形、圆）的综合应用：需整合多个知识点，设计合理的辅助线策略。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线性质，需根据各图形对角线的特征判断是否同时满足垂直且相等即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直或相等，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线相等但不垂直，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直但不相等，故此选项不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直且相等，故此选项符合题意． 故选：D． 2．如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 3．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 4．在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 四边形是矩形． 5．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 二、填空题 6．一个矩形相邻两边的长分别为m，n，则这个矩形的周长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的周长是（长宽）即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的周长是． 7．如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，． ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得的长，进而得到的长，最后根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 【答案】/ 【分析】作于点H，设交于点E，根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得，解得，然后根据，求出即可． 【详解】解：作于点H，设交于点E， ∵四边形是矩形， ，， ∵将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置， ，，， ， ， ∵， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标是． 10．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 12．如图，的对角线交于点，，，当___________时，求证：四边形是菱形．从以下三个选项中选一个作为已知条件：，并完成证明．你选择的条件是___________． 【答案】①或③，证明见解析 【分析】选择的条件只要能证得四边形是矩形即可证明四边形是菱形 【详解】选择①时， 证明：四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 选择③时， 证明：四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形． 13．如图，为矩形的对角线，过的中点O作的垂线，分别交，于F，E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，求出，可得，可得四边形是平行四边形．可得平行四边形为菱形； （2）由，得，∴由的面积为，得，得，即，得（负值舍去），即． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：由（1）可得，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴①， ∵的面积为， ∴， 即②， 把②代入①得，， 即， ∴（负值舍去）， ∴． 14．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 15．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出且，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先得到，，然后结合推出，进而证明即可； （3）勾股定理求出，，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点． ∴且，，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． ∵分别是的中点． ∴，， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $