精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题

2024-2025学年度高一年级第二学期教学质量调研（二） 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示，列方程求参数即可. 【详解】由题设. 故选：A 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求得，再应用正弦定理求. 【详解】由，且，则， 又，则. 故选：C 3. 已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD. 【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确； 对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 5. 在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征及异面直线的定义判断各项两条直线是否为异面直线. 【详解】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D 6. 在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ） A. 三角形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 五边形 【答案】B 【解析】 【分析】应用平面的基本性质画出截面图形，结合正方体的结构特征判断截面的形状. 【详解】延长交直线于，连接交于，连接，即即为所求截面， 由题设有，即为的中点，则且， 又，，则为平行四边形， 所以且，故且，又， 所以为等腰梯形. 故选：B 7. 在等腰直角中，，点将三等分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，易得，再应用余弦定理求，由同角三角函数关系求其正切值. 【详解】设，则，则， 故，同理， 所以，又，则， 所以. 故选：C 8. 在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到、且，进而有，应用换元法，令，则，结合二次函数的性质求范围. 【详解】由三角形为斜三角形且，故， 又，，， 则，而， 所以，则， 所以 令，则， 所以，故. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出，由及两角和的余弦公式求出即可判断A，再由二倍角公式判断C，求出，即可判断B、D. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 ，故A正确； 所以，故C错误； 因为，，所以， 所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 10. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则有两解 【答案】AC 【解析】 【分析】应用正弦定理计算判断A，D，应用余弦定理计算判断B，C. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确； 对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误； 对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确； 对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误； 故选：AC. 11. 在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使与平面相交 B. C. 与平面所成角的正弦最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】证明平面平面，即可得平面判断A；应用线面垂直的性质和判断证明平面判断B；根据线面角的定义及平面，到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值为，确定最小值判断C；将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D. 【详解】由正方体知，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，则平面，A错； 由平面，平面，则，又， 由且都在平面内，则平面，平面， 所以，同理可证，而且都在平面内， 所以平面，平面，则，B对； 由上平面，而到平面的距离， 而，则到平面的距离， 所以与平面所成角的正弦值为， 要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小， 所以最小正弦值为，C对； 将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示， 当且仅当共线时，最小， 而，，故，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求出，，再由两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，即， 又，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知向量满足，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求模长. 【详解】由题设，，又， 所以，可得， 所以，可得. 故答案为： 14. 已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥底面圆上的一点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过作，交底面圆周于，易知异面直线与所成角为，若底面半径为，结合已知并应用余弦定理求的余弦值. 【详解】过作，交底面圆周于，故异面直线与所成角，即为， 若底面半径为，轴截面是正三角形，， 则，，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明，证明过程或者演算过程． 15. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理得，再应用正弦定理求； （2）应用余弦定理得，进而有，且，最后应用差角正弦公式求函数值. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得， 又，则. 【小问2详解】 由余弦定理得， 又，则， 由，则为锐角，故， 所以. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1） 连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2） 由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由为正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面. 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）由题设先证明得，再由正三棱柱的结构有平面平面且，应用面面、线面垂直的性质得，最后由线面垂直的判定证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在梯形中，，且为的中点，，． （1）求的值； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用平面向量基本定理用表示出，再结合它们同向共线列方程求参数值即可； （2）由（1）得，应用数量积的运算律求其模长和，再应用向量夹角公式求角的大小. 【小问1详解】 由， 由，又，结合图知同向共线， 所以； 【小问2详解】 由, 由（1），则， ， ，，则. 18. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角； （2）设为边上一点，记，的面积分别为，若，且． ①求；②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和二倍角正弦公式得，结合三角形内角性质得，结合题设即可求得角； （2）①由（1）可得，，利用等面积法及，应用三角形面积公式列方程，结合平方关系求，②根据①中方程求出，即可得的值. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得，即(*)， 又且，则， 故由(*)可得，联立解得； 【小问2详解】 ①由（1）易得，则有，， 因，，则， 即得，代入，可得①， 由，可得②， 将①②两式相乘，得，又， 联立解得，因为锐角，则； ②由上可得，代入①，， 所以，故. 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面， 故平面， 因为平面，故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解； （2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故， 所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一年级第二学期教学质量调研（二） 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（ ） A. 三角形 B. 等腰梯形 C. 直角梯形 D. 五边形 7. 在等腰直角中，，点将三等分，则（ ） A. B. C. D. 8. 在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则有两解 11. 在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使与平面相交 B. C. 与平面所成角的正弦最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，，则______． 13. 已知向量满足，且，则______． 14. 已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥底面圆上的一点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明，证明过程或者演算过程． 15. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： （1）平面； （2）平面． 17. 如图，在梯形中，，且为的中点，，． （1）求的值； （2）若，求． 18. 在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角； （2）设为边上一点，记，的面积分别为，若，且． ①求；②求的值． 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $