专题11 全等三角形常考模型汇编（七大模型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新版）

**基本信息** 以全等三角形七大常考模型为核心，通过题型分类与方法提炼构建系统性训练体系，突出模型识别与辅助线构造的逻辑关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|3题|利用线段平移证边等角等|从基础图形变换切入，结合SAS/ASA判定| |翻折型|3题|对称性质转化对应关系|强化轴对称下全等条件的迁移| |旋转型|5题|旋转不变性证全等|衔接等腰直角三角形性质应用| |一线三等角型|4题|构造K型全等解决实际问题|体现几何直观与应用意识| |手拉手模型|4题|共顶点等腰三角形旋转全等|突出图形共性与垂直关系推导| |半角模型|4题|补短法构造全等转化线段关系|培养推理能力与转化思想| |倍长中线法|4题|延长中线构造全等转移线段|强化中点条件的辅助线策略|

专题11 全等三角形常考模型汇编 【题型01：平移型】..............................................................................................................1 【题型02：翻折型】..............................................................................................................2 【题型03：旋转型】..............................................................................................................3 【题型04：一线三等角型】...................................................................................................5 【题型05：手拉手模型】......................................................................................................7 【题型06：半角模型】..........................................................................................................9 【题型07：倍长中线法模型】...............................................................................................12 【题型01：平移型】 1．如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 2．已知：如图，点、、、同在一条直线上，，，．求证：． 3．已知，，点在上，且满足，求证：． 【题型02：翻折型】 4．如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 5．已知：如图，，．求证：． 6．如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 【题型03：旋转型】 7．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 8．已知：如图，．求证：． 9．如图，在和中，延长交于F，，，．求证：． 10．如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型04：一线三等角型】 12．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 13．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 14．王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 15．实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【题型05：手拉手模型】 16．如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 17．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 18．如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 19．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，分别与，交于点，，求的度数． 【题型06：半角模型】 20．【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    21．【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 22．（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 23．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【题型07：倍长中线法模型】 24．【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 25．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到 的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 26．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 27．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形常考模型汇编 【题型01：平移型】..............................................................................................................1 【题型02：翻折型】..............................................................................................................3 【题型03：旋转型】..............................................................................................................4 【题型04：一线三等角型】...................................................................................................8 【题型05：手拉手模型】......................................................................................................13 【题型06：半角模型】..........................................................................................................16 【题型07：倍长中线法模型】...............................................................................................27 【题型01：平移型】 1．如图，已知点，在线段上，，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】利用线段的和差关系得出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴． 2．已知：如图，点、、、同在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据得，证明，根据全等三角形的性质即可得证．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．已知，，点在上，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型02：翻折型】 4．如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到证明． 【详解】解：，， ， 即， 又，， ， ． 5．已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，得，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型03：旋转型】 7．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 8．已知：如图，．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 9．如图，在和中，延长交于F，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 11．如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， 又， ． 【题型04：一线三等角型】 12．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 【答案】(1)认同，理由见解析 (2)米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【详解】（1）认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 13．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 【答案】 【分析】先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14．王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积 ． 15．实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 【题型05：手拉手模型】 16．如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，结合对顶角相等，三角形的内角和定理，求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 18．如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）由（1）可得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． ． （2）， ， 又， ． 19．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，分别与，交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据已知条件先证明，进而证明，即可证明； （2）由（1）可得，进而根据三角形的内角和进行求解即可得． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在和中， ． ； （2）解：由（1）知， ． ， ． 【题型06：半角模型】 20．【自主探究】（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，，请计算线段的长度． 小明同学的做法是延长至点，使得，连接，他发现根据条件可证明，得到，，又和同学讨论发现，利用可证明，就能解决问题．那么他的结论是：线段的长度为______ 【灵活运用】（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若和都不是直角，但满足，请猜想线段、、之间的数量关系：__________________；    【拓，展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，，请问（2）中线段、、之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1）8；（2）；（3）成立，见解析 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，则，，再证明，即可得结论； （2）延长到点G，使得，先证明，则，，再证明，得到； （3）延长至，使得，连接，证明 ，则，，证明 ，则，由，，即可得到结论． 【详解】（1）延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8 （2）延长到点G，使得，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故答案为：． （3）成立，理由如下： 延长至，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵，， ∴， ∴即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明得到，进而即可得出结论． （2）延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明，得到，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以， 所以，． 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 所以． 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 在和中，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 所以． 在和中，， 所以，所以． 因为， 所以． 22．（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）4；（2）．理由见解析；（3）结论不成立．证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4； （2）结论，理由如下： 延长到M，使，连接． ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 即， ； （3）结论不成立，应是． 证明：在上截取，使连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，再判定，可得出． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型07：倍长中线法模型】 24．【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 25．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到 的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B（2）C（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到点，连接，证明得，，再证明，，从而可证明，得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：延长到，使，连接，如图1， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，, 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到点，连接，如图， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 27．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【答案】[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解； [问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证． 【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $