专题12 数列求和【9大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题12 数列求和 题型预览 题型一 公式法 题型二 倒序相加法 题型三 错位相减法 题型四 分组求和法 题型五 裂项相消法 题型六 并项求和法 题型七 奇偶项问题求和 题型八 放缩求和 题型九 数列求和的其他方法 知识清单 1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法．等差数列的前n项和即是用此法推导的． 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (3)常见的裂项求和的形式： ①＝． ②＝． ③＝． ④＝． ⑤＝． ⑥ln ＝ln (n＋1)－ln n． ⑦＝． 4．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 5．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 题型突破 题型一 公式法 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 2．（2026·四川德阳·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 3．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（山东淄博市2025—2026学年度高三教学质量阶段性检测数学）记为数列的前n项和，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二 倒序相加法 5．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则______. 6．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 7．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 8．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 题型三 错位相减法 9．（江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）在等比数列中，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 11．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 12．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值； (3)令，求数列的前n项和. 题型四 分组求和法 13．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 14．（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 15．（25-26高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 16．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 17．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 18．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 题型五 裂项相消法 19．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 20．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 21．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．（25-26高二下·四川成都·期中）记平面内条直线最多将平面分成个部分，空间中个平面最多将空间分成个部分，. (1)请写出，，，的值（无需说明理由）； (2)求； (3)设，求数列的前项和. 23．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求满足不等式的最大整数． 24．（2026·山西朔州·二模）设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：. 题型六 并项求和法 25．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 26．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 27．（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 28．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 29．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 题型七 奇偶项问题求和 30．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 31．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列.求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 32．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列满足 (1)记，证明：数列为等比数列，并求； (2)求的前项和. 33．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 题型八 放缩求和 34．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 35．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 36．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)记，求数列的前项和，并证明． 37．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 题型九 数列求和的其他方法 38．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，为数列的前项和，证明：. 39．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且.数列满足，且，前9项和为153. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值； (3)设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由. 40．（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 41．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 42．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 43．（25-26高二下·天津·月考）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 44．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 强化训练 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 3．（2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 4．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若. （i）求； （ii）设为数列的前项和，证明：. 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 6．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 7．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 8．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 9．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 10．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 11．（25-26高二上·广西河池·期末）已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 12．（2025·四川德阳·一模）数列的通项公式，的通项公式，且. (1)求，的值； (2)求的前项和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 数列求和 题型预览 题型一 公式法 题型二 倒序相加法 题型三 错位相减法 题型四 分组求和法 题型五 裂项相消法 题型六 并项求和法 题型七 奇偶项问题求和 题型八 放缩求和 题型九 数列求和的其他方法 知识清单 1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法．等差数列的前n项和即是用此法推导的． 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和． 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (3)常见的裂项求和的形式： ①＝． ②＝． ③＝． ④＝． ⑤＝． ⑥ln ＝ln (n＋1)－ln n． ⑦＝． 4．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 5．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解． 题型突破 题型一 公式法 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 2．（2026·四川德阳·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 【答案】C 【详解】等差数列中，由得， 所以. 3．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助等比数列定义计算可得其公比，再计算出其首项后利用求和公式计算即可得. 【详解】设数列的公比为，则， 即，即，解得或， 由数列单调递增且，故， 所以，. 4．（山东淄博市2025—2026学年度高三教学质量阶段性检测数学）记为数列的前n项和，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别为为奇数和为偶数两种情况分别对题目中的递推公式进行化简，可得到的奇数项为常数列，偶数项为等比数列，分别用分组求和法即可求解． 【详解】当为奇数时，，， 则可化为， 因为，所以， 当为偶数时，，， 则可化为， 因为，所以的偶数项是首项为，公比为的等比数列， 所以 ． 题型二 倒序相加法 5．（2026高二·全国·专题练习）若等差数列满足，则______. 【答案】 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 6．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 7．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 8．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 题型三 错位相减法 9．（江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的性质，再利用作差法推出数列的递推关系，进而即可求出的通项公式； （2）先结合（1）得到的通项公式，再根据错位相减及等比数列的求和公式即可求得． 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 所以当时，， 两式相减得，， 即，即， 因为为正项数列，所以，则， 当时，，解得（舍去），或， 所以是以首项为1，公差为1的等差数列， 则． （2）结合（1）得， 则， 所以， 两式相减得：， 所以． 10．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）在等比数列中，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公比为，利用等比数列的性质结合已知条件求出，进而求出的通项公式； （2）结合（1）求出的通项公式，进而列出，再利用错位相减法求出． 【详解】（1）设的公比为， ， ， ，则，解得， ， 则． （2）由（1）可得， 则， ， 两式相减得， ． 11．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 12．（25-26高二下·云南昭通·期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值； (3)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得； （3）利用错位相减法求和即可． 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，    化简得，解得，，    所以. （2）由（1）可知.    由，得，即， 即，解得或.    因为，所以n的最小值是5， 即使成立的n的最小值为5. （3）由（1）知，所以， 则①，    两边同乘以2，得②，    ，得，    所以. 题型四 分组求和法 13．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用数列的项与前项和之间的关系求出的通项，注意分和时讨论；再利用等比数列的通项公式，列出关于和之间的方程组，求出的通项； （2）先求的通项，再用分组求和法求和. 【详解】（1）， 当时，， ， 将代入，满足 所以（）． 设等比数列的公比q， 由题意，即， 解得或（舍），所以． （2）， 所以 . 14．（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，列出方程组，求出数列的公差和公比，进而写出通项公式； （2）根据分组求和法，以及等差数列和等比数列前n项和公式，求出结果即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意有，即， 因为，解得， 所以， . （2）因为 所以前n项和 ． ∴前n项和． 15．（25-26高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，，求解即可； （2）利用分组求和计算即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 即，解得； 当时，， 两式相减，得， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以， 当时，，满足题意， 综上，； （2）因为， 所以 16．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； （2）写出，由分组求和法求和． 【详解】（1）设的公比为（）， 因为，且，，成等差数列， 所以，即，解得， 所以； （2）由（1）， ． 17．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 18．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【分析】（1）先求出，然后时由得数列的递推关系，确定数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）（ⅰ）求出，写出中各项，用分组求和法求和；（ⅱ）分类讨论：为偶数时由（ⅰ）得结论，为奇数时，由计算. 【详解】（1）因为，所以， 时，，， 时， ，， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）（ⅰ）由（1）知， ； （ⅱ）由（ⅰ）知为偶数时，，     为奇数时，. 所以； 题型五 裂项相消法 19．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 20．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，，记，求的值； (3)记，记数列的前项和为，若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)1 (3) 【分析】（1）利用数列中与的关系将条件所给的关系式转化，然后根据等比数列的定义证明即可，进而求出通项公式； （2）先求出的解析式，再利用放缩法，裂项相消法及数列的单调性，求出的前项和的取值范围，再取整即可； （3）先求出的解析式，再利用裂项相消求出其前项和，然后分奇偶讨论分别求出的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得， 即，即， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 所以，所以， 并且当时，依然成立， 所以的通项公式为； （2）令， 由（1）知，，所以， 则当时，； 当时，因为， 所以 . 又因为数列单调递增，所以，， 所以； （3）由（1）知，，所以， 当为奇数时， . 因为数列单调递增，且， 所以当时，取到最小值； 当为偶数时， . 因为数列单调递减，且， 所以当时，取到最大值， 且随着的增大，逐渐递减趋近于. 因为对，都有成立，所以要小于等于的最小值， 所以的取值范围为. 21．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 22．（25-26高二下·四川成都·期中）记平面内条直线最多将平面分成个部分，空间中个平面最多将空间分成个部分，. (1)请写出，，，的值（无需说明理由）； (2)求； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）通过位置关系可分析出结果； （2）分析可得，采用累加法可求得； （3）类比（2）中结论，结合累加法可求得，进而得到，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）， ，如图所示： ，如图所示： ，如图所示： （2）由题意知：当条直线两两相交且交点互不相同时，分平面的部分最多； 第条直线与前条直线有个交点，这个交点将第条直线分成段，每一段将原来的部分分成两部分，故新增加部分，即， ； 当时，满足； . （3）当个平面两两相交且交线互不相同时，分空间的部分最多； 第个平面与前个平面有条交线，这条交线两两相交且交点不同， 由（2）知：将第个平面分成个部分，每部分将原来的空间分成两部分，故新增加部分，即， ， ， ， 又满足， ； ， . 23．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求满足不等式的最大整数． 【答案】(1) (2)7. 【分析】（1）通过证明找到数列的关系式从而证明等比数列，进而求通项公式； （2）通过化简数列的表达式，应用裂项相消法求前项和，通过数列的单调性来找到满足不等式的最大整数. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，所以，， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列， 数列的通项公式为，所以数列的通项公式为. （2）因为，所以， 所以， 因为，，所以随着逐渐变大，也逐渐变大，即单调递增， 当时，， 当时，， 所以满足不等式的最大整数为7. 24．（2026·山西朔州·二模）设数列的前项和为，已知，是公差为3的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先利用数列是等差数列，结合首项和公差求出，再得到的表达式．当时，由求出，最后检验也适合该公式； （2）由（1）中的通项公式化简，把拆成两个相邻分式之差，得到可以逐项相消的形式．对前项求和后可得，再由推出． 【详解】（1）因为，所以，         又因为是公差为3的等差数列，所以，         即，         当时，，         又适合上式，所以的通项公式为. （2）由（1）知，     所以， ，，所以. 题型六 并项求和法 25．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 26．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 27．（24-25高三下·山东·开学考试）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为，即，所以， ， 累加得，又，所以， 经检验时符合，所以. （2）因为，所以， 所以 . 28．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项解关于公差的方程得，再求解通项公式即可； （2）先根据累加法得，再结合等差数列求和公式，根据分组求和法求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，设是公差为，且, 因为，且成等比数列， 所以，即，即，解得. 所以，即的通项公式为. （2）解：因为，， 所以，，，…，， 所以，根据累加法得， 所以 又，满足， 所以， 所以数列的前20项的和为 ， 这是一个首项为3，末项为39，项数为10的等差数列求和， 所以数列的前20项的和为. 29．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 题型七 奇偶项问题求和 30．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 31．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列.求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明，再结合等比数列的通项公式可求通项； （2）利用分组求和结合公式法可求. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，即，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 又，即. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 故 . 32．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列满足 (1)记，证明：数列为等比数列，并求； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明； （2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可． 【详解】（1）证明：， 且， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 于是； （2）解： ． 33．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 题型八 放缩求和 34．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）将已知的数列递推式取倒数，再进行构造，即可得为等比数列，再由等比数列的通项公式求得数列的通项公式，逐步得到的通项公式； （2）将（1）中求得的的通项公式代入，然后利用分组求和法结合等比数列的前项和公式计算可得； （3）化简，得到，先利用放缩法证明当时，，再证明当时，，即可得证. 【详解】（1）由已知得，可变形得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 故， 解得，即 （2）， 所以. （3）若为奇数，，若为偶数，， 故， ， 当时， ； 当时，. 因此，当时，不等式成立. 35．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用放缩法证明即可. 【详解】，， 当时，不等式显然成立. 当时， ． 36．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)；. (2)，证明见解析. 【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换和构造法求出数列的通项公式和数列的和； （2）利用对数的运算以及放缩法即可得出结果． 【详解】（1）数列的首项，且满足，整理得， 而，故数列是以4为首项3为公比的等比数列， 所以，故， 所以． 综上，数列的通项公式为，前项和. （2）证明： 由已知及（1）得： ， 所以 ， 所以 ， 由于，所以， 故得证. 37．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将数列进行放缩，证明即可 【详解】设，则， 时，，取，则， 又，即证明，且 所以 ． 题型九 数列求和的其他方法 38．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若数列满足，为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可知，数列是首项为，公差为的等差数列.由此求得其通项公式，进而求得的通项公式； （2）由（1）求得的通项公式，分为偶数和为奇数两种情况进行分析 ，求得数列的前项和； （3）根据和与项的关系求得的通项公式，从而求得数列的通项公式，求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法求得，根据不等式的性质，即可证明. 【详解】（1）由，得. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以. 即的通项公式为； （2）由（1）知， 当为偶数时，， 所以……①， ……②， ①②，得， 所以； 当为奇数时，， 所以， 令，则， 两式作差，得， 所以， 所以. 综上，. （3）因为， 当时，. 所以当时，， 所以当时，， 当时，，满足上式，所以. 因为，所以. 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以，即. 39．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且.数列满足，且，前9项和为153. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值； (3)设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)，1007 (3)存在， 【分析】 （1）利用，再写一式，两式相减，可求数列的通项公式，确定是等差数列，利用，，建立方程组，可求数列的通项公式； （2）利用裂项法求和，确定单调递增，即可得到结论； （3）确定函数解析式，分类讨论，利用它得，即可求得结论． 【详解】（1）由， 故当时，， 当时，，而当时，， ， 又，即， 为等差数列，于是. 而，故，， 因此，，即； （2）， ， 因为， 则单调递增，由，得，而，故，； （3）， ①当为奇数时，为偶数， 此时，， ，； ②当为偶数时，为奇数， 此时，. ，解得（舍去）； 综上，存在唯一正整数，使得成立. 40．（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）令，分段求数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以等差数列的公差， 所以， 所以. （2）令，为数列的前项和，则， ， . 当时，， 当时，. 综上，. 41．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据所给递推关系，取倒数后利用等差数列定义证明，再利用等差数列通项公式可求出； （2）根据裂项相消法求和； （3）先证明数列为等差数列，求其前项和为，再分类讨论求即可. 【详解】（1）由可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 所以. （2）因为， 所以 （3）因为数列为等差数列， 所以， 所以，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为， 则， 令，解得， 当时，， 所以， 当时，, 综上，. 42．（25-26高三上·山西太原·月考）已知数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)94 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，所以，， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故； . 43．（25-26高二下·天津·月考）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】(1)，. (2) (3)21216 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【详解】（1）由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . （2）由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； （3）由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 44．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 强化训练 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 2．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 【答案】C 【分析】根据原数列可得，再结合取整函数的性质逐项求解并求和即可. 【详解】已知， 则，根据取整函数性质： 对任意整数，，因此. 由从到，依次计算得： 所以. 3．（2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 4．（山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，若. （i）求； （ii）设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用数列的通项公式的解法进行求解，注意验证是否成立； （2）(i)方法一：构造一个新的数列进行求解；方法二：利用错位相减法进行求解； (ii)利用裂项相消，然后放缩即可求解. 【详解】（1） 当时，， 当时， ， 验证当时，，所以 （2） （i）由得，时，， 相减得：， 化简得：，所以，则， 又已知，当时，，所以，即， 所以，即， 法一：利用原题中关系式求. . 法二：利用乘公比错位相减求. 因为， 所以， 则， 所以， 两式相减得： 即：，化简得：. （ii）由（1）和（i）知. 所以 由（i）知， 所以 ， 又因为，所以. 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造等比数列求通项公式； （2）利用裂项相消求出，并判断的正负性. 【详解】（1）由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （2）由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 6．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【详解】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 7．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 8．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【详解】（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 9．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式，再结合已知条件列出关于首项和公差的方程组，进而求解出和，最后得到数列的通项公式即可； （2）先根据（1）中求出的的通项公式，判断时的正负性，再根据的分段表达式求出的值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 可得： 解得： 所以：， 故数列的通项公式为：. （2）由可知， 当时，，此时， 当时，，所以， 当时，，所以， 故 因为每一组括号内的和为公差，共5组，因此：， 因为，代入得：， 又因为， 所以， 所以当时，，是一个首项为，公差为的等差数列， 所以，前项和为： . 10．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 11．（25-26高二上·广西河池·期末）已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）结合题设中的递推关系可转化为，从而可证数列为等比数列； （2）根据（1）中的结果可求的通项公式，从而可求的通项公式，进而由可求的通项公式； （3）由（2）的结论得：，利用放缩法得当时，，对分类讨论，结合等比数列的前项和公式即可证明成立. 【详解】（1）证明：已知，所以， 由递推式，代入得： ， 故， 又，得，从而得 因此数列是首项为3，公比为的等比数列; （2）由（1）的结论得：， 所以， 又因为， 故 , 即数列的通项公式为； （3）由（2）的结论得， 因为对恒成立，所以； 所以， 故当时，成立； 当时， 由于，即， 综上所述，成立. 12．（2025·四川德阳·一模）数列的通项公式，的通项公式，且. (1)求，的值； (2)求的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）根据求出关于的表达式，再与已知对比系数求解； （2）利用巧妙结合. 【详解】（1）由题意得，， 又 ，即，，. （2）依题意： 由（1）可得，， ，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $