专题07 数列的概念【6大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题07 数列的概念 题型预览 题型一 数列的概念与辨析 题型二 根据规律填写数列中的某项 题型三 判断数列的增减性 题型四 确定数列中的最大(小)项 题型五 判断或写出数列中的项 题型六 数列周期性的应用 知识清单 一、数列的概念与分类 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数　 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋 势　　 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 【注意】(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． 二、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)． 【注意】数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 三、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 四、数列的递推公式 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【注意】(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列． 五、an与Sn的关系 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 【注意】由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示． 由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 题型突破 题型一 数列的概念与辨析 1．（25-26高二下·江西上饶·月考）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．数列与数列是同一数列 B．数列与数列是同一数列 C．能构成一个数列 D．数列存在通项公式 【答案】CD 【分析】根据数列概念分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，两数列中的数排列次序不相同，所以两数列不是同一数列，故A错误； 对于B，数列是有穷数列，而数列，…是无穷数列，所以两数列不是同一数列，故B错误； 对于C，由数列的定义，可知能构成一个常数列，故C正确； 对于D，该数列的一个通项公式为，所以数列存在通项公式，故D正确． 故选：CD． 4．（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 题型二 根据规律填写数列中的某项 5．（25-26高二下·四川南充·月考）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 6．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 7．（24-25高二下·重庆·月考）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 8．（25-26高二上·湖南永州·月考）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 9．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项______． 【答案】/ 【分析】可以将数列分组，确定第17项应该是第6组的第2个，即可得解. 【详解】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项． 故答案为： 题型三 判断数列的增减性 10．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)5724项 【分析】（1）将原数列按适当的方法分群即可求解； （2）结合数列呈现的规律即可求解. 【详解】（1）将原数列按下面的方法分群： 在第个群中有个元素，且第个群中的分母都等于， 则第1个群到第个群共有：个元素， 有，解得，故第43项在第9群中． 又，所以第43项是第9群中的第7个元素，即为． （2）又， 所以是原数列中的第项． 11．（25-26高二下·安徽·月考）（多选）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，则有， 因此该数列是递增数列，故A正确； 对于B，，则有， 因此该数列是递减数列，故B错误； 对于C，，，， 因此该数列不是递增数列，故C错误； 对于D，，函数在上为增函数， 因此该数列是递增数列，故D正确； 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断数列的增减性. 【答案】递增数列 【分析】法一：通过作差比较法证得，即可；法二：通过作商比较法证得即得；法三：利用构造函数法，先说明对应函数的单调性即可推得数列的增减性. 【详解】． 法一：（作差法）由 ， ，，即， 数列为递增数列． 法二：（作商法）． 由， 可得，故数列为递增数列． 法三：（构造函数法）令， 则， 因函数在上是减函数，故函数在上是增函数， 数列是递增数列． 13．（25-26高二下·江西·月考）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 【答案】AC 【分析】利用9的约数求解判断A；确定数列单调性判断BC；利用相邻3项中负数项的个数判断D. 【详解】对于A，由，则是9的约数，又，因此或或或或， 使的项共有项，A正确； 对于BC，，由，得， 解得，又，则当时，，当或时，， 令，解得，因此，， 即数列有最小项，且有最大项，B错误，C正确； 对于D，要使，又，则中恰有个负数或恰有个负数， 因此或或，即满足的的值共有个，D错误. 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)数列是递减数列，理由见解析 【分析】（1）解一元二次方程可求数列的通项公式； （2）法一：利用作差法可得，即可得结论.法二：利用作商法可得，即可得结论. 【详解】（1），， ，即，解得， ，. （2）数列是递减数列，理由如下： （方法一：作差法） ， 又，，， ，即.数列是递减数列. （方法二：作商法） ，，. 数列是递减数列. 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列中，． (1)求； (2)证明是递增数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列通项公式代值计算即得； （2）通过作差比较法，可得当时，，即可得证. 【详解】（1）因，则，故． （2）当时，， 即．故是递增数列． 题型四 确定数列中的最大(小)项 16．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】分析数列的单调性，确定数列中最小的项. 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 18．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 19．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 题型五 判断或写出数列中的项 20．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列中，，则（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 21．（25-26高二下·江西南昌·月考）数列的通项公式为，则110是该数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由，得， 因，解得，所以110是该数列的第11项. 22．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 23．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列的通项公式为，则123是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】B 【详解】令，则，所以，解得或（舍去）， 所以123是该数列的第11项. 24．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)是该数列中的项；对应和；该数列中有小于0的项；共项； (2)或时，有最小值；最小值为． 【分析】（1）假设是数列中的项，解方程求出相应，从而判断结论；解不等式求出的范围，进而判断相应项数； （2）结合通项公式的函数性质，求出最小值对应的项，进而求解． 【详解】（1）若是该数列中的项，则有解， 解得或， 该数列的第5项和第16项都为， 由，解得， 该数列中有小于0项，共有18项． （2），其对称轴为， 又， 当或时，有最小值，其最小值为． 题型六 数列周期性的应用 25．（25-26高三·全国·三轮复习）在数列中，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式求出数列的前面一些项，推出数列的周期，由此即可求得答案. 【详解】因为数列中，，，， 故，，，， ， 则为周期为6的周期数列， 故. 26．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数m的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】数列中，，当时，， 因此对，，所以正整数m的最小值为2. 27．（25-26高二下·江西九江·期中）数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，，，，，… 所以数列是周期数列，周期为3， 所以. 28．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 【答案】2 【详解】由，，所以，， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 强化训练 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 3．（25-26高二下·江西萍乡·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据数列的周期性即可求解. 【详解】, 因此是周期数列，且周期为3，故 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【分析】通过递推公式计算前几项，当时借助函数的单调性即可得最大项. 【详解】当时，由题意得，又，故； 当时，由题意得，又，故； 当时，， 因为函数在上是减函数， 故时，达到最大，故第4项为最大项． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（   ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【分析】由数列通项公式的结构特征利用二次函数配方法结合二次函数性质即可分析求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项． 故选：C 6．（25-26高二下·江西·月考）数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，的前两项依次为，不符合题意，故B错误； 对于C，即为，对应的余弦值为，符合题意，故C正确； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 7．（25-26高二下·广西贺州·月考）是数列的（    ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 【答案】C 【分析】根据数列的概念求解即可. 【详解】由，解得． 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC 8．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【分析】由数列的定义判断A；由求参数判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 9．（25-26高二下·广西·月考）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依次计算出数列的前几项，得出数列的周期，从而得到正确选项. 【详解】由题意，得，所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二上·江苏淮安·期末）（多选）下列有关数列的说法正确的有（   ） A．数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B．数列的通项公式可以是 C．数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D．数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 【答案】BCD 【分析】对于A，根据数列的定义即可判断，对于B，根据通项公式即可判断，对于C，由，解出即可判断，对于D，先判断单调性，进而求解. 【详解】对于A，数列1，2，3和数列3，2，1不是同一个数列，故A错误； 对于B，数列的一个通项公式可以是，故B正确； 对于C，由，解得或（舍去），故C正确； 对于D，由，又函数在单调递减， 当时，，当时，，又，所以，， 所以数列的最大项是第6项，故D正确； 故选：BCD. 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列的通项公式为，则________. 【答案】2 【详解】. 13．（25-26高二下·辽宁营口·开学考试）已知数列的通项公式为，则使成立的最大正整数的值为_______． 【答案】673 【详解】由数列的通项公式为，得数列单调递减， ，解得， 而，所以的最大值为673. 14．（2026·福建莆田·模拟预测）已知数列满足，且，则___________． 【答案】/ 【分析】利用代入法，求出数列前几项，进而判断该数列是周期数列，运用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为数列满足，且， 所以，，， 所以该数列的周期为，因此. 15．（25-26高二下·全国·课后作业）已知无穷数列． (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)该数列在区间内有项，有4项． 【分析】（1）根据观察法分析得出通项公式； （2）应用通项公式化简解不等式结合项数的要求求解. 【详解】（1）因为数列的分子依次为可看成与项数n的关系式为， 而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为． 所以这个数列的一个通项公式为． （2）当时，可得． 由，解得，可得． 由，解得，可得． 所以，且，即可取， 综上，该数列在区间内有项，并且有4项． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小项为，最大项为． (2) 【分析】（1）由题可得，结合函数的单调性即可求出数列的最小项和最大项； （2）由题可得，要使，结合函数的单调性，则，解不等式即可求解. 【详解】（1）若，则． 于是，结合函数的单调性，可知，且． 故数列的最小项为，最大项为． （2）对进行变形，可得．因为不等式对任意的恒成立， 所以结合函数的单调性，可知应满足，解得．故实数a的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列的概念 题型预览 题型一 数列的概念与辨析 题型二 根据规律填写数列中的某项 题型三 判断数列的增减性 题型四 确定数列中的最大(小)项 题型五 判断或写出数列中的项 题型六 数列周期性的应用 知识清单 一、数列的概念与分类 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数　 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋 势　　 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 【注意】(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． 二、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f (n)． 【注意】数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． 三、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f (n)，通过研究f (n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 四、数列的递推公式 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【注意】(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列． 五、an与Sn的关系 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 【注意】由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段的形式表示． 由前n项和求通项公式的步骤 (1)先利用a1＝S1，求出a1． (2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式． (3)注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式an． 题型突破 题型一 数列的概念与辨析 1．（25-26高二下·江西上饶·月考）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 2．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．数列与数列是同一数列 B．数列与数列是同一数列 C．能构成一个数列 D．数列存在通项公式 4．（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 题型二 根据规律填写数列中的某项 5．（25-26高二下·四川南充·月考）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 7．（24-25高二下·重庆·月考）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二上·湖南永州·月考）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 9．（2025高二·全国·专题练习）已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项______． 题型三 判断数列的增减性 10．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，问： (1)第43项为多少？ (2)是数列的第几项？ 11．（25-26高二下·安徽·月考）（多选）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断数列的增减性. 13．（25-26高二下·江西·月考）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列中，． (1)求； (2)证明是递增数列． 题型四 确定数列中的最大(小)项 16．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 18．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 19．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 题型五 判断或写出数列中的项 20．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列中，，则（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 21．（25-26高二下·江西南昌·月考）数列的通项公式为，则110是该数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 22．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列的通项公式为，则123是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 24．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 题型六 数列周期性的应用 25．（25-26高三·全国·三轮复习）在数列中，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．1 26．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数m的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 27．（25-26高二下·江西九江·期中）数列满足，，则等于（   ） A． B． C．2 D． 28．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 强化训练 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西萍乡·期中）在数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（   ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 6．（25-26高二下·江西·月考）数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广西贺州·月考）是数列的（    ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 8．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 8．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（   ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．数列1，1，2，3，5，8，13，，34，55，…中，根据规律，的值可以为21 D．数列0，，4，，…的一个通项公式是 9．（25-26高二下·广西·月考）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 11．（25-26高二上·江苏淮安·期末）（多选）下列有关数列的说法正确的有（   ） A．数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B．数列的通项公式可以是 C．数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D．数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列的通项公式为，则________. 13．（25-26高二下·辽宁营口·开学考试）已知数列的通项公式为，则使成立的最大正整数的值为_______． 14．（2026·福建莆田·模拟预测）已知数列满足，且，则___________． 15．（25-26高二下·全国·课后作业）已知无穷数列． (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $