江苏如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习2

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习2 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 3.若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 4.若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 5.已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 6.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 7.如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 8.若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9.设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 10.已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为点 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 11.已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A．B．C．D． 三、填空题 12.在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 13．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为__________． 14.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 四、解答题 15.已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 16.如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 18.如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 19.如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期期中模拟综合练习2解析版 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则， 则. 故选：A 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 3.若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 4.若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点在角的终边上，可得， 则．故选：A. 5.已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于为钝角，且， 所以， 且， 所以， 所以，故选：D. 6.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，H为EF的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【详解】如图： 因为，即，又， 所以平面，故B正确， 因为过作平面的垂线能作且只能作一条， 与平面都不垂直.所以A、C、D错误.故选：B 7.如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得.故选：C 8.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误 又 ，故A对，B错；故选：A 二、多选题 9.设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【详解】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 10.已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．图象的一个对称中心为点 C．在区间上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【详解】A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，，故为的一条对称轴，B错误； C选项，时，， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，将的图象向右平移个单位长度后得到， 显然为奇函数，D错误.故选：AC 11.已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面， 平面，则，如下图示， 又为中点，根据中位线及正方形的性质有， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足； B：如下图示，平面，平面，则， 若，都在平面内，则平面， 平面，则，显然不成立，不满足； C：如下图示，由中位线及正方形性质易知， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，满足； D：若为中点，又都为中点，如下图示， 根据中位线、正方形的性质易知，， 由平面，平面，则， 由都在平面内，则平面， 平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足. 故选：ACD 三、填空题 12.在正方体中，直线与所成的角为_____________，直线与所成的角为_____________． 【答案】 【详解】如图，连接，，作出符合题意的图形， 因为，所以就是异面直线与所成的角． 因为，所以直线与所成的角为， 由正方体性质得四边形是平行四边形，则， 可得与所成的角即直线与所成的角， 又由勾股定理得， 则为正三角形，可得直线与所成的角为， 即直线与所成的角为．故答案为：； 13．在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】 因为，以为坐标原点，建立直角坐标系， ，因为是线段上的点， 所以，设，所以， 所以，，所以， 故，故， 当时，有最大值，当时，有最小值. 所以的取值范围是.故答案为： 14.在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为故答案为： 四、解答题 15.已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或，故或 16.如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 18.如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 【详解】（1）因为是边上的中线，所以， 所以； （2）因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； （3）由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 19.如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【详解】（1）（i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. （2）由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此，. ，，，即. 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $