第四章 专题微课 构造法求数列通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

专题微课　构造法求数列通项公式 　　数列构造法是一种常用的数学解题方法,通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题,其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题,通过数列的性质规律求解. 题型(一)　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 [例1]　已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an. 解:∵an+1=an+,∴an+1-1=(an-1).又a1-1=-.∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列. ∴an-1=-×,∴an=1-×. |思|维|建|模| 　　形如=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下: (1)假设递推公式可改写为+t=p(an+t). (2)由待定系数法,解得t=. (3)写出数列的通项公式. (4)写出数列{an}的通项公式. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}满足=2an+2,且a1=1,则 (　　) A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 解析:选D　由=2an+2,可得+2=2(an+2),所以=2. 又由a1=1,得a1+2=3,所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列. 所以an+2=3×,an=3×-2,=3×2n-2,-an=3×2n-2-(3×-2)=3×,所以{an}不是等差数列;=不等于常数,所以{an}不是等比数列;=不等于常数,所以{an+1}不是等比数列. 2.已知数列{an}满足a1=1,=2an+1,求{an}的通项公式. 解:∵=2an+1,令+t=2(an+t),即=2an+t,∴t=1,即+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2×=2n,∴an=2n-1. 题型(二)　形如an=p+pn的递推关系求通项公式 [例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式. 解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1,即-=1, 又=,所以是以为首项,1为公差的等差数列,即=+(n-1)×1, 所以an=×2n. 　　[变式拓展] 　本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式. 解:等式两边同时除以2n,得=+2, 即-=2,又=, 所以是以为首项,2为公差的等差数列, 所以=+(n-1)×2,即an=×2n. |思|维|建|模| 　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来. 第二步:写出数列的通项公式. 第三步:写出数列{an}的通项公式. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}满足=+,且a1=1,求数列{an}的通项公式. 解:由题意,等式两边同乘2n,得=+1,即-=1,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,即an=. 4.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式. 解:由an+1=3an+2×3n+1,得=+2,∴-=2,又=1, 即数列是首项为1,公差为2的等差数列, ∴=2n-1,得an=(2n-1)·3n. 题型(三)　形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析:因为an+1=,a1=1,所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列.所以=+(n-1)×=+.所以an=. 答案: |思|维|建|模| 　　形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 　　[针对训练] 5.[多选]已知数列{an}满足a1=1,=(n∈N*),则下列结论正确的有 (　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 解析:选ABD　因为an+1=(n∈N*),得=+3,可转化为+3=2, 所以是以+3=4为首项,2为公比的等比数列,故+3=4·2n-1=2n+1,所以=2n+1-3,所以an=.易知{an}为递减数列,故A、B正确,C错误.的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4,故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $