精品解析：广东深圳市高级中2025-2026学年第二学期期中测试 八年级数学

高级中学2025-2026学年第二学期期中测试 初二数学 注意事项： 1、答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 5. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若的三个内角满足：，则为直角三角形 B. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C. “对顶角相等”的逆命题是假命题 D. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 7. 在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 9. 一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是______边形． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，则的度数为______． 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 12. 有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为边的中点，点O为三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案______． 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 14. 解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 15. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 16. 小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． （1）求a的取值范围； （2）求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 17. 某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 18. 如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点． （1）尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 19. 阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： （1）图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； （2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； （3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题 20. 已知为等边三角形，其边长为4．点是边上一动点，连接． （1）如图1，点在边上且，连接交于点． ①求证：； ②求的度数； 变式提升： （2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 拓展应用： （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，．在点P运动过程中，当的周长为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高级中学2025-2026学年第二学期期中测试 初二数学 注意事项： 1、答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 本题可根据不等式的基本性质，逐项判断即可得到正确选项，需注意不等式两边同乘负数时，不等号方向改变. 【详解】解：∵ ，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A选项错误，不符合题意； ∵ ，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B选项正确，符合题意 ∵ ，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，C选项错误，不符合题意. ∵ ，不等式两边同时乘以得，两边同时加得， ∴ D选项错误，不符合题意. 故选：B. 3. 已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先确定的质量的取值范围，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：如图所示，可知， 在数轴上表示为： 故选：D． 4. 如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，可知四边形的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由平移的性质可知，. 的周长为，即， 四边形的周长为. 故选：C． 5. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售， ∴， 故选：C 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若的三个内角满足：，则为直角三角形 B. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 C. “对顶角相等”的逆命题是假命题 D. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角” 【答案】C 【解析】 【详解】解：A：设，由题意得，，∵三角形内角和为，∴，解得，∴不是直角三角形，A错误． B：∵三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，只有三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，∴B错误． C：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个独立的直角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，C正确． D：用反证法证明命题时，需先假设结论的否定成立，“至多有一个内角是直角”的否定是“至少有两个内角是直角”，因此应先假设“至少有两个内角是直角”，∴D错误． 7. 在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线，垂直平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 根据角平分线，垂直平分线的性质，及角相等，逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， A．∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴． 故A正确． B．由垂直平分线可得 ， ∴，即， 同理可知． 故B正确． C．有作图可知， 同理可证． 故C正确． D．无法证明． 故答案选D． 8. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出如图辅助线，根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， 由题可得，， ∴， 又∵， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∵正方形和正方形的面积分别为，，且，， ∴正方形的面积， ∴正方形和正方形的面积之比为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值． 第二部分 非选择题 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 9. 一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍，这个多边形是______边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】先判断该多边形为正多边形，设出一个外角度数，根据相邻内角与外角的数量关系结合邻补角性质求出外角度数，再利用多边形外角和定理求出边数即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻的外角的5倍， ∴该多边形为正多边形， 不妨设该多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为． 由邻补角的性质可得． 解得． ∵多边形的外角和为， ∴该多边形的边数为． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到， ，， 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 12. 有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为边的中点，点O为三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案______． 【答案】方案4 【解析】 【分析】分别计算出四种方案中天然气管道的长度，然后比较大小即可得解． 【详解】解：设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为， 方案1，， 方案2，∵点D为边的中点，为等边三角形， ∴，， ∴， ， 方案3，， 方案4，∵为等边三角形，点O为三边垂直平分线的交点，延长交于点， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴ ， ∵ ∴方案4中天然气管道总长最短． 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，于，延长交于，由三角形面积公式求出，由旋转的性质得到，推出，，，，由等腰三角形的性质推出，，由等腰三角形的性质求得，由三角形的面积公式求出，的面积． 【详解】解：过作于，于，延长交于， ，，， ， 的面积， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积． 14. 解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，将解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐步对不等式进行变形，进而求出不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 【答案】（1）即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转性质的理解，旋转中心，正确作图是解题的关键． （1）根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，描点，画图即可； （2）先确定旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下： 此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，． 16. 小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． （1）求a的取值范围； （2）求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【小问1详解】 仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； 【小问2详解】 整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得​，其中整数为． 17. 某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）①共有66种购买方案；②购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元 【解析】 【分析】（1）设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，再写出y与x的函数关系式即可； （2）①根据题意求得的取值范围即可解答； ②利用一次函数的增减性，可得当时，取最大值． 【小问1详解】 解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台， 根据题意； 【小问2详解】 ①解：根据题意可得， 解得， ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴共有种情况， 即共有66种购买方案； ②解：， 随的增大而减小， 当时，取最大值，， （台）， 答：购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元． 18. 如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点． （1）尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 【答案】（1） 射线即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、图形折叠的轴对称性质、三角形内角和定理及含特殊角的直角三角形的边角关系； 解题关键是利用折叠的对称性得到边、角的等量关系，再通过角度推导构造含特殊角的直角三角形，进而求解线段长度． （1）根据折叠的轴对称性，是的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交延长线于，作的角平分线，交于即可． （2）先由等腰算出，再由折叠性质得，进而推出，为等腰直角三角形．过作于，在中由求出、；再在中利用角的正切求出，最后由得到结果． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 过点作于点， 如图所示． 等腰三角形中， ， 沿射线折叠， 使点恰好落在的延长线上的点处， ， ， ， ， ． ， 由勾股定理得 ． 在中，， ． 19. 阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： （1）图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； （2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； （3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； 【小问3详解】 解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 则可得， 题中需要， 满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ． ， ，， 设，则， ， ， 解得， ． 即所有点P组成的平面区域的面积为． 教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题 20. 已知为等边三角形，其边长为4．点是边上一动点，连接． （1）如图1，点在边上且，连接交于点． ①求证：； ②求的度数； 变式提升： （2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 拓展应用： （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，且，连接，．在点P运动过程中，当的周长为时，求的长． 【答案】（1） ①证明：是等边三角形， ，， ， ， ； ② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据证明三角形全等即可； ②利用全等三角形的性质求解即可； （2）如图2，在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论； （3）如图3，延长至，使，连接．证明，推出，，，由的周长为，推出，推出，过点作，则，，推出，根据勾股定理得，，构建方程求出，即可解决问题． 【小问1详解】 ①略 ②解：由①知，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接，， 同（1）①的方法知，，由旋转知，，， ， 由（1）②知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 等边的边长为4， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接． 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， ， ， 过点作，则，， ，根据勾股定理得，， ， 解得或3， 当时，，， 过点作于点，则，， ， ． 当时，，， ，，， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $