专题08 等差数列【12大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题08 等差数列 题型预览 题型一 等差数列的基本量计算 题型二 利用等差数列的性质计算 题型三 增减项构造等差新数列 题型四 等差数列的单调性及其应用 题型五 等差数列的片段和性质 题型六 等差数列前n项和与n的比值 题型七 两个等差数列前n项和的比值 题型八 等差数列的奇偶项和 题型九 等差数列前n项和最值 题型十 含绝对值的等差数列求和 题型十一 证明是否为等差数列 题型十二 等差数列应用 知识清单 一、等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 二、等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． 等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 三、等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 四、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 五、等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 六、等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 题型突破 题型一 等差数列的基本量计算 1．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定递推关系判定为等差数列，结合已知项求出公差，进而计算的值. 【详解】由递推关系，变形得， 所以数列是等差数列，设数列的公差为. 因为，，所以，即，解得， 所以. 2．（25-26高二下·北京·期中）在等差数列中,若,,则数列的公差__________. 【答案】 【详解】由题意得. 3．（福建厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科试题）已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，解方程即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 所以的公差为1. 4．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 【答案】B 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知为等差数列，，，则______. 【答案】6 【详解】因为为等差数列，，，则， 即，解得，所以. 6．（2026·山西临汾·二模）等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 由等差数列性质：，故. 已知，代入得：，化简得. ，化简得. 又，故. 题型二 利用等差数列的性质计算 7．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知等差数列,若,则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】因为是等差数列，所以， 又，所以，所以. 8．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以. 9．（25-26高二下·福建福州·期中）在等差数列中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差中项的性质，结合充分不必要条件的判定判断即可． 【详解】解：等差数列中，若，则， 等差数列中，当公差，，可以为任意正整数， 综上，“”是“”的充分不必要条件． 10．（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】数列为等差数列，设等差数列的公差为. ，，即； ，得. 11．（25-26高二下·贵州·期中）在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】在等差数列中，，，，也构成等差数列. 根据等差中项性质，， 代入数值得，解得. 12．（25-26高二上·湖北·期末）等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和的性质求出，再由等差数列通项公式列出方程求解即可. 【详解】等差数列中， 由，可得， 由得， 两边用首项和公差表示，得， 化简可得，因为，所以， 故选：C 题型三 增减项构造等差新数列 13．（25-26高二下·甘肃平凉·开学考试）在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则最中间的一个数为________． 【答案】14 【详解】设所求三个数依次为，则成等差数列， 因此，解得， 所以这3个数为，所以最中间的一个数为． 14．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 【答案】14 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 15．（25-26高三上·北京朝阳·期中）在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，，求出公差，再由通项公式计算可得. 【详解】依题意可得新的等差数列中，， 设公差为，则， 所以. 故选：B 16．（25-26高二上·宁夏·期末）在实数和（）之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的项数与公差的关系，求出末项与首项的差，进而得到的值. 【详解】6个数构成等差数列，项数为6，公差为3，首项为，末项为， 则，所以. 故选：A. 17．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出； （2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 题型四 等差数列的单调性及其应用 18．（25-26高二上·安徽安庆·期末）（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 19．（24-25高三上·上海宝山·月考）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，结合反例，利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 20．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 21．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 22．（2025·安徽芜湖·模拟预测）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 题型五 等差数列的片段和性质 23．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】34 【分析】由等差数列的片段和性质可得. 【详解】由等差数列的性质可得成等差数列， 因为，，所以， . 24．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可知、、成等差数列，由此可解得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. 25．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 26．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 27．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知等差数列的前n项和为64，其前3项和为6，最后3项和为42，则此数列的项数n为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意得前3项和，最后3项和 将两式相加得 根据等差数列性质：若，则， 所以 因此 又， 所以 解得 28．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和的性质或基本量法均可求解. 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 题型六 等差数列前n项和与n的比值 29．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 30．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 【答案】 【分析】借助等差数列定义及求和公式可得也为等差数列，求出公差即可得解. 【详解】记等差数列的公差为，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 31．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 32．（25-26高二上·湖南永州·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的概念、通项公式和有关性质，结合选项计算即可求解. 【详解】因为为等差数列，为的等差中项， 所以，故A正确； ， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故B正确； 由且，当时，，即； 当时，时，即， 又， 所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD 33．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 34．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 题型七 两个等差数列前n项和的比值 35．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 36．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 37．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得，， ∴原式可化为     ∵ 为等差数列， ∴ ， 原式进一步化简为。 ∵ 等差数列前项和为常数项为0的二次函数，且， ∴ 可设，（且）。 由等差数列通项与前项和的关系：，： ∴， 将，代入化简后的原式得 38．（25-26高二下·江西南昌·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，由等差数列前项和的性质，可设和，求得的表达式，即可得到答案. 【详解】由等差数列，的前项和，可得， 因为等差数列的前项和为， 即等差数列的前项和满足的形式， 可设，其中， 则 ，所以. 39．（25-26高二上·江苏南京·期末）等差数列，的前项和分别记为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据下标和性质，结合求和公式求解即可. 【详解】因为，所以 所以. 故选：D 40．（25-26高二上·安徽·期末）记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和公式、下标和性质结合题意直接计算即可得解. 【详解】因为数列为等差数列且， 所以. 故答案为： 题型八 等差数列的奇偶项和 41．（25-26高二下·辽宁营口·月考）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 42．（25-26高二下·江西南昌·月考）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 43．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 44．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 45．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 46．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质进行计算即可. 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 题型九 等差数列前n项和最值 47．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 48．（25-26高二下·安徽安庆·月考）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为是等差数列，且， 所以，解得：， 所以， ， ， 又因为， 这是开口向上的二次函数，对称轴为，所以当或4时，最小，但没有最大值. 49．（2026·四川成都·二模）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 50．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 51．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 【答案】BC 【分析】利用等差数列前项和公式代入条件计算可得数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故， 所以，故数列是公差为的等差数列． 对于A选项，由题意可得，故，所以，A错； 对于B选项，，解得，B对； 对于C选项，由题意可得，解得， 所以， 故当时，取最小值，即最小，C对； 对于D选项，， 所以，D错． 52．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时为，使得成立的最大值为，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质可得，进而结合等差数列的性质求解. 【详解】等差数列中，有， 由可得， 由于存在最大值，故为单调递减的数列，即公差， 故，因此为的最大值，即， 又， 故使得成立的最大的为31，即，故. 题型十 含绝对值的等差数列求和 53．（25-26高二下·陕西渭南·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 54．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 55．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； （2）由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 56．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 题型十一 证明是否为等差数列 57．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)记，数列的前项的和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推关系变形可证明等差数列； （2）利用裂项相消法求和可证明不等式. 【详解】（1）由递推关系，两边取倒数可得：， 整理可得：，所以数列为等差数列； （2）由可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 即，即， 又因为， 所以. 58．（25-26高二下·河南许昌·期中）设数列满足，，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助等差数列定义即可得证； （2）借助累加法计算即可得. 【详解】（1）已知，移项可得， 设，则，那么， 又，所以数列是以5为首项，5为公差的等差数列； （2）由（1）得， 当时，， 当时，也满足上式，所以. 59．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2)9 【分析】（1）结合题干和等差数列的定义求解通项公式即可； （2）由（1）得，设，裂项相消可得，再结合的特点求解m的最小值. 【详解】（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列， 所以．故的通项公式是． （2）由（1）得． 设，则，． 当时， ， 由题意可得单调递增，且当时，，得到． 由，可知符合题设条件的m的最小值为9． 60．（25-26高二下·浙江·期中）已知数列满足：. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过构造新数列证明等差数列，依托等差数列定义与通项公式求解原数列通项； （2）结合通项公式裂项变形，利用裂项相消法完成数列求和． 【详解】（1）已知 ，构造 : ， 对上式两边取倒数: ， 因此，，即数列 是公差为 的等差数列， 已知 ，则首项: ， 根据等差数列通项公式: ， 解得 的通项公式: ． （2）已知 ，代入（1）中结论： ，， 因此：， 使用裂项相消法，将 分解：， 对 求和： ． 题型十二 等差数列应用 61．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依次构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 【答案】石 【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解. 【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，公差为， 则， 且，解得，， 所以， 所以甲应该分得白米为石. 62．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 【答案】14700 【详解】设Wanye老师第天所走的步数为，则张宏老师前七天每天所走的步数都为， 由已知Wanye老师第二天到第七天所走的步数分别为， 因为张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同， 所以 所以 故， 所以Wanye老师第七天所走的步数为. 63．（25-26高二下·全国·课堂例题）孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【详解】设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米． 由题意可知是等差数列，首项，公差， 所以， 令，解得，由于，则， ，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． 64．（25-26高二下·全国·课堂例题）1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时注水，那么可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头注水的时间恰好是第1个水龙头注水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头注水的时间是多少？ 【答案】 【分析】将实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的有关知识求解. 【详解】设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为， 由已知， 所以数列是等差数列，每个水龙头放水， 所以，即，即， 所以． 又因为，所以． 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是． 65．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 【答案】C 【分析】设等差数列的首项和公差，根据已知条件列出不等式，再结合总质量求出首项的最小值，进而得到最重盒子质量的最小值. 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 强化训练 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 2．（2026·四川德阳·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 【答案】C 【详解】等差数列中，由得， 所以. 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 4．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，解得． 5．（2026·福建·二模）等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 【答案】B 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 6．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解. 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 8．（2026·重庆渝中·二模）（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 9．（2026·四川遂宁·二模）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C．若，则 D．当且仅当时取最小值 【答案】AD 【分析】先利用等差数列通项公式，结合已知公差与项的值求出首项，再依次求出数列指定项，通过代数运算验证等式是否成立；接着代入求和公式建立方程，求解正整数项数；最后写出通项，结合项的正负分界，分析前n项和的最值，逐一筛选选项即可. 【详解】因为公差 ，，，所以： 选项A：， 所以，A正确； 选项B：， ， ， 所以，B错误； 选项C：因为， 所以， 解得 或 （舍去负根），所以 ，不是9，C错误； 选项D：因为， 令 ，则， 即 ，， 所以前4项均为负，从第5项开始为正，因此 是最小值. D正确. 10．（25-26高二下·广东湛江·期中）（多选）已知数列满足，，数列的前项和，则（    ） A．是常数列 B． C． D．恒成立 【答案】AC 【分析】先得到的通项公式，判断出ABD选项，裂项相消法求和得到C正确. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以是一个常数列，故， A正确；故B错； ，故，为公差为1的等差数列， ，故， ，故C正确； 因为，所以恒成立，故D错. 11．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知为数列的前项和，，下列结论正确的是（   ） A．若为等差数列且，则 B．若，则数列为等差数列且公差为 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AB 【分析】根据等差数列下标和性质和求和公式可求得A正确；利用等差数列定义可判断出B正确；利用与关系可求得C错误；根据等差数列前项和的二次函数性可求得D错误. 【详解】对于A，为等差数列，，解得：， ，A正确； 对于B，，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ，， 数列为等差数列且公差为，B正确； 对于C，当时，， 当时，不满足，，C错误； 对于D，，，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 则当或时，取得最小值，最小值为，D错误. 12．（福建宁德市2026届高三质量检测数学试题）记数列的前项和为，若是等差数列，，则数列的通项__________. 【答案】 【分析】记，由题意可得，从而得，根据，求解即可. 【详解】因为是等差数列，， 记，则是等差数列， 所以， 设数列的公差为，则，解得， 所以， 即，解得， 所以， 即， 所以， 当时，， 当时，， 所以，满足， 所以. 13．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 【答案】 【分析】由题意知数列是等差数列，先求出数列的前项和为，再结合题意减去的前项和为即可得答案. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以，即数列是等差数列， 所以数列的前项和为， 因为，依然为等差数列， 所以的前项和为， 所以数列的前项和. 14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可. 【详解】数列满足点在直线上，， ， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 【答案】27 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由，因为， 若，则所有项为正，与已知条件矛盾，所以，数列递减. 因为，所以，， 不等式移项得，即，所以， 因此，， 因为等差数列是递减数列，且，所以当时，的最小值为27． 16．（25-26高二下·江西·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于与的方程组，计算即可求解； （2）先求，讨论的符号去绝对值，再结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得，   所以 ； （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ；       综上所述：. 17．（25-26高二下·江西南昌·月考）在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)4222. 【分析】（1）将递推关系式变形，构造常数列，从而求得通项公式； （2）由（1）的结论求出，再分组并结合等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，因此数列是常数列，，则， 时，，也满足, 则，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 18．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【详解】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列中，，记． (1)求证：数列是等差数列，并求出； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)由等式两边同取倒数可得，根据等差数列定义证明结论； (2) 分析数列的各项的正负，分，化简，结合等差数列求和公式求结论. 【详解】（1）由，得，即， 又，所以为常数， 又，所以， 所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，． （2）由（1）知，， 当时，，所以； 当时，，所以， 得到． 综上，. 【点睛】求数列前项和的方法给出数列，要求数列的前项和，关键是分清取什么值时．一般地，如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有： （1）若，则有 （2）若，则有 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 等差数列 题型预览 题型一 等差数列的基本量计算 题型二 利用等差数列的性质计算 题型三 增减项构造等差新数列 题型四 等差数列的单调性及其应用 题型五 等差数列的片段和性质 题型六 等差数列前n项和与n的比值 题型七 两个等差数列前n项和的比值 题型八 等差数列的奇偶项和 题型九 等差数列前n项和最值 题型十 含绝对值的等差数列求和 题型十一 证明是否为等差数列 题型十二 等差数列应用 知识清单 一、等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 二、等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． 等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 三、等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 四、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 五、等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 六、等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 题型突破 题型一 等差数列的基本量计算 1．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期中）在等差数列中,若,,则数列的公差__________. 3．（福建厦门市2026届高中毕业班适应性练习数学学科试题）已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 5．（25-26高一下·上海·期中）已知为等差数列，，，则______. 6．（2026·山西临汾·二模）等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 题型二 利用等差数列的性质计算 7．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知等差数列,若,则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·福建福州·期中）在等差数列中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．（25-26高二下·贵州·期中）在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·湖北·期末）等差数列中（公差不为零），前项和为， 若，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型三 增减项构造等差新数列 13．（25-26高二下·甘肃平凉·开学考试）在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列，则最中间的一个数为________． 14．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 15．（25-26高三上·北京朝阳·期中）在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则（    ） A． B． C．1 D． 16．（25-26高二上·宁夏·期末）在实数和（）之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 17．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 题型四 等差数列的单调性及其应用 18．（25-26高二上·安徽安庆·期末）（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 19．（24-25高三上·上海宝山·月考）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025·安徽芜湖·模拟预测）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 题型五 等差数列的片段和性质 23．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，，则__________. 24．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 27．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知等差数列的前n项和为64，其前3项和为6，最后3项和为42，则此数列的项数n为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 28．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 题型六 等差数列前n项和与n的比值 29．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 30．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 31．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 32．（25-26高二上·湖南永州·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 34．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 题型七 两个等差数列前n项和的比值 35．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 36．（25-26高二下·江西吉安·期中）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 37．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·江西南昌·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·江苏南京·期末）等差数列，的前项和分别记为，，若，则（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·安徽·期末）记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 题型八 等差数列的奇偶项和 41．（25-26高二下·辽宁营口·月考）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 42．（25-26高二下·江西南昌·月考）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 43．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 44．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 45．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 46．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 题型九 等差数列前n项和最值 47．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 48．（25-26高二下·安徽安庆·月考）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 49．（2026·四川成都·二模）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 50．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 51．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 52．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知等差数列前n项和存在最大值，且，当取得最大值时为，使得成立的最大值为，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 题型十 含绝对值的等差数列求和 53．（25-26高二下·陕西渭南·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 54．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 55．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 56．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 题型十一 证明是否为等差数列 57．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列； (2)记，数列的前项的和为，求证：. 58．（25-26高二下·河南许昌·期中）设数列满足，，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 59．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 60．（25-26高二下·浙江·期中）已知数列满足：. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 题型十二 等差数列应用 61．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依次构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 62．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 63．（25-26高二下·全国·课堂例题）孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 64．（25-26高二下·全国·课堂例题）1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时注水，那么可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头注水的时间恰好是第1个水龙头注水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头注水的时间是多少？ 65．（25-26高三上·福建福州·期末）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（    ） A．7千克 B．6千克 C．5千克 D．4千克 强化训练 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 2．（2026·四川德阳·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 4．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知等差数列满足，则的公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建·二模）等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 6．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆渝中·二模）（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 9．（2026·四川遂宁·二模）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C．若，则 D．当且仅当时取最小值 10．（25-26高二下·广东湛江·期中）（多选）已知数列满足，，数列的前项和，则（    ） A．是常数列 B． C． D．恒成立 11．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知为数列的前项和，，下列结论正确的是（   ） A．若为等差数列且，则 B．若，则数列为等差数列且公差为 C．若，则 D．若，则的最小值为 12．（福建宁德市2026届高三质量检测数学试题）记数列的前项和为，若是等差数列，，则数列的通项__________. 13．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 16．（25-26高二下·江西·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（25-26高二下·江西南昌·月考）在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 18．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列中，，记． (1)求证：数列是等差数列，并求出； (2)设，求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $