江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习4

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习4 1、 单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 4.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 5.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6.已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.设，，，则有（   ） A． B． C． D． 8.已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰直角三角形 D．若，则为直角三角形 11.在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 3、 填空题 12.已知，则________． 13.在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为_________. 14.如图所示，已知矩形中，，，平面，在线段上，在满足条件的点有两个时，的取值范围是_________；点有一个时的值为_________． 4、 解答题 15.已知为锐角，为钝角，且. (1)求的值； (2)求的值. 16.已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求. 17.如图，棱长为2的正方体，点E在BD上（异于B，D）． (1)若平面分别交，，BD，AE于点M，N，P，Q，四边形MNPQ为平行四边形，求证： 平面： (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 18.如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)点为PA上一点，，求证：平面BDQ； 19.如图，已知直线，是之间的一个定点，过作的垂线分别交于两点，，分别是上的两个动点（均在的右侧）．设，，的周长和面积分别为和． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习4解析版 5、 单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选D. 2.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 3.复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 4.如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由斜二测画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以.故选：A. 5.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， 在，由余弦定理得：， 即，解得， 所以两山顶A，C之间的距离为． 故选：B 6.已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，.故选：B. 7.设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， ， ， 根据正弦函数的单调性可知， 根据正切函数的单调性可知，故选：D. 8.已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以.故选：B. 6、 多选题 9.已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误．故选：BC． 10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为等腰直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，，由正弦定理可得， 则，即， 所以，则为等腰三角形，A选项正确； 对于B，，由正弦定理可得， 即，所以， 则或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误； 对于C，，由正弦定理可得， 则，所以， 所以为等腰直角三角形，C选项正确； 对于D，，由射影定理， 则，则为直角三角形，D选项正确； 故选：ACD. 11.在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 【答案】ABD 【详解】A.由条件可知，梯形中，和是相交直线，且平面，则直线与平面相交， 所以平面内任意一条直线都不与BC平行，故A正确； B.平面与平面相交，则平面内与交线平行的线都与平面平行，故B正确； C.设平面和平面交于直线，因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； D. 若平面和平面交于直线，若平面，平面平面， 平面平面，所以，且，则，这与梯形的两腰不平行矛盾，所以D正确.故选：ABD 7、 填空题 12.已知，则________． 【答案】 【详解】由，得， 整理得，所以.故答案为： 13.在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为_________. 【答案】 【详解】取的中点，连接， 因为E、F 分别是的中点，所以， 因为所成的角为，所以或， 如图1，，则， 如图，，则 故答案为： 14.如图所示，已知矩形中，，，平面，在线段上，在满足条件的点有两个时，的取值范围是_________；点有一个时的值为_________． 【详解】平面，平面，， 又，，，平面，平面， 又平面，．由平面几何知识得，以为直径的圆与边有两个交点时，，则，与边有一个交点时，． 故答案为：；6. 8、 解答题 15.已知为锐角，为钝角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由于为锐角，为钝角，且， 所以， 所以， （2）， 由于为锐角，为钝角，所以， 因此，故， 所以， 故 16.已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求. 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以. 由正弦定理得， 即， 又，所以，所以. 因为，所以，所以，又，所以. （2）因为的面积为，所以，即. 联立方程，解得或（舍）， 由余弦定理，得. 17.如图，棱长为2的正方体，点E在BD上（异于B，D）． (1)若平面分别交，，BD，AE于点M，N，P，Q，四边形MNPQ为平行四边形，求证： 平面： (2)若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【详解】（1）如图， 因为四边形MNPQ为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以 平面. （2）连接，且交于，连接，如图， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又四边形为正方形， 所以为的中点，所以， 又为中点，所以，且, 所以异面直线与的夹角为（或其补角）， 在等腰三角形中，， 由余弦定理，, 即异面直线与的夹角的余弦值为. 18.如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)点为PA上一点，，求证：平面BDQ； 【详解】（1）由题意可知，，所以， ，得，则，所以， 又因为平面，平面， 所以，，且平面，所以平面； （2）连结，交于点，连结，因为，且，所以， 又因为，所以，且平面，平面， 所以平面； 19.如图，已知直线，是之间的一个定点，过作的垂线分别交于两点，，分别是上的两个动点（均在的右侧）．设，，的周长和面积分别为和． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【详解】（1）依题意，当时，， 在和中，， 则， 因此， 令，， 则，函数在上单调递减，， 所以当时，取得最小值. （2）当时，， 在和中，， ，而， 则，因此当时，， 所以当时，取得最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $