专题10 数学归纳法【3大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题10 数学归纳法 题型预览 题型一 数学归纳法证明恒等式 题型二 数学归纳法证明整除问题 题型三 数学归纳法证明数列问题 知识清单 数学归纳法的理解 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 【注意】初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． 用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形. 题型突破 题型一 数学归纳法证明恒等式 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据数学归纳法的证明步骤证明． 【详解】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 2．（2025高三·全国·专题练习）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当时等式成立，再假设当时等式成立，代入化简得时成立即可. 【详解】①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时等式成立，即 ． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 原等式得证. 3．（2025高三·全国·专题练习）是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 【答案】存在 【分析】先令，，，列出方程组求出，再利用数学归纳法证明等式成立. 【详解】假设存在，，使题设的等式成立， 令，，，有，则. 于是，对，，，下面等式成立： ． 记， 假设时上式成立，即， 那么当时， ， 也就是说，等式对也成立. 综上所述，当，，时，题设对任意的均成立. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【答案】证明见解析 【分析】应用数学归纳法证明即可. 【详解】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 题型二 数学归纳法证明整除问题 5．（25-26高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明整除问题，首先证明时结论成立，再假设时结论成立，利用假设证明时结论也成立即可得出结论成立． 【详解】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 6．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 7．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【详解】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 8．（24-25高一下·上海宝山·开学考试）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 题型三 数学归纳法证明数列问题 9．（25-26高二下·贵州·期中）已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【详解】（1）已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. （2）已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. （3）由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 10．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 11．（2025高三·全国·练习）设正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意互不相同的正整数，都有 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过求解的值，类比出的通项公式，再用数学归纳法证明当取任意正整数时仍符合该通项公式即可； （2）将视为一个各项递减的数列之和，利用排序不等式证明任意乱序和不小于反序和，再结合为互不相同的正整数的性质进行放缩即可证明.. 【详解】（1）由题，所以， 又，所以， 猜想： ． 假设时结论成立，则时，有 所以 所以，即时结论也成立． 由归纳法原理知，对一切，都有． （2）设，则 ，即调换的位置后原式的值减小. 不妨设为的一个排列， 所以. ， 故. 12．（2025高三·全国·练习）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】依次用数学归纳法证明：和即可. 【详解】先用数学归纳法证明：． 当时，因为，则，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则时，由得， 则， 于是， 则，即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 下面用数学归纳法证明：， 当时，由得，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则时，由， 于是， 则， 则，即时命题也成立． 综上，对任意都成立， 即对任意都成立，命题证毕. 强化训练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】找出使成立的最小正整数即可. 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 2．（24-25高二·全国·课后作业）下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 【答案】C 【分析】根据所给式子代入计算即可判断． 【详解】A中，时，式子，故A错误； B中，时，式子，故B错误； C中，时，式子，故C正确； D中，，故D错误． 故选：C． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 4．（25-26高二下·江西南昌·月考）（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【详解】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）（多选）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据斐波那契数列的递推公式逐项分析即可. 【详解】选项A：由得，， 则，，，，， ， 又，，所以.故A正确. 选项B：由得，， 则，，，，， 所以 .故B错误. 选项C：用数学归纳法证明成立. 当时，，成立； 假设当时，成立， 当时，成立，满足规律， 故成立. 令，则，故C正确. 选项D：由得，， 则， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 7．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 【答案】 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：． 8．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是________. 【答案】 【分析】根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可. 【详解】当时，左端为：， 当时，左端为：， 由到需添加的因式为：. 故答案为： 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知数列满足：，求证： 【答案】证明见解析 【分析】通过数学归纳法求解. 【详解】证明：， 利用数学归纳法证明如下： 从解法看出，数列{an}也是收敛的，并且是以公比为的等比数列速度更快地收敛于不动点. 下面蛛网图可以给我们一个直观感受. 10．（2025高三·全国·练习）设数列满足，证明： (1)数列单调递减； (2)存在一个常数使得． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先通过数学归纳法证时，再将变形为，结合证明单调递减. （2）分和讨论，时构造，证明其有上界，进而推导出级数和有上界. 【详解】（1）显然时，利用数学归纳法易证，此时结论显然成立． 当时，； 假设，由于 ．从而对任意，都有． 又，所以数列单调递减． （2）显然时，，取，结论显然成立．当时， 令 其中． 于是 ， 而，记． 则有， 所以， 综上，存在一个常数使得． 11．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 【答案】(1)的孤立子集有，的孤立子集有 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目所给“孤立子集”定义，写出结果即可； （2）根据“孤立子集”定义，判断之间的关系，求出递推公式，写出结果即可； （3）根据递推公式，求出数列的表达式，再根据数学归纳法，求出数列前项和的递推公式，再根据数学归纳法，对题干条件进行化简，证明结果即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的孤立子集有， 的孤立子集有. （2）设集合的“孤立子集”个数为，对于的“孤立子集”可分为两类， 一类为不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数，另一类为包含，但不包含的孤立子集，等价于的孤立子集个数， 可得； 由（1）可知， 则， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，且， 猜想， 当时，左边，右边， 所以左边右边，即时，猜想成立； 设时，猜想成立，即， 当时，， 即时，猜想成立， 所以； 当时，左边， 右边， 左边右边，即当时，等式成立； 设时等式成立，即成立， 当时， 左边 因为，又因为， 所以， 由可知， 所以， 即左边， 右边，所以左边=右边； 即时，等式成立； 综上所述，当时，. 12．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析， (2)是， (3)不存在 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义判定为等比数列，利用等比数列通项公式求法求解即可. （2）方法一：利用与的关系化简判定是等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可； 方法二：通过前几项的结构猜想，然后利用数学归纳法证明即可. （3）先利用与的关系求得，进而，然后利用反证法思想解答即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴是首项为4，公比为2的等比数列. ∴，即. （2）方法一：∵， ∴（）， 两式相减得， 整理得， ∴， 两式相减得，即， ∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为. 方法二（数学归纳法）： ∵， ∴， ∵，，代入上式解得， 猜想. 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即. 下证时，猜想成立，即证， ∵， ∴，， ∵，， ∴，解得. 由数学归纳可得是等差数列，. （3）由（1）知，， ∴当时，，经检验，满足上式， ∴（），， 假设存在这样的三个正整数，则，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得，不满足题意， ∴假设不成立，不存在这样的正整数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数学归纳法 题型预览 题型一 数学归纳法证明恒等式 题型二 数学归纳法证明整除问题 题型三 数学归纳法证明数列问题 知识清单 数学归纳法的理解 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 【注意】初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． 用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形. 题型突破 题型一 数学归纳法证明恒等式 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 2．（2025高三·全国·专题练习）证明：． 3．（2025高三·全国·专题练习）是否存在常数，，，使得等式对任意的都成立？ 4．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：对任意的正整数． 题型二 数学归纳法证明整除问题 5．（25-26高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明：能被整除． 6．（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 7．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 8．（24-25高一下·上海宝山·开学考试）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 题型三 数学归纳法证明数列问题 9．（25-26高二下·贵州·期中）已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 10．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 11．（2025高三·全国·练习）设正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意互不相同的正整数，都有 12．（2025高三·全国·练习）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 强化训练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．（24-25高二·全国·课后作业）下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子中，当时，式子的值为1 B．式子中，当时，式子的值为 C．式子中，当时，式子的值为 D．设，则 3．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西南昌·月考）（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）（多选）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 7．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，从到左边需要添加的因式是________． 8．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明时，对于表达式，从到,表达式需要添加的因式是________. 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知数列满足：，求证： 10．（2025高三·全国·练习）设数列满足，证明： (1)数列单调递减； (2)存在一个常数使得． 11．（25-26高二上·北京·期中）设集合．若的子集不含两个相邻的正整数，则称该子集为的“孤立子集”． (1)写出的所有“孤立子集”； (2)求的“孤立子集”个数； (3)设集合的“孤立子集”个数为，求证：当时，. 12．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $