精品解析：山东省青岛市第一中学2026届高三下学期考前预测数学试题

2026年青岛市第一中学高三第三次适应检测 数学试题 注意事项： 1.命题人：石笑宇；考试时间：2026年5月7日15：00-17：00 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 10. 将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（ ） A. B. C. D. 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，长方体中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面 所成角的正弦值． 15. 设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 16. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 17. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 18. 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. （1）设为坐标原点，证明：，，三点共线； （2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年青岛市第一中学高三第三次适应检测 数学试题 注意事项： 1.命题人：石笑宇；考试时间：2026年5月7日15：00-17：00 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】由于的展开式的第3项为， 故展开式中的系数为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】集合，集合. 在中满足的元素只有，所以 3. 设，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为4 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为3，方差为2 D. 丁组平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为4分，由中位数为3得到矛盾，A正确；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，可举出反例. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分， 根据极差为4，得到最低失分为4分， 此时中位数不可能为3，故假设不成立， 则该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，A正确； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为3，方差为2， 即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，C正确； D选项，，故从小到大，选取第7个数作为第65百分位数， 即从小到大第7个数为6， 假设丁组失分情况为， 满足平均数为3，第65百分位数为6，但不是“优秀小组”，D错误. 故选：AC 10. 将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求解A，根据正弦定理求解底面圆半径即可判断B，根据直角三角形的性质即可求解CD. 【详解】对于A，如图：,解得，故A正确， 对于B，底面圆的半径为,而，故B错误， 对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故,C正确， 对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故, 因此, 故的中点即为球心，故,D正确， 故选：ACD 11. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，长方体中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】（Ⅰ）交线围成的正方形如图： （Ⅱ）作，垂足为 ，则 ， ，因为 为正方形，所以 ．于是 ，所以 ．以 为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，， ， ，， ．设 是平面 的法向量，则即所以可取．又 ，故 ．所以直线 与平面所成角的正弦值为． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． 15. 设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由，知．令f′(x)=0，得x=ln2．列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值． （2）设，于是,由（1）知当时，g′(x)最小值为，于是对任意，都有，所以g(x)在R内单调递增．由此能够证明． 试题解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值， 极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2﹣1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0． 于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0， 故ex＞x2﹣2ax+1． 考点：1.导数与单调性和极值；2.导数的应用. 16. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解；（2）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围. 【小问1详解】 在中，，若. 又， 【小问2详解】 由（1）知. 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，得， ， , 设，，在区间单调递减， ，即, 17. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得. （2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 18. 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. （1）设为坐标原点，证明：，，三点共线； （2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线； （2）（i）根据斜率的关系可求，，利用向量坐标关系可证平行，或者通过联立方程求出的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； （ii）利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性可证. 【小问1详解】 设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线. 【小问2详解】 （i）由可得：， 由（1）可知：.由，可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：，，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 因此可得： ，由此可知：； 另解： 由（1）可知：，则，直线， 联立直线与椭圆：，解得点， 同理：，以下同上个解法. （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则； 另解1：由（i）可知： ， 则； 如图，取的中点，的中点，记椭圆左焦点为，连接， 由于，设， 则，则，，三点共线， 于是，则， 于是， 则，，，四点共线. 于是，， 由于为的中位线，则， 因为， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则. 另解2：由于 ，， 则，则是等腰直角三角形， 于是， ，， ， 同理可求， 由于， 于是，， 且，为锐角，由在上单调递增，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $