四川安岳中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二年级半期数学试卷，聚焦函数、数列、导数等核心知识，通过梯度化问题设计考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，解答题注重综合应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数应用、等比数列、集合运算|结合图像分析函数单调性（如第1题）| |多选题|3/18|排列组合、数列性质、函数奇偶性|多选项辨析考查逻辑严谨性（如第9题排列问题）| |填空题|3/15|数列递推、排列组合、导数极值|小切口深挖掘（如第14题导数极值点）| |解答题|5/77|函数单调性与极值、数列证明、导数综合应用|多问递进设计，综合考查数学建模与创新思维（如第19题导数应用）|

安岳中学高2024级第四学期半期考试 数 学 试 题 考试时间:120分钟；满分：150分 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 2．已知为正项等比数列，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．.集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（ ） A．11 B．12 C．8 D．6 4．已知数列满足，则（ ） A．1 B．5 C． D． 5．.若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ） A．1 B．2 C．e D． 6．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9．A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法 C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A．当时， B．函数有三个零点 C．，，都有 D．若方程有三个解，则实数的取值范围是 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12．在数列中，，（为正整数），则__________. 13．用0、1、2、3、4可组成________个无重复数字的三位偶数.（用数字作答） 14．已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分）已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证： 17．（15分）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 18.（17分）已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项的和； （3）若，求满足条件的最大整数． 19．（17分）已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B B D A B AC ACD 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 2．【答案】C 【详解】由数列为正项等比数列，得， 所以. 3．【答案】A 【分析】先利用计数原理得出所有的两位数，再减去重复数字即可. 【详解】个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 这两类中重复的有数字，故所有样本点的个数为. 故选：B 4．【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5．【答案】B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 6．D 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内恰有三个零点， 所以当时，有两个零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 又当，时，，且，当时，， 所以当时，有两个零点时， 需满足，解得. 7．A 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 8．B【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时满足上式， 所以， 所以， 所以 所以， 由可得， 即恒成立， 因为对勾函数在单调递增， 所以当时有最小值为64， 所以， 故选:B. 9．【答案】AC 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10．ACD 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 11．BC 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故A错误 对于B：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故B正确； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 12．15 13．30 14．3 【分析】由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论． 【详解】的定义域是,, 由题意在上有两个变号的零点， 设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根， 方程化为，即， 设，则在上恒成立， 所以在上是增函数， 又，因此，即， 所以问题等价于,即在上有两个不等的实根， 设，则， 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以函数在处取得极大值， 作出的大致图象及直线，如图， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3. 15．(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是 16.(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得，所以. （2）由（1）得， 则 17.(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 18.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2025 【详解】（1）由且，可得， ， 即，， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，则 所以， 则， 两式相减， ， . （3）由（1）知， 则 ， 由，即， ，， 所以， 因为，所以， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件， 故满足条件的最大整数． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 高二（下）半期考试 数学试卷 第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $