陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二第一学期期中模拟数学试题

高二第一学期数学检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线：，：，若，则(    ) A. B. C. D. 2.圆心为且过点的圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 3.设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，三棱锥中，，，，且，，则(    ) A. B. C. D. 5.若，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知过原点的直线与圆：相交于，两点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去个服务点，每个服务点至少人，则不同的安排方法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8.如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有(    ) A. 平面 B. 平面 C. 存在点，满足 D. 三棱锥的体积不变 10.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线已知两定，，动点满足，设的轨迹为曲线，下列说法中正确的有(    ) A. 的横坐标最大值是 B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 存在点，使得 D. 面积最大值 11.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是(    ) A. ，两两互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线的离心率为，则      ． 13.设为正整数，展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______． 14.如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内包括圆周若，则直线与底面所成角的正弦值的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设直线：与． 若，求、之间的距离； 当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值． 16.本小题分 已知为原点，直线与圆：交于、两点． 若，求的值； 若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值． 17.本小题分 已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为． 求抛物线的方程； 过点作一直线交抛物线于，两点，求弦的中点轨迹方程． 18.本小题分 如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． 证明：； 证明：平面与平面的交线平面； 若，二面角的正切值为，求的长． 19.本小题分 如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥的侧面相切即与圆锥的每条母线相切，且这两个球都与平面相切，切点分别为，，数学家丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，记为，，为椭圆的两个焦点设直线分别与该圆锥的母线交于，两点，过点的母线分别与球，相切于，两点，已知，以直线为轴，在平面内，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． 求椭圆的标准方程； 过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，，分别为椭圆左右顶点，记的斜率为，的斜率为求出； 已知为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点两点异于点，且，求的面积最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直线：，：，， 则． 故选：． 利用垂直的关系可得斜率之积为，即可得解． 本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：因为圆上的点到圆心的距离， 所以圆的半径， 则所求圆的标准方程为． 故选：． 利用两点间的距离公式求出圆上点到圆心的距离，即为所求圆的半径，由圆心与半径写出圆的标准方程即可． 本题考查圆的标准方程，以及两点间的距离公式，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，，则，且， 由得到，即，所以． 故选：． 根据条件得到，设，，再利用椭圆的定义及条件得到且，即可求出结果． 本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 4.【答案】  【解析】解：由题意，，， 则 ． 故选：． 利用空间向量的运算法则求解即可． 本题考查空间向量的线性运算，属基础题． 5.【答案】  【解析】解：若二项式为， 对于，取，得，A错误； 对于，展开式中项的系数为，B错误； 对于，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误． 故选：． 根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断． 本题考查二项式相关知识，属于中档题． 6.【答案】  【解析】解：因为圆：，则圆心，， 又，即原点在已知圆内部， 记原点为，要使最小，只需直线，而， 所以最小． 故选：． 判断原点与圆的位置关系，再由最小有直线，最后应用几何法求弦长即可． 本题主要考查直线和圆相交的性质，考查计算能力，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：五名同学分三个小组， 若按人，人，人来分有种， 若按人，人，人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有人的不同安排方法有：种， 故选：． 利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 8.【答案】  【解析】解：延长与双曲线交于点， 因为， 根据对称性可知， 设， 则， 可得， 即， 所以， 则，， 即， 可知， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 故选：． 设，根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解． 本题考查了双曲线的定义和性质重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题． 9.【答案】  【解析】解：根据题意可知，易得是边长为的正方形，且，， 又是的中点，则且，故BEFG为平行四边形， 所以，面，面，则平面，选项正确； 由上分析知，面即为面，显然直线与面相交，选项错误； 由，若，即， 令，则，， 而，则，即，显然无解，选项错误； 由，面，面，则平面， 又在线段上，故D到面距离为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积不变，选项正确． 故选：． 根据已知易得为平行四边形，有，应用线面平行的判定判定； 由直线与面相交判断； 假设，即，令并应用勾股定理列方程求解判断； 首先证平面，再由棱锥的体积公式判断． 本题考查了线面平行，属于中档题． 10.【答案】  【解析】解：因为两定，，动点满足， 所以， 所以， 解得， 对于，由，得， 平方展开化简得：，解得， 即的横坐标最大值是，故A错误； 对于，由满足，所以曲线关于原点对称， 又由，也满足，所以曲线关于坐标轴对称，故B正确； 对于，若存在点，使得，则有，又， 所以，即有解，所以存在点，故C正确； 对于，，面积最大值，由选项C可知， 存在的最大值点，故D正确． 故选：． 利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于利用纵坐标放缩去求横坐标范围，对于则利用，的代入检验就可作出判断，对于则利用方程组消元看看是否有解，对于，则利用定义来求面积，只需要看是否存在直角． 本题考查动点轨迹问题的求解，新定义的应用，属中档题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查互斥事件、独立事件，相互独立事件的概率公式，条件概率的求法． 由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，，对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项． 【解答】 解：因为每次取一球，所以，是两两互斥的事件，故A项正确 因为，， 所以，故B项错误 同理，， 所以，故D项正确 事件与事件不相互独立，故C项错误． 故选AD． 12.【答案】  【解析】解：因为双曲线， 所以，则， 所以， 由， 可得． 故答案为：． 根据双曲线的方程及离心率公式列方程求参数值即可． 本题考查双曲线方程的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：的展开式中只有第项的二项式系数最大，故为偶数， 展开式共有项，故． ， 它的展开式的通项公式为， 令，求得， 则展开式中的常数项是， 故答案为：． 由题意求得，在二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.【答案】  【解析】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示， 底面，则即为直线与底面所成的角，  则，，，  设，且，，  由，得，  则，，，，  则的最小值为，最大值为，的最小值为，最大值为，直线与底面所成角的正弦值的最大值为，最小值为． 15.【答案】；   ．  【解析】解：直线：与， 由，则，且， 解得， 此时：，：， 所以平行线，之间的距离为； 因为直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以，解得， 所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 所以当时，有最大． 由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； 根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值． 本题考查平行线的性质的应用的应用及三角形面积公式的应用，属于基础题． 16.【答案】；  ．  【解析】已知为原点，直线与圆：交于、两点， 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得； 若过点作圆的两条切线，切点为、， ，由可知， 由勾股定理可得， 四边形由两个全等的直角三角形组成， 所以， 当且仅当时成立， 所以当时，四边形有最大面积． 利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； 利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 17.【答案】；  ．  【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 又在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为； 设，，中点，， 若直线的斜率存在，则， 由，，则， 所以，即， 化简得， 直线的斜率不存在，轴，弦中点为也符合， 综上可得轨迹方程为． 设点的坐标为，由点在双曲线的渐近线上确定点坐标，再由点在抛物线上求参数，即可得方程； 设，，中点，，结合斜率两点式及点差法得到，整理即可得轨迹，注意验证轴的情况． 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题． 18.【答案】解：证明：因为，，，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 证明：因为，分别是，的中点， 所以，因为平面，平面， 即平面，又因为平面，而平面平面， 所以，而平面，平面， 所以平面； 以为坐标原点，，所在直线为，坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由知，平面且平面，故平面平面， 所以平面的法向量， 设，则，， ，则， 设平面法向量， 则， 设二面角的平面角为，已知， 所以， ， 解得：， 所以．  【解析】利用线线垂直证明线面垂直即可得证； 利用线面平行的判定和性质定理来进行推理证明即可； 先把二面角的正切值转化为余弦值，再利用空间向量法来求解二面角的余弦值，从而得到方程求解边长，再求解即可． 本题考查线面位置关系的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 19.【答案】；  ；  ．  【解析】设椭圆的标准方程为， 由切线长定理知，， 此时， 解得， 因为， 所以，， 则椭圆的标准方程为； 设，， 因为直线过点且斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，． 可得． 因为，分别为椭圆的左、右顶点， 所以，， 所以，． 此时； 易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 即． 由韦达定理得，． 因为， 所以． 又，， 所以， 因为，， 所以， 解得或舍去， 所以直线的方程为， 此时直线恒过点， 所以， 设，， 此时， 易知在上单调递增． 所以当时，取得最大值，最大值为． 根据题设有、求椭圆参数，即可得椭圆方程； 设，，的方程为，联立椭圆及韦达定理可得，再由斜率的两点式有，整理化简即可得结果； 设直线为，联立椭圆方程应用韦达定理及向量垂直的坐标表示可得关于参数，的方程，即可求参数，进而确定直线过定点，最后三角形面积公式得关于的表达式，即可求最大值． 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 汉中市仁德学校高二第一学期检测 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 ! 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]IB1[C1[D1 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][DI 製 4[A][B][C][D] 8[A[B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 1I[A][B][C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 妇 13 14 幕 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）