陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（A）

高二第一次月考补偿练习（数学） 1．已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 4．（多选）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要条件 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 5．（多选）已知、是椭圆长轴上的两个顶点，、是椭圆C的左右焦点，点是椭圆上异于、的任意一点，则下列四个命题中正确的是（    ） A．的最大值为 B．椭圆C的离心率为 C．面积的最大值为 D．椭圆C与双曲线有相同的焦点 6．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 7．已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是 ． 8．抛物线的焦点为，直线与交于两点，则 . 9．已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且， （）证明：直线过定点； （）求面积的最大值． 《2025年9月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C C C ABC BCD 1．C 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 2．C 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C    3．C 【分析】根据点到两条渐近线的距离相等，结合对称性及面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而可判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C错误； 由C知，，所以，，， ∴，∴，，，故D正确， 故选：C. 4．ABC 【分析】根据圆和圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A，当时，曲线的方程为，此时曲线为圆心在原点，半径为的圆，所以A正确； 选项B，当时，曲线的方程为，可得， 此时双曲线渐近线方程为，所以B正确； 选项C，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，有，解得， 所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以C正确； 选项D，当曲线为离心率的双曲线时，双曲线为等轴双曲线，即实半轴长与虚半轴长相等， 则有 ，解得，经检验，时，曲线为圆，所以D错误. 故选：ABC. 5．BCD 【分析】利用椭圆的几何性质可求得，可求得焦点坐标，可得，利用余弦定理可得，进而可判断A；求得椭圆的离心率可判断B；求得三角形面积的最大值判断C；求得双曲线的焦点坐标判断D. 【详解】由椭圆，可得、， 又，所以，，， 所以，所以、， 对于A，因为是椭圆上异于、的任意一点，所以， 在中，由余弦定理可得 ，当且仅当时，取等号， 又， 所以，故的最大值为，故A错误； 对于B，椭圆的离心率为，故B正确； 对于C，设，则面积为， 当为椭圆的短轴的两端点时，取等号， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由双曲线，可得，所以， 所以，所以， 所以双曲线的焦点坐标为， 所以椭圆C与双曲线有相同的焦点，故D正确. 故选：BCD. 6． 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 7．/ 【分析】如图，设，，由，，椭圆的定义及余弦定理可得，据此可得答案. 【详解】如图，为椭圆右焦点，由题可得， 设，则，又，则由余弦定理： . 设，则，又，则由余弦定理： . 从而， 所以. 故答案为：    8．1 【分析】先求得两点的坐标，再利用抛物线定义求得的值，进而求得的值． 【详解】抛物线的焦点，准线为， 直线可化为， 由，整理得， 解之得或，则或 当时，，此时 当时，，此时 综上所述： 故答案为：1 9．(1)椭圆的标准方程为 (2)（）证明见解析；（）面积的最大值为 【分析】（1）结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解. （2）（）法一：根据已知条件设，直线的方程，直线的方程，求出点的坐标，再求出，进而得到直线的方程，整理即可求解； 法二:先根据斜率公式表示出，结合椭圆方程，得到，进而设直线的方程为，与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解. （）根据，可得，再设进行整体代换，并利用函数单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由题意得，所以， 因为，所以椭圆的标准方程为. （2）（）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点，即右焦点. 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以，且 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍）， 所以直线过定点，即右焦点； （）由（）得， 令，则，则， 因为在上单调递增，所以时，取得最大值， 此时，直线的发方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $高二第一学期第一次月考数学参考答案(A) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12+2=1 13.2√3 14竖 15.解：①(-2，-1)，(4,3)，为边的中点， 则(1,1)，(-1,5)， =品=-2，故中线 则 的方程为-1=-2(-1)，即2+-3=0： (0)(-1,5),(-2,-1), 则 =号=6，故所求直线的斜率为6， 所求直线过点(4,3)，故所求直线方程为-3=6(-4)，即6--21=0. 22 16.解：(1)由双曲线方程g-6=1,可知2=9,2=16， =3,=V2+7=5,4=-=3 22 (2)依题意，设所求双曲线的方程为g-6=（≠0)， 将点（-3,2√3)代入，可得2-2=，解得= 9 16 “所求双曲线的方程为号元-京印号- 9-4=1. 17.解：①设圆的标准方程为(-1)2+(-1)2=2(>0)， 则圆心(1,1)到直线+-1=0的距离为 =+=竖则2=2+（号）=+=1， √2 圆的标准方程为(-1)2+(-1)2=1： ()①当切线的斜率不存在时，切线方程为=2，此时满足直线与圆相切： ②当切线的斜率存在时，设切线方程为-3=（一2），即--2+3=0， 则圆心(1,1)到直线一-2+3=0的距离为-1-2+3到=1， 2+1 化简得4=3，解得=子∴切线方程为3-4+6=0，综上，切线方程为=2或3-4+6=0. 18.解：（①）根据题意：椭圆的离心率为受，则-=受@，又因为椭圆过点(1，号)，则片+克=1②，又由2- 2+2③，由①②8联立解得=V2,=1,所以椭圆的标准方程为2+2=1。 第1页，共2页 (2)直线斜率不存在时不合题意，斜率存在时，设直线：=+1与曲线的交点为(2,2)，(1,1)， 根据2十2上2化简得1+2勺2+4=0，表的别试=162-41+2=42：-)>0， 所以12=0,1+2=-克11=V1+7(1+2水-412=号，整理得4+2-2=0， 4 所以2=1或2=-2（舍）.经检验，=±1符合题意，所以直线的方程为=士+1，所以一+1=0 或+-1=0. (+1)2+(-1)2 19.解：(1)设（，)， V(+1)2+(-4)2 =化简得2+2+2-3=0，即(+1)2+2=4 故曲线是以(-1,0)为圆心，半径为2的圆； (2)()证明：由题意知， 与圆相切，，为切点， 则上，上，则、、、 四点共圆 、在以为直径的圆上， :(-1,0),又(5，)， 则的中点为(2，)，1|=√36+2， 以线段为直径的圆的方程为(-2)2+(-2}=36+只， 4, 整理得，2+2-4--5=0①， 又、在：2+2+2-3=0上，②， 由两圆方程作差即②-①得：6++2=0. 所以，切点弦所在直线的方程为6++2=0. 则恒过坐标点(-3,0). ()(-1,1),(-1,0),(5),直线：=6（+1)，直线：6++2=0， 联立直线与的方移求得=一牛 =分Ⅱ-(-川=引+1川=品<品= 当且仅当=0，即存在点(5,0)，使得△ 的面积取最大值3，此时（-30)， 第2页，共2页▣4▣ 汉中市仁德学校高二年级上学期第一次月考(A) 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朗上，切勿脂出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 ▣ 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题，每题5分；9~11为多选题，每题6分，共58分) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 11[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 9 [A][B][C][D] 5[A][B[C][D] 10 [A][B][C][D] 填空题（每题5分，共15分） 2 14. 解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) 囚囚■ 18.(17分) I 1 1 19.(17分) ■ 囚■囚 囚■囚绝密★启用前 汉中市仁德学校高二上学期第一次月考试题(A卷) 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的斜率的变化范围是-1，√3，则其倾斜角的变化范围是() A.4+3+J(∈) B.13 c-] D.0,3]U[4,) 2.已知抛物线的焦点是(1,0)，则抛物线的标准方程为() A.2=4 B.2=-4 C.2=4 D.2=-4 3.圆心为(-1,1)，半径为2的圆的方程是() A.(-1)2+(+1)2=2 B.(+1)2+(-1)2=2 C.(-1)2+(+1)2=4 D.(+1)2+(-1)2=4 4.已知直线：+-3=0，椭圆4+2=1，则直线与椭圆的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 5.若直线1：++8=0与直线2：(-2)+3+3=0平行，则=() A.-1 B.-1或3 c D.3 6.已知椭圆号+之=1(>>0)的左、右焦点分别为1、2，短轴长为4W3,离心率为分，过点1的直线交椭 2 圆于，两点，则 2的周长为() A.4 B.8 C.16 D.32 7.己知1,2是双曲线的两个焦点，为上一点，且∠12=60°，|1=3引2，则的离心率为() A号 B罗 C.V7 D.V13 8.已知(4,0)，为抛物线2=+1上任一点，则1的最小值为() 第1页， A B罗 c罗 D.V3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.直线V3+3-3=0的倾斜角为150° B.若直线++=0经过第三象限，则>0， <0 C.点(-1，-2)在直线(2+)+(1-2)+4-3=0（∈）上 D.存在使得直线3+=2与直线+2=0垂直 10.已知曲线：2-2=1，下列说法正确的是() A.若>0，则为双曲线 B.若>0且+<0，则为焦点在轴上的椭圆 C.若>0，<0，则不可能表示圆 D.若>0，>0，则为两条直线 11.已知抛物线：2=8的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是() A.焦点到抛物线的准线的距离为8 11 B.+六=艺 C.若的中点的纵坐标为4，则‖|=16 D.若2引|=|，则△=4√2 第Ⅱ卷（非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点是椭圆号+号=1(>>0)上一点，1”2分别是其左、右焦点，若+12=4，离心率为 2 2 则椭圆的标准方程为 13.已知直线+3-1=0与圆2+2+2-3=0交于，两点，则||=一 2 2 14.设直线：=+1与椭圆：气+气=1(>>0)相交于，两点，与轴相交于左焦点，且=3，则 椭圆的离心率= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知△ 的顶点坐标分别是(-1,5)，（-2，-1)，(4,3).为边的中点。 (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 共2页 16.(本小题15分) 已知双曲线的方程为写-后=1. (1)求双曲线的离心率； (2)求与双曲线有公共的渐近线，且经过点(-3,2√3)的双曲线的方程. 17.(本小题15分) 已知圆的圆心坐标(1,1)，直线：+=1被圆截得弦长为√2. (1)求圆的方程； (2)从圆外一点(2,3)向圆引切线，求切线方程. 第2页， 18.(本小题17分) 已知椭圆号+号=1(>>0)的离心率为学且经过点(1，号) 试求：（④）求椭圆的标准方程：（②是否存在过点(0,1）与（①）中曲线相交所得弦长11=号的直线，若存在，求 直线的方程：若不存在，试说明理由 19.(本小题17分) 已知动点与两个定点(-1,1)，(-1,4)的距离的比为，记动点的轨迹为曲线· (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知(-1,0)，过直线=5上的动点(5，)分别作曲线的两条切线，(、为切点)，连接交 于点， ()证明：直线过定点，并求该定点坐标； ()是否存在点，使△ 的面积最大？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由. 共2页