学易金卷：七年级数学下学期5月学情自测卷（新教材冀教版，范围：七年级下册第6～10章）

**基本信息** 聚焦冀教版七年级下册第6-10章，通过生物链能量计算、光的反射定律等跨学科情境，融合基础巩固与创新应用，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|平移、命题真假、平行线判定、代数式|第9题结合生物链能量考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|4/12|二元一次方程组、中点与面积、实际分配问题|第16题糖果分配问题，考查模型意识| |解答题|8/72|几何推理、代数恒等式验证、新定义“似黄金三角形”|第23题光的反射定律应用，第24题新定义探究，凸显推理能力与创新意识|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（8分） (1) (2)（用简便方法） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 解：（已知） _______，（______________） ，（______________） （已知） ，（______________） ，（______________） _______，（______________） ．（______________） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ ■■■ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 选择题（每小题3分，共36分） 1[A]B][C]D1 5[A]B1[C]D] 9[A]B][C]D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 1I[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 12[A][B][C]D] 戡 二、 填空题（每小题3分，共12分） 13. 14 15. 16 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 氧 17.(8分) (1)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y)(2)20252-2023×2027(用简便方法) 舸 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) B - p· 19.(8分) 解：∠BEC=∠BDF=90°（已知） .CE∥ ( .∠ECB+∠CFD=180°，( .·∠GEC+∠CFD=180°（已知） ,∠GEC=∠ECB,( ∴.GE∥BC,( =∠ACB=90°，( .EG⊥AC.( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 0 b 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 34 、sss-m 6 a 6 5 图2 E P a 60° M PF地面 6 R 图4 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版七年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．2022 年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的，在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ）内应填的整数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3.对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（   ）时，． A． B． C． D． 5.如图，点，，分别是的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则代表的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 7．（重点）如图，中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是（    ） A．50 B．42 C．30 D．20 8．如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（新考法）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 10．（重点）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 11．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知和分别为十位数字和个位数字，，根据图2中现有数据进行推断，下列说法一定正确的是（） A． B． C．这个两位数为 D．的运算结果小于3000 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．已知是关于，的二元一次方程组，则______． 14.如图，已知D，E，F分别为的中点，若四边形的面积为15，则的面积为_______． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为______． 16．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（8分）计算 (1) (2)（用简便方法） 18．（8分）作图题 (1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由． 答：在__________开始挖掘     理由：____________________． (2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． ①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的； ②线段与线段的关系是__________． 19．（8分）如图，在三角形中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 解：（已知） _______，（_______） ，（_______） （已知） ，（_______） ，（_______） _______，（_______） ．（_______） 20．（8分）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 21．（8分）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如下表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 (1)求每件商品A，B的标价； (2)若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有等几种购买方案？ 22.（重点）（10分）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 23.（新考法）（10分）【阅读理解】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则___________度，___________度； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【拓展提升】 (4)如图4，为一块双面镜子（任何角度都能反射.左右两面都可以反射），一束固定光线与右侧镜面成60°角照射在点处后反射光线为；另一束光线照射在镜面（左右均可）的处后反射光线为.若，直接写出的度数． 24.（12分）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版七年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．2022 年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的，在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ）内应填的整数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3.对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（   ）时，． A． B． C． D． 5.如图，点，，分别是的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则代表的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 7．（重点）如图，中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是（    ） A．50 B．42 C．30 D．20 8．如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（新考法）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 10．（重点）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 11．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知和分别为十位数字和个位数字，，根据图2中现有数据进行推断，下列说法一定正确的是（） A． B． C．这个两位数为 D．的运算结果小于3000 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．已知是关于，的二元一次方程组，则______． 14.如图，已知D，E，F分别为的中点，若四边形的面积为15，则的面积为_______． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为______． 16．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（8分）计算 (1) (2)（用简便方法） 18．（8分）作图题 (1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由． 答：在__________开始挖掘     理由：____________________． (2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． ①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的； ②线段与线段的关系是__________． 19．（8分）如图，在三角形中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 解：（已知） _______，（_______） ，（_______） （已知） ，（_______） ，（_______） _______，（_______） ．（_______） 20．（8分）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 21．（8分）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如下表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 (1)求每件商品A，B的标价； (2)若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有等几种购买方案？ 22.（重点）（10分）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 23.（新考法）（10分）【阅读理解】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则___________度，___________度； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【拓展提升】 (4)如图4，为一块双面镜子（任何角度都能反射.左右两面都可以反射），一束固定光线与右侧镜面成60°角照射在点处后反射光线为；另一束光线照射在镜面（左右均可）的处后反射光线为.若，直接写出的度数． 24.（12分）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版七年级下册第6~10章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．2022 年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的，在选项的四个图中，能由给出的图形经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【解析】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到， 故选：C． 2．若，则（    ）内应填的整数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解析】∵， ∴（    ）内应填的整数是8， 故选：D． 3.对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【解析】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 4.如图，已知：直线a、b被直线c所截，，则是（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先假设，根据平行线的性质结合对顶角相等即可求解． 【解析】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5.（重点）如图，点，，分别是的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．依据平行线的判定方法进行判断即可． 【解析】解：A．，则（同位角相等，两直线平行），不合题意； B．，则（同旁内角互补，两直线平行），不合题意； C．，则（同位角相等，两直线平行），不能判定，符合题意； D．，则（内错角相等，两直线平行），不合题意； 故选：C． 6．已知，则代表的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用，将式子进行计算，即可得到答案． 【解析】解：， 代表的数是8， 故选：D． 7．（重点）如图，中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是（    ） A．50 B．42 C．30 D．20 【答案】B 【分析】根据三角形中位线把三角形分成面积相同的两部分，可得，进而求出，然后根据，可得，即可求出，最后把和面积相加即可． 【解析】解：是边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【解析】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9.（新考法）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 10．（重点）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 11．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【解析】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 12．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知和分别为十位数字和个位数字，，根据图2中现有数据进行推断，下列说法一定正确的是（） A． B． C．这个两位数为 D．的运算结果小于3000 【答案】C 【分析】根据题目中给出的计算方法，结合整式的乘法，逐一计算判断即可． 【解析】解：根据题意，得或， 故A不符合题意； 根据题意，得或， 故B不符合题意； 根据题意，得，，故， 故这个两位数为， 故C正确，符合题意； 根据，得，根据题意，得，故或， 根据题意，得或， 由m，d都是正整数， 故或， 故这个两位数为或56 或， 故D不符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．已知是关于，的二元一次方程组，则______． 【答案】3 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 把方程组的两个方程相加得到． 【解析】解：， 由，得， 解得，． 故答案为：3． 14.如图，已知D，E，F分别为的中点，若四边形的面积为15，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先得到，，，进而得到，再由四边形的面积为15得到，据此求出，则． 【解析】解：∵是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：（个）， 乙袋：（个）， 丙袋：（个）， ∵此时三只袋中球的个数都相同， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 16．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【解析】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（8分）计算 (1) (2)（用简便方法） 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）原式变形为，然后根据完全平方公式计算即可； （2）先把变形为，然后根据平方差公式计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解∶原式 ． 18．（8分）作图题 (1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由． 答：在__________开始挖掘     理由：____________________． (2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处． ①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的； ②线段与线段的关系是__________． 【答案】(1)点H，垂线段最短 (2)①见解析；②平行且相等 【分析】（1）过点P作于点H，根据垂线段相等，得到点H即为开挖点； （2）①找到点A、C平移后的对称点，顺次连接，即可得到； ②根据平移的性质即可得到线段与线段的关系． 【解析】（1）解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短， 故答案为：点H，垂线段最短 （2）①如图所示，即为所求， ②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 19．（8分）如图，在三角形中，点、在边上，点、分别在边、上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 解：（已知） _______，（_______） ，（_______） （已知） ，（_______） ，（_______） _______，（_______） ．（_______） 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先证明，再根据两直线平行，同旁内角互补得，结合，则，根据内错角相等，两直线平行，得，则，即可作答． 【解析】解：（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ，（同角的补角相等） ，（内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） ．（垂直的定义） 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 20．（8分）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则和几种常见的分解因式的方法． （1）把已知条件中的，，代入，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于，的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中，，求出的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【解析】（1）解：，，， ， ， ， ， ，由①得：， 把代入②得：， ； （2）解：∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除． 21．（8分）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如下表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 (1)求每件商品A，B的标价； (2)若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有等几种购买方案？ 【答案】(1)A的标价为50元，B的标价为40元 (2)三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，理解题意正确列方程是解题关键． （1）设每件商品A的标价为x元，每件商品B的标价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买商品Am件，商品Bn件，根据题意列二元一次方程，得到，进而得到m、n的可能取值，即可得到答案． 【解析】（1）设每件商品A的标价为x元，每件商品B的标价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件商品A的标价为50元，每件商品B的标价为40元； （2）设购买商品A，m件，商品B，n件， 由题意得：， 解得：， ∵m、n为正整数， ∴m、n的可能取值为或或， 即张老师有三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件． 22.（重点）（10分）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30． 【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 【解析】解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：； （2）①设，，则，， ， 故答案为：7； ②设，，则，， ， 故答案为：3； （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为30． 23.（新考法）（10分）【阅读理解】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角（如图1）．在反射现象中，入射光线、反射光线和法线都在同一个平面内；入射光线和反射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【初步探究】如图2，已知镜子与镜子互相平行，入射光线经过两次反射后的反射光线为． (1)若，则___________度，___________度； (2)猜想入射光线与反射光线的位置关系，并证明； 【应用探究】 (3)如图3，有一口古井，将镜面的一端放置在水平地面上，若入射光线与镜面的夹角为，如何放置平面镜（即度数为多大时），可使反射光线正好垂直照射到井底（与水平地面垂直）？ 【拓展提升】 (4)如图4，为一块双面镜子（任何角度都能反射.左右两面都可以反射），一束固定光线与右侧镜面成60°角照射在点处后反射光线为；另一束光线照射在镜面（左右均可）的处后反射光线为.若，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据入射角等于反射角以及平行线的性质，可求出、的度数； （2）结合（1）可证，即可得出入射光线与反射光线的位置关系； （3）延长，交于点，结合三角形内角和求的度数即可； （4）由入射角等于反射角，，得出，过点作，再求出的度数． 【解析】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：，证明如下： 由（1）可知， ， ∵，， ∴， ∴． （3）解：延长，交于点，如下图所示： ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， 若要反射光线正好与水平地面垂直， ∴， ∴． （4）解：∵入射角等于反射角，， ∴， 过点作，如下图所示： ∵入射光线与镜面成角， ∴， ∴． 24.（12分）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【解析】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C C D B C B D D C 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．3 14．40 15．128 16．13 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.（8分）【解析】（1）解：原式 ；（4分） （2）解∶原式 ．（8分） 18.（8分）【解析】（1）解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短， 故答案为：点H，（2分）垂线段最短（4分） （2）①如图所示，即为所求，（6分） ②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等（8分） 19.（8分）【解析】解：（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） （已知） ，（同角的补角相等） ，（内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） ．（垂直的定义） 故答案为：；（1分）同位角相等，两直线平行；（2分）两直线平行，同旁内角互补；（3分）同角的补角相等；（4分）内错角相等，两直线平行；（5分）；（6分）两直线平行，同位角相等；（7分）垂直的定义（8分） 20.（8分）【解析】（1）解：，，， ， ， ， ， ，由①得：， 把代入②得：， ；（4分） （2）解：∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除．（8分） 21.（8分）【解析】（1）设每件商品A的标价为x元，每件商品B的标价为y元， 由题意得：，（2分） 解得：，（3分） 答：每件商品A的标价为50元，每件商品B的标价为40元；（4分） （2）设购买商品A，m件，商品B，n件， 由题意得：， 解得：，（5分） ∵m、n为正整数， ∴m、n的可能取值为或或， 即张老师有三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件．（8分） 22.（10分）【解析】解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：；（2分） （2）①设，，则，， ， 故答案为：7；（4分） ②设，，则，， ， 故答案为：3；（6分） （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即，（8分） ， 答：一块直角三角板的面积为30．（10分） 23.（10分）【解析】（1）解：∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， ∴， 故答案为：，．（2分） （2）解：，（3分）证明如下： 由（1）可知， ， ∵，， ∴， ∴．（5分） （3）解：延长，交于点，如下图所示： ∵入射角等于反射角，由等角的余角相等， ∴， 若要反射光线正好与水平地面垂直， ∴， ∴．（8分） （4）解：∵入射角等于反射角，， ∴， 过点作，如下图所示： ∵入射光线与镜面成角， ∴， ∴．（10分） 24.（12分）【解析】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：；（2分） （2）解：∵，， ∴，（4分） ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴；（6分） 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去；（8分） 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或；（10分） （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $