第七章复数章末综合检测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章复数章末综合检测卷 一、单选题 1．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘方化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：C. 2．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为， 又复数为纯虚数， 所以，解得. 故选：B 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 4．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，得到，代入求解. 【详解】设，则，所以， 即， 即，解得，即，所以， 故选：A 5．在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算进行化简，再结合实部与虚部可确定选项. 【详解】设， 对于A：若复数位于第一象限，则须满足，解得且，此时无解，即复数不可能位于第一象限，故A正确； 对于B：若复数位于第二象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第二象限，故B错误； 对于C：若复数位于第三象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第三象限，故C错误； 对于D：若复数位于第四象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第四象限，故D错误. 故选：A. 6．设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 7．若复数的模为，则的值为（    ）. A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】化简复数，根据复数模的几何意义列式计算即可求解. 【详解】复数， 由题意可得，解得. 故选：B 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中：，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 二、多选题 9．是虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法化简复数，可判断AB选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断D选项. 【详解】对于AB选项，，A对B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10．若为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第二象限 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数计算求解判断A，特殊值法计算判断B，应用模长性质计算判断C，应用复数乘方及复数的几何意义运算判断D. 【详解】对于A：设，若，则，即，则为实数，A选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于C：因为，则，则的最大值为，C选项正确； 对于D：若，则在复平面内对应的点在第二象限，D选项正确； 故选：ACD. 11．已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】化简，由纯虚数的定义可判断A；由相等复数和复数的模长可判断B；对于CD分别由复数的几何意义求出轨迹方程，再由圆的性质求解即可. 【详解】对于A，复数 ， 则， 若为纯虚数，则，得，故A错误； 对于B，若，则，所以， 所以，故B正确； 对于C，， 由可得：， 令 则 则的最大值为，故C正确； 对于D，由可得， 设， 所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．已知为虚数单位，，则 ． 【答案】 【分析】结合复数的乘法运算及共轭复数的性质，利用复数模的运算性质求解即可. 【详解】由题意，得. 故答案为： 13．已知复数的模长，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 14．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令，则， 展开并整理得， 所以，解得或，则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 16．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【分析】（1）方法一：根据方程的根的概念，结合复数相等列式求值. 方法二：根据实系数一元二次方程虚数根的关系，结合韦达定理求值. （2）利用求根公式求解. 【详解】（1）方法一：因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 方法二：依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 17．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意得，， 所以，则； （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 18．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 19．已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章复数章末综合检测卷 一、单选题 1．复数的共轭复数（   ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 4．已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 7．若复数的模为，则的值为（    ）. A．1 B． C．3 D． 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 二、多选题 9．是虚数单位，复数，则（   ） A． B． C． D． 10．若为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第二象限 11．已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 三、填空题 12．已知为虚数单位，，则 ． 13．已知复数的模长，则的取值范围为 ． 14．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 四、解答题 15．已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 17．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 18．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 19．已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $