专题09 等比数列【8大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题09 等比数列 题型预览 题型一 等比数列的基本量计算 题型二 利用等比数列的性质计算 题型三 增减项构造等比新数列 题型四 等比数列的单调性及其应用 题型五 等比数列的片段和性质 题型六 等比数列的奇偶项和 题型七 证明是否为等差数列 题型八 等比数列应用 知识清单 一、等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 二、等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 【注意】(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． 三、等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 四、等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 五、等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 六、等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 题型突破 题型一 等比数列的基本量计算 1．（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：由题可知，则， ， ，解得， ． 2．（2026·河南开封·模拟预测）正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】可根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解公比. 【详解】，，， ，，相除可得：， 展开式子得，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，故舍去， 得到. 3．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知是等比数列，，，则（   ） A．10 B．-10 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】应用等比数列下标和性质计算求解. 【详解】因为是等比数列，所以， 又因为，所以. 4．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 5．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 6．（2026·山西太原·二模）已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，，，， ，即，化简可得， 因为，即， 代入可得， 化简可得， 解得或， ， 代入可得或. 题型二 利用等比数列的性质计算 7．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 8．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 9．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则__________. 【答案】9 【分析】应用对数运算结合等比数列下标和性质计算求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为是等比数列，则. 10．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知等比数列与等差数列，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以． 11．（2026·重庆·模拟预测）正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（   ） A．2069 B．2070 C．4048 D．4049 【答案】A 【详解】，为方程的两根，，； 数列为正项等比数列，，即，解得. . 12．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则______． 【答案】2 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求公比. 【详解】因为，所以． 故答案为：2 题型三 增减项构造等比新数列 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】这5个数分别为，则， 又这5个数成等比数列，，. 故选：D. 14．（25-26高二上·河南·月考）在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 所以． 故选：B． 15．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】C 【详解】已知，成等比数列， 根据等比数列的性质，是等比中项，则， ， ，故C正确． 16．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 【答案】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 题型四 等比数列的单调性及其应用 17．（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 18．（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为是等比数列，所以可令，公比为，则，，，由，得， 解得或，当，时，总有，即， 当，，总有，即，因此，等比数列是递增数列， 若数列是递增数列，则必有，故“数列是递增数列”是“”的充分必要条件. 19．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列的前项和， 当“”，若时，则， 因为，所以随着的增大而增大，随着的增大而减小， 又，所以随着的增大而减小， 即可得数列单调递减，因此充分性不一定成立； 当数列单调递增，若，，则， 因为，所以随着的增大而减小，随着的增大而增大； 又，，所以随着的增大而增大， 即数列单调递增，此时， 所以“数列单调递增”推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件. 20．（北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 21．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（   ） A．是单调递减数列 B．是单调递增数列 C．中的项为整数的只有2个 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A正确，B错误． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 22．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知，下列命题中错误的是（   ） A．若，则数列为等差数列. B．若等比数列的首项，公比，则数列为单调递增数列. C．若等比数列的公比，则数列中不存在成等差的三项. D．设公差不为0的等差数列的前项和为，若数列单调递增，则数列单调递增. 【答案】C 【分析】根据等差数列、等比数列的定义和性质分别对选项进行判断即可. 【详解】， 故数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确. 等比数列的公比，且时，， 数列为单调递增数列，故B正确. 假设等比数列首项，公比，则， ，成等差数列，故C错误. 设等差数列是首项为，公差为， 又数列单调递增，对所有成立，且公差， 若，则存在N使得当时，矛盾， 故且 ， 则，故数列单调递增，故D正确. 故选：C. 23．（25-26高二下·河南南阳·期中）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质推导得，再逐项分析判断. 【详解】由等比数列的各项均为正数，得， 由，得； 由，得，则， 且，，当时，取最大值，BC正确，A错误； 由，即，D正确. 题型五 等比数列的片段和性质 24．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到． 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 25．（25-26高二下·四川泸州·月考）已知等比数列的前项和为，，，______． 【答案】 【分析】利用等比数列前项和的分段性质：成等比数列，结合等比中项列方程求出该新数列公比为，求解即可． 【详解】设等比数列的公比为（，否则与已知矛盾）， 仍成等比数列，公比为， 设，，， 因为成等比数列，所以， 已知，代入得， 即，代入，解得或， 因为，所以同号， 因为，所以，即， 所以的公比为， 所以就是， 所以，即． 26．（25-26高二下·北京·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．24 B．48 C．36 D．60 【答案】B 【分析】根据等比数列部分和的性质求解. 【详解】由等比数列的性质可知， ，，成等比数列， 所以，解得. 27．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设是各项均不相同的等比数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 所以，因为，所以， 则，而，则，， 故． 题型六 等比数列的奇偶项和 28．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 29．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 30．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 31．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 32．（25-26高二下·江西宜春·月考）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 题型七 证明是否为等差数列 33．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)证明见解析， (2)递增数列 【分析】（1）先得的表达式，即可得求解，根据等比数列的通项求解， （2）代入的通项，进而利用作差法，即可判断单调性. 【详解】（1）由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 34．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【详解】（1）因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得， 所以． 35．（25-26高三下·上海金山·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据，结合条件及待定系数法，化简整理，即可得证. （2）根据所给定义，整理可得，根据的范围，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； （2）由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 36．（25-26高二·全国·寒假作业）数列满足，.证明：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据递推公式整理可得，结合等比数列的定义分析证明. 【详解】因为，即， 可得，且， 所以数列是以首项和公比均为的等比数列. 37．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，且对任意的，都有，令，证明：数列为等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】根据等比数列的定义，结合递推公式和，代入化简即可得证. 【详解】已知，则， 因为，所以， 又，所以，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 38．（25-26高二·全国·寒假作业）在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2)（） 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： (） 题型八 等比数列应用 39．（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【详解】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 40．（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设该用户第天使用的分钟数为，由题意可得，构造数列结合等比数列通项公式及前项和公式可得，结合题意列不等式，根据单调性解不等式求解. 【详解】设该用户第天使用的分钟数为， 由题意可得，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设数列的前项和为，则， 要使总费用不超过1元，的整数部分不超过即， 则，化简可得 当，因为随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大， 当时，成立， 当时，，则，故， 所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天. 41．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 【答案】A 【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元 则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元， 由题意可知， 由①得 ②代入③得，解得，即“衰分比”为， 把代入②，得，解得， 从而丁所获得的奖金为元 42．（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，进行计算，即可求解. 【详解】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持不变，且，， 由题意得， 2036年1月1日将所有存款及利息全部取回为：万元. 故选：D 43．（24-25高三上·广东佛山·月考）为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主年月初向银行借了免息贷款元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的，每月底扣除生活费元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在年月底还贷款，至此，他的收入约为（    ）（取，） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】从月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，根据条件得到，通过构造，求得，即可求解. 【详解】设，从月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，， ，同理可得， 所以， 而，所以数列是等比数列，公比为1.2， 所以，即， 所以， 总利润为， 故选：D. 强化训练 1．（福建泉州市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（    ） A．3 B．5 C．9 D．21 【答案】D 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式、求和公式得解. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 2．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 【答案】B 【详解】由题意可知成等比数列， 所以，解得. 3．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知实数是3与9的等比中项，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】是3与9的等比中项， 所以，解得． 4．（2026·广东揭阳·二模）已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 5．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 6．（2026·重庆九龙坡·二模）某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】D 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列， 设第个月消耗的算力为，则；已知，， 得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率，故C错误； 对于D：，，故D正确. 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位：千PFLOPS·天）是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10.则下列说法错误的是（    ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】ABC 【分析】设等比数列通项公式，根据题意求出，再根据通项公式以及前n项和公式求解即可. 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长， 说明每月消耗的算力构成了一个公比的等比数列，设第个月消耗的算力为，则； 已知，，得：，即，解得或， 又因为，所以，，故A错误； 对于B：已知，，所以，，，， 前5个月消耗的总算力为，故B错误； 对于C：，增长率为，故C错误； 对于D：，，故D正确. 8．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 9．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列的公比为q，，， 则，所以，B选项错误； ，所以，A选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； ， 当为偶数时，单调递增，的最小值是， 当为奇数时，单调递减，所以， 综上，的最小值是，D选项正确； 10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）设数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则公差 B．若为等差数列，则 C．若为等比数列，则公比或 D．若为等比数列，则 【答案】AB 【详解】对于AB，若为等差数列，则，，AB正确； 对于C，为等比数列，则，，则，C错误； 对于D，为等比数列，则，，D错误. 11．（25-26高三下·甘肃平凉·阶段检测）已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为_______ ． 【答案】 【分析】由等比数列求和公式得的表达式，进而对分奇偶，根据单调性即可求解. 【详解】由于为等比数列，公比为，首项为1，故， 当为偶数时，，此时为单调递增，故时，取到最小值，此时， 当为奇数时，，此时为单调递减，故时，取到最大值1，此时， 综上可得的最大值和最小值之和为. 12．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 13．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【分析】利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造等比数列求解即可. 【详解】依题意得. 当时，，即. 设，则，即. 又是以4为首项，2为公比的等比数列， ，即. 14．（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【答案】3 【分析】根据等差中项结合前项和定义可得，即可得公比和. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，则，即， 可得等比数列的公比为， 且，所以. 15．（河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递增数列定义，利用作差法，分为偶数与为奇数进行讨论即可得证； （2）计算可得与的通项公式，再利用等比数列与等差数列定义即可得证. 【详解】（1）， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2）由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 16．（福建宁德市2026届高三质量检测数学试题）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）解法一：利用等比数列与等差数列的前项和公式即可求得结果；解法二：根据分组并项求和与等差数列前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）因为，故， 又，得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，故， 解法一：； 解法二： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 等比数列 题型预览 题型一 等比数列的基本量计算 题型二 利用等比数列的性质计算 题型三 增减项构造等比新数列 题型四 等比数列的单调性及其应用 题型五 等比数列的片段和性质 题型六 等比数列的奇偶项和 题型七 证明是否为等差数列 题型八 等比数列应用 知识清单 一、等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 二、等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 【注意】(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． 三、等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 四、等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 五、等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 六、等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 题型突破 题型一 等比数列的基本量计算 1．（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2026·河南开封·模拟预测）正项等比数列中，，，则其公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知是等比数列，，，则（   ） A．10 B．-10 C．6 D．-6 4．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 5．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．（2026·山西太原·二模）已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 题型二 利用等比数列的性质计算 7．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 9．（25-26高二下·四川巴中·期中）已知等比数列的各项均为正数，且，则__________. 10．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知等比数列与等差数列，满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·重庆·模拟预测）正项等比数列，为其前项和，已知，为方程的两根，则（   ） A．2069 B．2070 C．4048 D．4049 12．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则______． 题型三 增减项构造等比新数列 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（    ） A． B．9 C． D．3 14．（25-26高二上·河南·月考）在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（   ） A．2 B． C．4 D．8 15．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 16．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 题型四 等比数列的单调性及其应用 17．（2026·河南周口·模拟预测）已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）（多选）在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（   ） A．是单调递减数列 B．是单调递增数列 C．中的项为整数的只有2个 D．的最大值为 22．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知，下列命题中错误的是（   ） A．若，则数列为等差数列. B．若等比数列的首项，公比，则数列为单调递增数列. C．若等比数列的公比，则数列中不存在成等差的三项. D．设公差不为0的等差数列的前项和为，若数列单调递增，则数列单调递增. 23．（25-26高二下·河南南阳·期中）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 题型五 等比数列的片段和性质 24．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 25．（25-26高二下·四川泸州·月考）已知等比数列的前项和为，，，______． 26．（25-26高二下·北京·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．24 B．48 C．36 D．60 27．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设是各项均不相同的等比数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．16 D．32 题型六 等比数列的奇偶项和 28．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 29．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 30．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 31．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 32．（25-26高二下·江西宜春·月考）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 题型七 证明是否为等差数列 33．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 34．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 35．（25-26高三下·上海金山·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 36．（25-26高二·全国·寒假作业）数列满足，.证明：数列是等比数列. 37．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，且对任意的，都有，令，证明：数列为等比数列； 38．（25-26高二·全国·寒假作业）在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 题型八 等比数列应用 39．（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 40．（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 41．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 42．（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 43．（24-25高三上·广东佛山·月考）为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主年月初向银行借了免息贷款元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的，每月底扣除生活费元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在年月底还贷款，至此，他的收入约为（    ）（取，） A．元 B．元 C．元 D．元 强化训练 1．（福建泉州市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）在公差为2的等差数列中，，，成等比数列，则的前7项和为（    ） A．3 B．5 C．9 D．21 2．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 3．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知实数是3与9的等比中项，则（    ） A． B． C． D．6 4．（2026·广东揭阳·二模）已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 6．（2026·重庆九龙坡·二模）某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）（多选）某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力（单位：千PFLOPS·天）是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10.则下列说法错误的是（    ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 8．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 9．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）设数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则公差 B．若为等差数列，则 C．若为等比数列，则公比或 D．若为等比数列，则 11．（25-26高三下·甘肃平凉·阶段检测）已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为_______ ． 12．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 13．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，若，则__________. 14．（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 15．（河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 16．（福建宁德市2026届高三质量检测数学试题）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $