数学文化 讲义-2026届高三数学二轮复习

高考二轮复习专题 专题二 数学文化 专题10.1 数学文化   一、考点概览   二、核心考点 考点一　三角有关 [考点考频统计] 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2022浙江卷第11题 三角形面积公式及其应用 2022全国甲卷理科第8题 弧长的有关计算 2021全国乙卷理科第9题 利用平面相似的有关知识以及合分比性质求解 2021全国甲卷理科第8题 正弦定理科解三角形 2020北京卷第10题 三角函数新定义 2020新高考Ⅰ卷第15题 三角函数在生活中的应用 [核心知识点拨] 1.1　正弦定理 (1) (2)变形形式： ① ② ③ ④ 1.2　余弦定理 (1) (2)变形形式： 1.3　三角形中常用结论 (1) (2)大角对大边，大边对大角 1.4　三角形面积公式 (1) (2) [典型例题讲解] 例1　我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积________． 解析：因为，所以． 故答案为：. 例2　沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 解析：解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 例3　魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 解析：如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. [解题通法总结] 中国古代数学遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活生产结合紧密，具有浓厚的实际背景，体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征．几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查几何的有关知识，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华优秀传统文化． 考点二　数列有关 [考点考频统计] 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2025北京卷第14题 给出数列相关量，求解数量某一项及前n项和 2022新高考Ⅱ卷第3题 等差数列通项公式的基本量计算、已知斜率求参数 2022全国乙卷理科第4题 判断数列的增减性 2021新高考Ⅰ卷第16题 根据规律可得Sn，再根据错位相减法得结果 2020全国Ⅱ卷理科第4题 等差数列前n项和的基本量计算 2020全国II卷理科第12题 数列新定义 [核心知识点拨] 2.1　利用与的关系求数列的通项公式 2.2　等差数列 (1)通项公式：. (2)中项性质：，，成等差数列⇔⇔. (3)等差数列前项和公式：. 2.3　等比数列 (1)通项公式：. (2)中项性质：在等比数列中，若，则. (3)等差数列前项和公式：. [典型例题讲解] 例4　我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则__________；数列所有项的和为__________． 解析：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 故答案为：48；384. 例5　图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 解析：设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 例6　嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 解析：因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为 ， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [解题通法总结] 在近几年的高考题和各地的高考模拟题中有很多以数学史为背景的数列题，主要考查等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式以及基本性质等．意在考查学生的数学文化素养和应用意识．求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学，建立恰当的数列模型，运用方程思想求解计 考点三　立体几何有关 [考点考频统计] 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2023北京卷第9题 给出二面角大小，求线段长度或距离 2022天津卷第8题 给出几何体直观图，结合几何体体积公式求组合体的体积 2021新高考Ⅱ卷第4题 给出表面积公式和球的表面积公式，求占比 2021北京卷第8题 计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量 2021新高考Ⅰ卷第4题 球的截面的性质及计算 2020全国I卷理科第3题 正棱锥及其有关计算 [核心知识点拨] 3.1　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 3.2　柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 锥体 台体 球 [典型例题讲解] 例7　坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 解析：如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，    由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 例8　十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 解析：如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. [解题通法总结] 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．还可以以中国古代数学著作中的特殊几何体（如堑堵、阳马、鳖臑等）作为载体，考查空间平行与垂直的证明、空间角、空间距离以及面积与体积的计算，难度中等． 考点四　概率有关 [考点考频统计] 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2020全国II卷文第3题 分类加法计数原理 [核心知识点拨] 4.1　两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 4.2　古典概型： 其中，和分别表示事件和样本空间Ω包含的样本点个数. [典型例题讲解] 例9　如图，将钢琴上的12个键依次记为.设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 解析：根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． [解题通法总结] 以中国古代几何模型（如勾股弦图、太极图等）或现代科技为源考查简单的统计与概率的计算． 学科网（北京）股份有限公司 $