专题11 数列通项公式的求法【9大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题11 数列通项公式的求法 题型预览 题型一 观察法 题型二 累加法 题型三 累乘法 题型四 由an与Sn的关系求通项 题型五 an＋1＝pan＋q型 题型六 an＋1＝pan＋qn型 题型七 an＋1＝pan＋f(n)型 题型八 an＋1＝型 题型九 an＋1=an2型 知识清单 由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 题型突破 题型一 观察法 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建宁德·期末）数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·期末）下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 4．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 题型二 累加法 5．（25-26高二下·广西贺州·月考）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 6．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 7．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则___________． 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 10．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 题型三 累乘法 12．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 13．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 16．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 题型四 由an与Sn的关系求通项 17．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 18．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； 19．（江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； 20．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： 21．（25-26高二下·重庆·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前9项和为 22．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. 题型五 an＋1＝pan＋q型 23．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 24．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列中，，，则________． 25．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 26．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知数列满足，且，则______. 题型六 an＋1＝pan＋qn型 27．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 28．（2025·云南·二模）记数列的前项和为，若，则_______________. 29．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 题型七 an＋1＝pan＋f(n)型 31．（25-26高二下·广西贺州·月考）已知数列满足，且，则______． 32．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 33．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 题型八 an＋1＝型 35．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 36．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 37．（24-25高二上·广东·月考）已知数列满足,则（    ） A．2025 B．2025 C． D． 38．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 39．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型九 an＋1=an2型 40．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 41． （2025高三·全国·竞赛）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 42． 强化训练 1．（25-26高二下·四川巴中·期中）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西西安·月考）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列的前项和为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南昭通·期中）数列的前n项和为，且，则为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 7．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 9．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南新乡·月考）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 11．（25-26高二上·陕西西安·月考）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 12．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 13．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）（多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D． 14．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 15．（25-26高二下·四川成都·期中）记为数列的前项和，若，则______. 16．（25-26高三下·山西朔州·月考）已知数列满足，，则____________________ ． 17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，求数列的通项公式为____________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数列通项公式的求法 题型预览 题型一 观察法 题型二 累加法 题型三 累乘法 题型四 由an与Sn的关系求通项 题型五 an＋1＝pan＋q型 题型六 an＋1＝pan＋qn型 题型七 an＋1＝pan＋f(n)型 题型八 an＋1＝型 题型九 an＋1=an2型 知识清单 由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． 形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 题型突破 题型一 观察法 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高二上·福建宁德·期末）数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次分析各项，寻找规律，求出结果. 【详解】数列1，，4，，中， ， ， ， ， ， ……， 故选：. 3．（25-26高二上·天津·期末）下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】②③ 【分析】根据数列的定义判断①；根据数列的通项公式求第11 项，判断②；根据数列的概念，判断③；将所给数列的项代入通项公式逐项检验可判断④. 【详解】数列，与数列的顺序不同，所以不是同一个数列，所以①错误； 数列的通项公式为，则，所以110是该数列的第11项，所以②正确； 已知数列，则按此规律排列，该数列的通项公式为，所以第8个数是，所以③正确； 对于数列，第三项均不满足，所以④错误. 故答案为：②③. 4．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 题型二 累加法 5．（25-26高二下·广西贺州·月考）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 【答案】B 【分析】用累加法结合对数运算即可求解. 【详解】由题意得， ， …， ， 以上各式相加得． 6．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 7．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则___________． 【答案】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 8．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 9．（24-25高二下·上海·期中）已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知递推公式，用裂项可得，通过累加法即可求得通项公式. 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ， . 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 【答案】，，，，，，证明见解析 【分析】直接根据递推公式求前5项，再利用累乘法证明. 【详解】根据，， ，，， ，. 猜想：， 证明如下：当时，，显然，则， 则， 累乘得，所以，对也适合，则. 题型三 累乘法 12．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 13．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 14．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求解通项公式即可； （2）首先求得，再利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）因为，且， 所以当时， 又也满足，所以. （2）由（1）知：， ， ① ， ② ①②得： ， 所以． 15．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【分析】由题设可得，进而利用累乘法求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 16．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 题型四 由an与Sn的关系求通项 17．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． 18．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； 19．（江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）先根据等差数列的性质，再利用作差法推出数列的递推关系，进而即可求出的通项公式； 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 所以当时，， 两式相减得，， 即，即， 因为为正项数列，所以，则， 当时，，解得（舍去），或， 所以是以首项为1，公差为1的等差数列， 则． 20．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： 【答案】(1)证明见详解； 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. 21．（25-26高二下·重庆·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前9项和为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据前n项和与通项公式之间的关系运算求解；对于B：结合等差数列求和公式运算求解；对于C：可得当为奇数，则，结合并项求和运算求解；对于D：整理可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 当时，； 当时，则， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以，故A正确； 对于选项B：因为，可知数列为等差数列， 所以的前项和为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的前100项和为，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前9项和为，故D正确. 22．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用的关系式，把转化成关于的递推公式，因式分解，利用等差数列的定义即可证明； 【详解】（1）由题意得，，① 当，得，解得：， 当，得，② 得，， 化简得，，进而得到， ，又由为正项数列得，，故有， ，所以，， 故数列是等差数列，又，所以. 题型五 an＋1＝pan＋q型 23．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 24．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列中，，，则________． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 25．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 26．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知数列满足，且，则______. 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 题型六 an＋1＝pan＋qn型 27．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 28．（2025·云南·二模）记数列的前项和为，若，则_______________. 【答案】/0.5 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 29．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 题型七 an＋1＝pan＋f(n)型 31．（25-26高二下·广西贺州·月考）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 32．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 33．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 34．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 题型八 an＋1＝型 35．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 36．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 37．（24-25高二上·广东·月考）已知数列满足,则（    ） A．2025 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 38．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，则=______ 【答案】 【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，再利用“不动点法”求数列的通项公式. 【详解】令，解得该方程的唯一不动点， 所以. 所以数列是公差为的等差数列， 从而，解得. 故答案为：. 39．（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 题型九 an＋1=an2型 40．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足，，则__________. 【答案】 【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到 【详解】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 41．（2025高三·全国·竞赛）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】利用对数运算将幂运算降次，再通过构造等比数列，最后通过 指对互化求出的通项公式. 【详解】因为，所以， 又， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此即， 所以. 故答案为：. 强化训练 1．（25-26高二下·四川巴中·期中）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式. 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 2．（25-26高二下·陕西西安·月考）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过逐项验证即可判断. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列的前项和为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用累加法可求得，进而得到；利用错位相减法可求得，由此可得的取值范围. 【详解】，， 当时， ， ， 又时，满足，，， ，， ，， ，；又，，. 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 【答案】D 【分析】变形给定的递推公式并构造新数列，利用累加法求出通项公式即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B. 6．（25-26高二下·云南昭通·期中）数列的前n项和为，且，则为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】因为，则. 7．（2026·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，，则（   ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】B 【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得. 【详解】当时，，则， 故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【答案】C 【详解】由题设，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以，则. 9．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 10．（25-26高二下·河南新乡·月考）（多选）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 11．（25-26高二上·陕西西安·月考）（多选）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 13．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）（多选）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由前项和为可得，进而再由累乘法可得，对A直接验证，对B用定义判断可得，对C由及正弦函数的单调性判断可得，对D用放缩，并用裂项求和可得. 【详解】因为，当时，， 所以两式相减得：，即， 因为，所以， 由累乘法求通项得：， 验证当，，符合公式，因此. A： ​，A错误； B：因为， 所以，所以为递减数列，B正确； C：因为，， 又因为，所以，而函数在单调递增， 所以，故C正确； D：当时，， 当，因为，且，所以， 所以， 所以 ， 故不等式成立，D正确. 14．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 15．（25-26高二下·四川成都·期中）记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【分析】利用与关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果. 【详解】当且时，， ， 又，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， . 16．（25-26高三下·山西朔州·月考）已知数列满足，，则____________________ ． 【答案】 【分析】将化为，令，可得到，不妨取，可证明为等比数列，求出即可求出. 【详解】由得， 令，即有，，即， 则， 即， 不妨取，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，求数列的通项公式为____________. 【答案】 【分析】利用特征根来构造等差递推关系即可求解. 【详解】令，得为其根， 则由两边同时减去， 可得， 两边同时取倒数得：， 即 ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 故 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $