专题15 概率统计专题讲义（从基础到精通）-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题15 概率统计专题（从基础到精通） 1、 基础夯实：随机事件、互斥对立、古典概型 必背知识点：随机事件、样本点、样本空间、互斥事件、对立事件、古典概型 核心考点： 1. 互斥≠对立，对立一定互斥 2. 古典概型 3. 概率性质 1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数， 可能有个奇数和个偶数， 个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， 即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误； “恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误； 同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误； “至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “全都是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确； 故选：C 2．设A，B是两个随机事件，，分别为A，B的对立事件．给出以下命题：①若A，B为互斥事件，且，，则；②若，，且，则A，B相互独立；③若，，且，则A，B相互独立；④若，，且，则A，B相互独立．其中所有真命题的序号为（    ） A．① B．② C．①②③ D．②③④ 【解析】对于①，因为A，B为互斥事件，且，，所以，所以①正确， 对于②，因为，所以，因为，,所以，所以A，B相互独立，所以②正确， 对于③，因为，，所以，，所以，所以相互独立，所以A，B相互独立，所以③正确， 对于④，因为，所以，因为，，所以，所以A，B不相互独立，所以④错误， 故选：C 3．已知、分别表示随机事件A、B发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（    ） A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生 C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生 【解析】表示随机事件、同时发生，所以就是事件、至多有一个发生. 故选：D 4．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数， 可能有个奇数和个偶数， 个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有一个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “至多有两个是偶数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， 即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误； “恰有一个是奇数”即个奇数和个偶数，“恰有一个是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误； 同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误； “至少有一个是奇数”包括个奇数和个偶数，个奇数和个偶数，个奇数和个偶数， “全都是偶数”即个奇数和个偶数， 所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确； 故选：C 5．设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1，2的两个小球，乙袋中装有标号分别为1，2，3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则这两小球标号之和为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】从甲袋和乙袋中各任取一个小球，标号共有6种情况， 分别为， 其中这两个小球标号之和为4的有，2种情况， 则概率为. 故选：B 二、核心进阶：条件概率、全概率、事件独立性 必背知识点：条件概率、相互独立、全概率公式、贝叶斯公式 核心考点： 1. 条件概率 2. 独立判定 3. 全概率 1：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【解析】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A. 2：设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？ 【解析】设A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，则，．而所求的概率为，由于，故． 故答案为：. 3．若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【解析】∵，∴， ∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立. 故选：C 4．某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5的概率. 故选：A. 5．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能． 事件A含有的基本事件数为，则，同理， 事件AB含有的基本事件数为，则 事件AC含有的基本事件数为，则 ， 即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，故A、B不正确； ，， 故选：C． 三、高频必考：离散型随机变量、分布列、期望 必背知识点：分布列、数学期望、方差、超几何分布 核心考点： 1. 分布列：概率和为 1 2. 期望 3. 独立事件：分步用乘法，分类用加法 1．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5. (1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望； (2)求小李同学当天穿连衣裙的概率. 【解析】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2， ，，， 所以X的分布列为： X 4 3 2 P 故. （2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装. 因为穿红色衣物的概率为， 则穿蓝色衣物的概率为， 穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为， 则当天穿连衣裙的概率为. 所以小李同学当天穿连衣裙的概率为. 2．从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. (1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率； (2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 【解析】（1）记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试合格”，由题意知， ， ， 又事件互斥，则， 即， 所以在居民甲第一项测试“合格”的条件下，他第一个项目选择了的概率为： ， 即已知居民甲第一项测试“合格”，他第一项测试选择的项目是的概率是. （2）由居民乙获一等奖的概率为，可知. 则. 令， 当时，；当时，. 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数. 所以.所以的最小值为. 3．某学校组织知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100， 则， ， 所以的分布列为： 0 20 100 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为， 若小明先回答类问题，记为小明的累计得分， 则的所有可能取值为0，80，100， ， ， ， 则的期望为， 因为， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题． 4．某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立． （1）求甲恰好经过三局进入复赛的概率； （2）记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望． 【解析】（1）甲经过三局进入复赛，则第一局为慢棋和棋，第二局为快棋和棋，第三局快棋胜， ， （2）的可能的取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 的分布列为： 1 2 3 4 ． 四、统计应用：频率分布直方图、数字特征 1．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据： 表 年度 2023 2024 2025 2026 年度序号 1 2 3 4 不戴头盔人数 1250 1050 1000 900 （1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2027年不戴头盔的人数； （2）交警统计2023-2026年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 表 不戴头盔 戴头盔 伤亡 7 3 不伤亡 13 27 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． 【解析】（1）由表中数据可得，，， ， ， 故回归直线方程为， 2027年，即，． （2）列联表如下： 不戴头盔 戴头盔 合计 伤亡 7 3 10 不伤亡 13 27 40 合计 20 30 50 ， 有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关． 2．空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下： 空气质量指数 空气质量等级 ， 优 ， 良 ， 轻度污染 ， 中度污染 ， 中度污染 严重污染 下列频数分布表是某场馆记录了一个月天）的情况： 空气质量指数 ， ， ， ， 频数（单位：天） 3 6 15 6 （1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：，结果精确到 （3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下： 更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5 概率 0.2 0.3 0.5 已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求） 【解析】（1）法一：； 法二：； （2）一个月30天中达到优或良的天数为9，空气质量等级达到优或良的概率为， 未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量达到优或良的概率为； （3）按照这个数据，每年需要6到10个滤芯，也就是，9，10，而需求假设为，会有 ， ， ， 那么当时，会有花费的分布为 ， ， ， 均值， 同理算出，， 故此买9个最划算． 3．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）写出的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）由频率直方图的性质，， ， （2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名， 初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为， 所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有人， 同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为， 学生人数约为人， 所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有， （3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，样本人数为人， 同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为， 故的可能取值为：1，2，3， ，，， 的分布列为： 1 2 3 ． 4．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为， 事件的情况数为，则事件发生的概率为， 事件与事件的交事件为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点” 事件的情况数为，则事件发生的概率为， 即. 故选：C. 五、统计推断：独立性检验、线性回归 知识点 + 解题依据 · 必背知识点：卡方检验、回归直线、分层抽样、列联表 · 核心依据： 1. 卡方公式 2. 回归直线 3. 分层抽样按比例抽取 1．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）补充列联表为： 不够良好 良好 合计 病例组 40 60 100 对照组 10 90 100 合计 50 150 200 计算， 所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． （2）证明：； （ⅱ）利用调查数据，，，，， 所以． 2．为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据． 未感染病毒 感染病毒 合计 接种 80 20 100 未接种 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据200名志愿者的数据，问：能否有的把握认为疫苗有效？ （2）现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以有的把握认为疫苗有效． （2）由题意可得从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人中，有人未感染病毒，有人感染病毒， 记事件为“从这15人中随机抽取3人中至少有1人感染”，则事件为“从这15人中随机抽取3人中没有1人感染”， 由题意得， 所以（A）， 所以从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 3．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于 10 15 25 着色度不低于 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 【解析】（1）由于， 所以有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个，则一级果6个，二级果3个，三级果1个， 由题意，二级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 4．某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的． (1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值； (2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望． 【解析】（1），， 当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递减． 故在处取得最大值，最大值． （2）“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则，所以“领航队”积分成绩X的数学期望， 每个成员积分成绩Y的可能取值为，1，5，9， 记第i道题目答对为事件， 则， ， ， ． Y的分布列为 Y 1 5 9 P 则， 故． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题15 概率统计专题（从基础到精通） 1、 基础夯实：随机事件、互斥对立、古典概型 必背知识点：随机事件、样本点、样本空间、互斥事件、对立事件、古典概型 核心考点： 1. 互斥≠对立，对立一定互斥 2. 古典概型 3. 概率性质 1．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 2．设A，B是两个随机事件，，分别为A，B的对立事件．给出以下命题：①若A，B为互斥事件，且，，则；②若，，且，则A，B相互独立；③若，，且，则A，B相互独立；④若，，且，则A，B相互独立．其中所有真命题的序号为（    ） A．① B．② C．①②③ D．②③④ 3．已知、分别表示随机事件A、B发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（    ） A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生 C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生 4．从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（    ） A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数” B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数” C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数” D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 5．设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1，2的两个小球，乙袋中装有标号分别为1，2，3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则这两小球标号之和为4的概率为（    ） A． B． C． D． 二、核心进阶：条件概率、全概率、事件独立性 必背知识点：条件概率、相互独立、全概率公式、贝叶斯公式 核心考点： 1. 条件概率 2. 独立判定 3. 全概率 1：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 2：设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？ 3．若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 4．某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（    ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 三、高频必考：离散型随机变量、分布列、期望 必背知识点：分布列、数学期望、方差、超几何分布 核心考点： 1. 分布列：概率和为 1 2. 期望 3. 独立事件：分步用乘法，分类用加法 1．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5. (1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望； (2)求小李同学当天穿连衣裙的概率. 2．从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. (1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率； (2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 3．某学校组织知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 4．某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立． （1）求甲恰好经过三局进入复赛的概率； （2）记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望． 四、统计应用：频率分布直方图、数字特征 1．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据： 表 年度 2023 2024 2025 2026 年度序号 1 2 3 4 不戴头盔人数 1250 1050 1000 900 （1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2027年不戴头盔的人数； （2）交警统计2023-2026年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 表 不戴头盔 戴头盔 伤亡 7 3 不伤亡 13 27 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． 2．空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下： 空气质量指数 空气质量等级 ， 优 ， 良 ， 轻度污染 ， 中度污染 ， 中度污染 严重污染 下列频数分布表是某场馆记录了一个月天）的情况： 空气质量指数 ， ， ， ， 频数（单位：天） 3 6 15 6 （1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：，结果精确到 （3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下： 更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5 概率 0.2 0.3 0.5 已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求） 3．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）写出的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望． 4．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（    ） A． B． C． D． 五、统计推断：独立性检验、线性回归 知识点 + 解题依据 · 必背知识点：卡方检验、回归直线、分层抽样、列联表 · 核心依据： 1. 卡方公式 2. 回归直线 3. 分层抽样按比例抽取 1．（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2．为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据． 未感染病毒 感染病毒 合计 接种 80 20 100 未接种 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据200名志愿者的数据，问：能否有的把握认为疫苗有效？ （2）现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 3．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于 10 15 25 着色度不低于 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 4．某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的． (1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值； (2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $