精品解析：重庆暨华中学2025-2026学年八年级下册期中数学试卷

重庆市暨华中学校2026年春季半期考试 初2027届数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，据此列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义． ∴被开方数需满足非负要求，即 移项可得 ． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质逐一分析选项． 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等．矩形的对角线才相等，故A错误． B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（菱形的定义），故B正确． C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形．正方形需满足对角线垂直且相等，故C错误． D. 矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当其为正方形时成立，故D错误． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，以及二次根式的加法和减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的乘法、加法和减法法则计算即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选C． 4. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：A． 5. 某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（ ） A. 乙组的中位数是80分 B. 甲组成绩的上四分位数是70分 C. 乙组有同学的成绩超过96分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为， 第②个图形中小圆圈的个数为， 第③个图形中小圆圈的个数为， 归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数）， 则第⑧个图形中小圆圈的个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 7. 如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质证明，得到，进而即可求解； 【详解】四边形和四边形都是正方形，恰好落在正方形的对角线上， ，，， 在和中， ， ， ， ． 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 9. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点包括平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质．由勾股定理在直角三角形中，利用勾股定理求得；由和 平分，得出四边形是平行四边形；结合，进一步判定四边形是菱形；在直角三角形中，由勾股定理得,直角三角形斜边中线性质，，即可解答． 【详解】如图，连接 ∵，，， ∴. ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中， 故选：A． 10. 已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______ 【答案】 ## 【解析】 【详解】解：． 12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 13. 如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 最简二次根式 是同类二次根式， ∴被开方数相等， 即 ， 解得 ． 故答案为：1． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，于点，交于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分先求出AD的长，再根据S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF即可求得EF长． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=AC=×8=4，DO=BD=×6=3， ∴AD==5， ∵S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF， ∴×8×6=5EF， ∴EF=， 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形面积的求解方法是解题的关键．菱形面积=对角线积的一半，菱形面积=底×高． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点、点，连接，过点作的垂线，交延长线于点，连接．若，，则______，的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，设交于点O，由矩形的性质可得，，由平行线的可得，证明，，，；由折叠的性质可得，，则可证明，得到，由勾股定理可得，证明，则；过点E作于H，由等面积法可得，则． 【详解】解：如图所示，设交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交于点、点， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于H， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；． 16. 对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为______．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为______． 【答案】 ①. 961 ②. 1310 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，要使“四方数”最大，则百位数字要最大，故可确定最大的“四方数”的百位数字为9，再确定十位数字，进而确定个位数字即可；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为，根据题意可得能被13整除，则能被13整除，即能被13整除，根据，，再根据是13的倍数讨论求解即可． 【详解】解：∵要使“四方数”最大， ∴百位数字要最大， ∴最大的“四方数”的百位数字为9， 接着要保证十位数字最大，则最大的“四方数”的十位数字为6， ∴最大的“四方数”的个位数字为1，即最大的“四方数”为961； 设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为， ∵M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， 当时，则， 当时，，， ∴，，此时符合题意； ∴此时； ∵， ∴，且y是正整数， ∴此时，都满足是最大， ∴的最大值即为． 故答案为：961；1310． 三、解答题：（本大题9个小题，17，18题每题8分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． 证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴①_______________． ∴②_______________． ∴③_______________． ∴④_______________． ∴四边形是菱形． 【答案】图见解析，，，，四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据角平分线的作图方法作图，证明，根据即可证明四边形是平行四边形．再根据即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 19. 为了解、两款饮水机的用户体验情况，小淇随机调查了购买、两款饮水机的各名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评），下面给出了部分信息． 购买款饮水机的名用户体验评分：，，，，，，，，，． 购买款饮水机的名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：，，，，，． 购买两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 购买款饮水机的被调查用户体验评分 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买款饮水机的用户有名，购买款饮水机的用户有名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？ 【答案】（1），， （2） 解：∵款体验评分的中位数为，大于款的中位数， ∴款一半以上用户的体验评分更高，款饮水机用户体验情况更好． （3）名 【解析】 【分析】（1）分别按照众数，中位数定义可求出、的值，求出款评分中“好评”的人数，即可求出的值； （2）比较、款评分的中位数即可得答案； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵购买款饮水机的名用户体验评分中分出现次，次数最多， ∴购买款饮水机的名用户体验评分的众数是分，即， ∵购买款饮水机的名用户体验评分中“差评”的人数占， ∴“差评”的人数为（人）， ∴购买款饮水机的名用户体验评分从小到大排列的第和第位的数据为，， ∴购买款饮水机的名用户体验评分的中位数为，即， 购买款饮水机的名用户体验评分中“好评”的人数为（人）， ∴“好评”的人数占调查人数的， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：款名用户中“好评”的有人， ∴名用户中“好评”的人数为（人）， 款名用户中“好评”的有人， ∴名用户中“好评”的人数为（人）， ∴“好评”用户总数为（人）， 答：对、两款饮水机好评的用户共有名． 20. 先化简，然后从，0，5中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】 ，2 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵，即， ∴选择代入得： 原式． 21. 在四边形中，，点E在上，，． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，易证，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 22. 如图，在中，点D、E、F分别是边、、的中点，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，写出矩形的周长． 【答案】（1） 证明：点D、E、F分别是边、、的中点， 、分别是的中位线， ，， 四边形为平行四边形， ，点D为的中点， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形，且， 四边形为矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用三角形中位线定理证出四边形为平行四边形，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和证出，从而判定四边形为矩形； （2）由（1）可知四边形为矩形，因此可得，，，再由等腰三角形的性质可得，然后根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出和的长，进而求出矩形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，四边形为矩形， ，，， ，点D为的中点， ， ， ，， ， ， 矩形的周长为． 23. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 【答案】（1） 解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）元 （3） 解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 【解析】 【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得； （）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用； （）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴费用为（元）． 【小问3详解】 略 24. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， 代入， 得； 【小问3详解】 解：由题意可得 （n为正整数）， ∴   ． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，过点A作于点M，连接，过点C作交于点N，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点Q是直线上的一个动点，若，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点A作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，证明，可得，再证明，可得，由可知当点在上时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点A作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 如图， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市暨华中学校2026年春季半期考试 初2027届数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（ ） A. 乙组的中位数是80分 B. 甲组成绩的上四分位数是70分 C. 乙组有同学的成绩超过96分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 7. 如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______ 12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 13. 如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，于点，交于点，则的长为__________． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点、点，连接，过点作的垂线，交延长线于点，连接．若，，则______，的面积为______． 16. 对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为______．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17，18题每题8分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． 证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）． 是的平分线 ． ． ∴①_______________． ∴②_______________． ∴③_______________． ∴④_______________． ∴四边形是菱形． 19. 为了解、两款饮水机的用户体验情况，小淇随机调查了购买、两款饮水机的各名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：差评，中评，好评），下面给出了部分信息． 购买款饮水机的名用户体验评分：，，，，，，，，，． 购买款饮水机的名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：，，，，，． 购买两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 购买款饮水机的被调查用户体验评分 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若购买款饮水机的用户有名，购买款饮水机的用户有名，估计对、两款饮水机好评的用户共有多少名？ 20. 先化简，然后从，0，5中选择一个合适的数代入并求值． 21. 在四边形中，，点E在上，，． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 22. 如图，在中，点D、E、F分别是边、、的中点，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，写出矩形的周长． 23. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 24. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，过点A作于点M，连接，过点C作交于点N，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点Q是直线上的一个动点，若，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $