第七章 复数章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第7章 复数章末综合检测 一、单选题 1. 复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 2. 在复平面内，复数对应的点坐标是，则（   ） A． B．5 C． D．8 3. 已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 4. 已知复数，则的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．3 D．3i 5. 若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 6. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 7. 已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．为纯虚数 D． 8. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、 多选题 9. 下列命题中，真命题是（   ） A．两个共轭复数的差是纯虚数 B．复数的模是非负实数 C．若两个复数相等，则这两个复数的模相等 D．若、，且，则 10. 已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若为复数，则为实数 C．若，则 D．若，则的最大值为 11. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上 D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 3、 填空题 12. 已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 13. 已知复数满足，则___________． 14. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 4、 解答题 15. 已知复数，. (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16. （1）若复数（）在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （2）计算：. 17. 已知复数，. (1)若，求，的值； (2)若是纯虚数，且，求； (3)若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 18. 已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 19. 在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 复数章末综合检测 一、单选题 1. 复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 2. 在复平面内，复数对应的点坐标是，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模 【分析】先应用复数的几何意义得出复数，再应用复数加法及模长公式计算求解. 【详解】复数对应的点坐标是，则， 则， 则. 3. 已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【详解】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 4. 已知复数，则的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．3 D．3i 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】∵ 虚数单位i的幂次周期为，，∴ . ∴ 分母为 . . 根据复数虚部的定义可知的虚部为. 5. 若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算、根据相等条件求参数 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，， 故，所以. 故选：D 6. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数范围内方程的根、根据相等条件求参数 【分析】将虚数根代入可得，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可. 【详解】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 7. 已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．为纯虚数 D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【详解】由题意易知，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，当时，C显然错误； ，，故D正确. 8. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】通过题意找出规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可. 【详解】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 2、 多选题 9. 下列命题中，真命题是（   ） A．两个共轭复数的差是纯虚数 B．复数的模是非负实数 C．若两个复数相等，则这两个复数的模相等 D．若、，且，则 【答案】BC 【难度】0.75 【知识点】复数的相等、复数的基本概念、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【详解】对于A，当互为共轭复数的两个复数分别为1，1时， 它们的差为实数，故A错误； 对于B，对于任意的，则，故B正确； 对于C，当两个复数相等时，这两个复数的模相等，故C正确； 对于D，当时，，而不能比较大小，故D错误. 10. 已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若为复数，则为实数 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.72 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【详解】对于A，因为，故，所以，符合纯虚数(实部为，虚部不为的复数)的定义，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，则，，故B正确 对于C，当，时，，但，，与矛盾，故C错误； 对于D，，表示复平面上以点为圆心，半径为的圆，表示圆上的点到原点的距离，如图所示，最大值为，故D正确. 11. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在虚轴上 D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】复数的基本概念、实轴、虚轴上点对应的复数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】结合复数的定义，模的计算公式，对应点的坐标依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，，根据虚数不能直接比较大小，故A错误； 对于B，设， 若复数等于零，则，所以， 若，则，即复数等于零， 综上，复数等于零的充要条件是它的模等于零,故B正确； 对于C，设，若为纯虚数，则，对应点的坐标为，由于其对应点的横坐标为0，且，所以复数在复平面内对应的点在虚轴上，故C正确； 对于D，设复数，若复数满足条件， 则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，D正确； 3、 填空题 12. 已知复数z在复平面上对应的向量，则______． 【答案】5 【难度】0.92 【知识点】复数的向量表示、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【详解】因为复数z在复平面上对应的向量，所以， 所以，所以. 13. 已知复数满足，则___________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 14. 已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 4、 解答题 15. 已知复数，. (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.86 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、已知复数的类型求参数、复数的基本概念 【分析】（1）由z为纯虚数可知求解即可； （2）根据复数对应的点在第四象限可得其实部为正，虚部为负，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）， 因为z为纯虚数， 有，解得； （2）复数z对应的点的坐标为， 因为复数z对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16. （1）若复数（）在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.75 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数的除法运算、复数的乘方、求复数的模 【详解】（1）， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以， 解不等式①，得； 解不等式②，得或. 所以，即m的取值范围是. （2）因为， ，， 故原式. 17. 已知复数，. (1)若，求，的值； (2)若是纯虚数，且，求； (3)若，且在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.82 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的加法运算及复数相等列式即可求出答案； （2）根据复数的乘法运算及纯虚数的概念可求出，再根据求出，根据即可求出答案； （3），根据复数的几何意义即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 则，解得，. （2）因为，， 所以， 因为是纯虚数，所以且， 则， 因为，所以，所以， 则. （3）由，得， 则， 因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以， 解得，即的取值范围为. 18. 已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】(1) (2)，， 【难度】0.78 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. （2）为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. 19. 在复平面内，复数（为虚数单位) 对应的点为． (1)若为实数，求实数 的值； (2)若 ，复数 满足，且，在复平面内对应的点为 ，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数的除法运算结合复数的概念即可求解； （2）设，由得，再由，即可解出，进而求解. 【详解】（1）由， 又因为为实数，所以，解得； （2）设，所以 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点为 由， 又，所以， 所以， 又，所以，即， 解得，又，所以， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $