精品解析：贵州贵阳市南湖实验中学2025-2026学年第二学期5月月考高一数学

贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对A，若，则，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以的虚部是. 3. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 【答案】A 【解析】 【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 4. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量模长公式，，展开得. 由已知，，与夹角， 向量点积， 代入模长公式得. 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得：, 设,由余弦定理的推论得：， . 7. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 8. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，由题意知，， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 10. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（ ） A. P、Q、M、N四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 直线MN与AC所成角余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面， 而直线，点平面， 因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 则，因此，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. _______. 【答案】 【解析】 【详解】 13. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】在直观图中，， 直观图面积， 原图形面积. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模； （2）由已知可得，计算可求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 【小问2详解】 若，则，即，所以， 即，所以． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则， 又因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 17. （1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以且， 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为； （2）依题意，点在第四象限，则， 由，得，即，所以，， 由复数z是关于x的方程的根， 得，整理得， 而，因此， 解得，所以. 18. 在中，内角对应的边分别为，且. （1）求角； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角； 方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得. （2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在； 选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度； 选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在. 【小问1详解】 方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径， 代入，得， 即. 由，，故. 因为，所以，又，所以. 方法二：因为， 由余弦定理得， 化简得即. 又，所以. 【小问2详解】 选条件①：，，， 因为，所以，. 则 . 三角形内角正弦值必为正，故不存在. 选条件②：，，. 由余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）. 故，三角形唯一确定. 因为为边上中线，由向量关系得， 两边平方得， 代入，，， 得，所以. 选择条件③：，，， 为边上中线，所以， ， 代入，，， 得，所以，三角形存在且唯一. 19. 已知向量，，，. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量垂直时，代入坐标计算即可； （2）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量平行时，代入坐标计算，再根据数量积公式求出向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 因为，所以，解得； 【小问2详解】 解：由题意可得， 因为，所以，解得，所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（ ） A. ①是棱台 B. ②不是圆台 C. ③是棱锥 D. ④是棱柱 4. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A. 1 B. C. D. 3 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 若是的中线，则 C. 若是的高，则 D. 若是的角平分线，则 10. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（ ） A. P、Q、M、N四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 直线MN与AC所成角余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. _______. 13. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角θ的余弦值． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. （1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 18. 在中，内角对应的边分别为，且. （1）求角； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知向量，，，. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $