专题12轴对称之将军饮马最值难点题型汇编（五大模型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新版）

**基本信息** 聚焦轴对称最值问题，按“2定点1动点”“1定点2动点”分类，覆盖作图、周长/线段最小值及角度问题，形成从直观操作到综合计算的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |2定点1动点-作图|4题|双定点同侧，直线上确定动点使路径和最短|轴对称性质转化，两点之间线段最短原理应用| |2定点1动点-周长/线段最小值|6题|结合三角形、垂直平分线等背景求最值|几何直观下对称转化，空间观念构建最短路径| |1定点2动点-线段/周长/角度|10题|单定点双动点，涉及等边三角形、角平分线等|推理能力主导，综合轴对称与几何性质解决复杂最值|

专题12 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】.......................................................................................1 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】...................................................................4 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】..................................................................7 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】............................................................10 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】..............................................................................16 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】 1．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 2．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的格点上，与关于直线成轴对称． (1)在图中画出； (2)利用网格在直线上作一点，使最小，请标出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，两点之间线段最短的知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据轴对称最短路径的作图方法即可求解． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：根据（1）中的轴对称图形，连线交直线于点， ∴， 根据两点直线线段最短得到最小，即为， ∴点P的位置如答图所示.（作法不唯一）． 4．如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． 燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接， 则点P即为所求． 沿线段铺设管道，管道总长度最短． 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 5．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为(     ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC． 【详解】∵点D是AB边的中点，BD=2， ∴AB=2BD=4， ∵△ABC的周长为16， ∴AC+BC=12， 如图，连接BE， ∵点D是AB边的中点，l⊥AB， ∴l是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴AE+CE=BE+CE， ∵BE+CE≥BC， ∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， ∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=12， 故选：A． 【点睛】此题考查轴对称-最短距离问题，解题关键在于涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 6．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故选：C． 7．如图，等腰三角形ABC的面积为90，底边BC=12，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为________ 【答案】21 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ， 的长为的最小值， 的周长最短， 故答案是：21． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 8．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9.如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 10．如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于_____．    【答案】 【分析】首先找关于的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴平分， 作点关于的对称点，，如图， 则为中点，所以， 连交于点， ∴， ∴． 故答案为．    【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键． 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 11．如图，内有一定点P，且，在上有一点Q，上有一点R，若周长最小，则最小周长是_____ 【答案】12 【分析】作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接，，，，．由轴对称的性质可得出，即当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长．又可证为等边三角形，从而可求出的长，即得出结果． 【详解】如图，作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接，，，，． 由轴对称的性质可知，，，， ∴，且当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小周长为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并理解当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长是解题关键． 12．如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 【答案】4 【分析】过C点作，交于，过作，根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：过C点作，交于，过作， ∵平分，，， ∴， ∴的值最小， ∵，， ∴． 13．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 14．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 15．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 16．如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，，关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 【详解】解：连接交于点， 直线，且与△关于直线对称， ，，共线， ， ， ， ， ，， ，关于直线对称， 当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 故选B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 17．如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 【答案】A 【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N， 则AM=PM，AN=QN， ∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝， ∴ ∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴∠P+∠Q=， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 18．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 【答案】A 【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案． 【详解】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N， 根据对称的性质有：，， ∴周长的为． 当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为， 则的长度即为周长的最小值． ∵， ∴． ∵，，且，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理和三角形外角的定义等知识，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键．考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 19．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 【答案】B 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N， 则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 20．如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 【答案】/68度 【分析】利用轴对称的性质，将的周长转化为线段的长度，根据轴对称的性质得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ， 当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ， ， ， ， ， ， ， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查对称和最短路径问题，核心是两次轴对称，把三角形周长转化为两点间距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】.......................................................................................1 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】...................................................................3 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】..................................................................3 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】............................................................4 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】..............................................................................5 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】 1．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的格点上，与关于直线成轴对称． (1)在图中画出； (2)利用网格在直线上作一点，使最小，请标出点的位置． 4．如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． 燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 5．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为(     ) A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则的周长最小是（） A． B． C． D． 7．如图，等腰三角形ABC的面积为90，底边BC=12，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为________ 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 8．如图，在ABC中，，， ，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 9.如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 10．如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于_____．    【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 11．如图，内有一定点P，且，在上有一点Q，上有一点R，若周长最小，则最小周长是_____ 12．如图，已知平分，，，E为上一动点．在上找一点F，使的值最小，则这个最小值为__________． 13．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 14．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 15．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 16．如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 17．如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 18．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 19．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（    ） A．140 ° B．100° C．80° D．50° 20．如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $