江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习3

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习3 1、 单选题 1.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（    ） A．－1 B．－i C．i D．1 2.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.结果为（    ） A． B． C． D． 4.在中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6.计算的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 7.在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 8.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.在中，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，，则是等边三角形 D．若，则 10.已知，，则（    ） A． B． C． D． 11.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（    ） A．过点E有且只有一条直线与直线和都相交 B．过点E有且只有一个平面与直线和所成角相等 C．过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为 D．点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是 3、 填空题 12.______________. 13.在中，已知，，，于D，则AD的长为______． 14.如图，正方体的棱长为2， 是棱的中点， 是侧面内一点，若平面 ，则的长度的范围为__________. 4、 解答题 15.已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. 16.已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 17.如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. 记平面与平面交线为，（1）证明：； （2）证明：为等边三角形. 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 19.某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． (1)现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习3解析版 5、 单选题 1.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（    ） A．－1 B．－i C．i D．1 【详解】，因为复数是纯虚数，所以， 则，所以.故选：C. 2.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．故选：B． 3.结果为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 4.在中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据三角形面积公式可得，即； 由余弦定理可知，可得； 由正弦定理可得.故选：B 5.如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】连接，由棱柱的性质得， 所以是异面直线与所成角或其补角； 由正三棱柱的性质及， 得，，， 在中，由余弦定理，得， 即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D. 6.计算的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【详解】 .故选：D 7.在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， 因为为中点，，所以， 因为，则，且， ， 所以截面的周长为故选:D 8.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，故三角形外接圆直径为， 故 ， 因为三角形为锐角三角形，故，故， 故，故，故，故选：D 6、 多选题 9.在中，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，，则是等边三角形 D．若，则 【详解】对于A,由可知，所以由正弦定理可得，反之也成立，正确； 对于B,为等腰或直角三角形； 对于C，，，则 ， 即，则是等边三角形，正确； 对于D，，则, 所以,故， 由于 ,所以 ，正确，故选;ACD 10.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误；故选：BC. 11.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（    ） A．过点E有且只有一条直线与直线和都相交 B．过点E有且只有一个平面与直线和所成角相等 C．过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为 D．点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是 【答案】ACD 【详解】对于A选项，记点Q为上一点，与相交于点P，易知此时Q在平面上， 而直线与平面有且仅有唯一交点，故有且仅有一个点Q符合条件， 于是满足条件的直线有且仅有一条，A正确， 对于B选项，一个平面与所成角等于该平面与直线所成角. 根据正方体的对称性可知，平面，平面均符合要求，B错误， 对于C选项，取中点为F，显然， 故该截面的面积可等价为梯形的面积， 而，，， 故由平面几何知识可知该梯形的高为， 其面积，C正确， 对于D选项，因为平面，平面，所以， 因为是正方形，所以， 又，平面，平面，故平面， 又，平面，点Q是正方形内的动点， 可知点Q的轨迹为线段，长度为，D正确， 故选：ACD． 7、 填空题 12.______________. 【答案】1 【详解】 . 故答案为： 13.在中，已知，，，于D，则AD的长为______． 【详解】 由已知可得，. ， 在中，由正弦定理， 可得，.因为，，在中，，所以.故答案为：. 14.如图，正方体的棱长为2， 是棱的中点， 是侧面内一点，若平面 ，则的长度的范围为__________. 【答案】 【详解】如图所示： 分别取的中点M，N，连接EM，EN，MN， 因为E为AB的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又， 所以平面平面， 又是侧面内一点，且平面， 所以点F的轨迹为线段MN， 故EF的最小值为,最大值为， 所以的长度的范围为， 故答案为： 8、 解答题 15.已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. 16.已知，且. (1)求的值； (2)求角； (3)求的值. 【详解】（1）因为，，则， 所以. （2）由(1)可得，，，则， 因为，所以，解得， 又因为，所以. （3）因为，，， 所以， ，， 所以. 17.如图，在三棱柱中，，侧面为矩形. 记平面与平面交线为，（1）证明：； （2）证明：为等边三角形. 【详解】（1）因为在三棱柱中，， 由于平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以 （2）取的中点，棱的中点，连接， 因为，为的中点， 所以， 又因为侧面为矩形.，为的中点，为棱的中点， 所以 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为在三棱柱中，， 所以， 又因为为棱的中点， 所以 又因为在三棱柱中，，， 所以， 又因为， 则，所以为等边三角形 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 19.某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段长为4百米，，都设计在以为直径的半圆上．设． (1)现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大，最大面积为多少； (2)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值（单位：百米）． 【详解】（1）∵线段长为4百米，所以圆的半径为2百米，即， 当时，由三角形的面积公式得： ， ，， ，当，即时取等号， 即当时，郁金香种植面积最大，最大面积为. （2）因为，所以，， 由余弦定理得：，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当时，栈道的总长最长，的最大值为6百米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $