统计与概率：分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与概率核心考点，系统整合分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质两大模块，按“知识点解析-解题原理-解题思路”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确公式应用条件，方法指导提炼加权计算与线性变换技巧，真题训练结合最新模拟题与高考题型，帮助学生突破分层方差计算、性质应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”与“数据观念”为核心，创新采用“公式推导-情境应用-错误辨析”三步教学法。例如在分层方差教学中，先引导学生推导组内方差与组间偏差的叠加公式，再结合球迷消费、学生身高调研等真实情境题强化应用，最后通过变式训练辨析常见计算误区。这种设计能在短时间内提升学生数据处理与模型应用能力，为教师把控复习节奏、精准突破高频考点提供实用指导。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质复习讲义 考点目录 分层样本的平均数与方差 平均数与方差的和差倍分性质 知识点解析 考点一 分层样本的平均数与方差 知识点 设分层数据共两组（可推广至多组）： 1. 第一层：样本量 ，数据 ，平均数 ，方差 1. 第二层：样本量 ，数据 ，平均数 ，方差 1. 总样本量： · 分层总平均数 · 分层总方差 核心：每组方差要叠加组平均数与总平均数的偏差平方。 解题原理 利用加权思想，以各组样本数量为权重，分别计算整体加权平均数；方差需同时兼顾组内波动、组间均值差异。 解题思路 1. 拆分分层组别，标注每组样本容量、平均数、方差； 1. 代入公式计算整体加权平均数； 1. 算出每组均值与总均值的差值平方； 1. 套分层方差公式，分步计算得到整体方差； 1. 多组分层依次按权重累加计算。 考点二 平均数与方差的和差倍分性质 知识点 设一组数据 ，平均数 ，方差 ； 为常数。 对数据做线性变换： 1. 平均数性质 1. 方差性质 补充： · 加减常数 ：只改变平均数，方差不变； · 乘常数 ：平均数变为原来 倍，方差变为原来 倍。 解题原理 线性变换下，数据整体平移不改变波动大小；数据伸缩会同步改变均值与波动幅度。 解题思路 1. 明确原始数据的平均数、方差； 1. 确定变换形式 ，找出系数 、； 1. 套用性质直接计算新平均数：； 1. 套用性质计算新方差：； 1. 多层连续变换依次逐步计算即可。 考点一 分层样本的平均数与方差 【例题分析】 例1．（2025·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 例2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 例3．（2026·山西太原·模拟预测）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是_____________，方差是_____________． 例4．（2026·吉林·模拟预测）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为__________分钟，方差为_________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 变式3．（2026·湖南常德·模拟预测）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为____________. 变式4．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 考点二 平均数与方差的和差倍分性质 【例题分析】 例1．（2025·重庆·模拟预测）已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 例2．（2025·陕西安康·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·江西南昌·二模·多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模·多选）一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（    ） A．的第80百分位数为 B．的极差为8 C．的平均数为7 D．的方差为4 例5．（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为______； 例6．（2026·贵州黔西·模拟预测）若样本数据的方差为3，则数据的方差为________． 【变式训练】 变式1．（2026·四川凉山·模拟预测）样本数据的平均数，方差，则样本数据，，，的平均数，方差分别为（    ） A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1 变式2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东聊城·一模·多选）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 变式4．（2025·山东·二模·多选）给定一组不全相同的样本数据，关于样本数据的说法正确的是（   ） A．与原数据相比，极差一定变大 B．与原数据相比，众数一定变大 C．与原数据相比，平均数一定变大 D．与原数据相比，方差一定变大 变式5．（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为__________． 变式6．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质复习讲义 考点目录 分层样本的平均数与方差 平均数与方差的和差倍分性质 知识点解析 考点一 分层样本的平均数与方差 知识点 设分层数据共两组（可推广至多组）： 1. 第一层：样本量 ，数据 ，平均数 ，方差 1. 第二层：样本量 ，数据 ，平均数 ，方差 1. 总样本量： · 分层总平均数 · 分层总方差 核心：每组方差要叠加组平均数与总平均数的偏差平方。 解题原理 利用加权思想，以各组样本数量为权重，分别计算整体加权平均数；方差需同时兼顾组内波动、组间均值差异。 解题思路 1. 拆分分层组别，标注每组样本容量、平均数、方差； 1. 代入公式计算整体加权平均数； 1. 算出每组均值与总均值的差值平方； 1. 套分层方差公式，分步计算得到整体方差； 1. 多组分层依次按权重累加计算。 考点二 平均数与方差的和差倍分性质 知识点 设一组数据 ，平均数 ，方差 ； 为常数。 对数据做线性变换： 1. 平均数性质 1. 方差性质 补充： · 加减常数 ：只改变平均数，方差不变； · 乘常数 ：平均数变为原来 倍，方差变为原来 倍。 解题原理 线性变换下，数据整体平移不改变波动大小；数据伸缩会同步改变均值与波动幅度。 解题思路 1. 明确原始数据的平均数、方差； 1. 确定变换形式 ，找出系数 、； 1. 套用性质直接计算新平均数：； 1. 套用性质计算新方差：； 1. 多层连续变换依次逐步计算即可。 考点一 分层样本的平均数与方差 【例题分析】 例1．（2025·四川德阳·一模）随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（   ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27 【答案】A 【分析】由分层随机抽样的总体平均数和方差公式直接计算即可得解. 【详解】由题可得总体10人消费的平均数为， 总体10人消费的方差为. 故选：A 例2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 例3．（2026·山西太原·模拟预测）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是_____________，方差是_____________． 【答案】 166 45 【分析】由样本均值、方差的计算公式，代入数据即可求得. 【详解】设样本中男生的身高为，女生的身高为， 则，该校高一年级学生身高的均值是， 方差为 . 故答案为：166，45. 例4．（2026·吉林·模拟预测）吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为__________分钟，方差为_________． 【答案】 68 108 【分析】利用分层抽样的平均值与方差公式计算即可. 【详解】由题意可知男生女生抽取比例分别为：， 故抽取样本的平均值为：， 方差为：. 以此估计该校学生每天读书时间的平均值为68；方差为108. 故答案为：68；108. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 【答案】B 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为：  . 故选：B 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 【答案】C 【分析】由条件结合分层抽样的平均数公式和方差公式由各层的平均数，方差求总体的平均数和方差即可判断. 【详解】高一学生人数，均值，方差． 高二学生人数，均值，方差． 所以总体均值． 总体方差． 故选：C. 变式3．（2026·湖南常德·模拟预测）为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为： （小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为： . 故答案为： 变式4．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 考点二 平均数与方差的和差倍分性质 【例题分析】 例1．（2025·重庆·模拟预测）已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据方差的性质计算求解. 【详解】因为一组数据，，…，的方差为， 则数据，，…，的方差为. 故选：C. 例2．（2025·陕西安康·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差. 故选：C 例3．（2026·江西南昌·二模·多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平均值、中位数、极差、方差的概念与性质逐项分析求解. 【详解】根据平均数性质，，故A正确； 中位数是按大小排序后位于中间位置的数值，是线性变换，新数据排序位置与原数据一致，但中位数会随变换调整：若是原中位数，则新中位数​，仅当时成立，不一定总是相等，因此B错误； 极差为最大值与最小值的差，设原数据最大值为、最小值为，则，变换后，的最大值为​，最小值为​，所以​，因此C正确； 是线性变换，根据方差性质，，因此D错误. 例4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模·多选）一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（    ） A．的第80百分位数为 B．的极差为8 C．的平均数为7 D．的方差为4 【答案】BC 【详解】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误； 数据的极差为4，即. 由，可知，， ，故B正确； 由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确； 由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误. 例5．（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为______； 【答案】20 【分析】根据公式计算即可. 【详解】因为数据，，，，的方差为， 所以数据，，，，的方差为. 故答案为：20 例6．（2026·贵州黔西·模拟预测）若样本数据的方差为3，则数据的方差为________． 【答案】12 【分析】利用方差的性质直接求解. 【详解】样本数据的方差为3， 数据的方差为. 故答案为：12. 【变式训练】 变式1．（2026·四川凉山·模拟预测）样本数据的平均数，方差，则样本数据，，，的平均数，方差分别为（    ） A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1 【答案】A 【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差． 【详解】由，得样本数据，，，的平均数为， 由，得样本数据，，，的方差为. 故选：A 变式2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数据的标准差为，则数据，，，…，的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线性变化前后数据的方差的关系求解． 【详解】因为数据的标准差为， 由数据方差的性质，可得数据，，…，的标准差为， 故选：D. 变式3．（2026·山东聊城·一模·多选）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 【答案】ACD 【详解】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 由题意知，， 则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确； 第二组的方差为，故选项B错误； 将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确； 第一组样本数据的方差， 即， 即， 即， ， ， 则两组数据合并后数据的方差是 ， ， ， 则两组数据合并后数据的方差 ，故选项D正确. 变式4．（2025·山东·二模·多选）给定一组不全相同的样本数据，关于样本数据的说法正确的是（   ） A．与原数据相比，极差一定变大 B．与原数据相比，众数一定变大 C．与原数据相比，平均数一定变大 D．与原数据相比，方差一定变大 【答案】AD 【分析】对于A，根据极差的定义分析判断，对于B，根据众数的定义举例判断，对于C，根据平均数的定义举例判断，对于D，根据方差的定义分析判断. 【详解】对于A，若样本数据中的最小的数为，最大的数为，则极差为， 则样本数据的极差为， 因为，所以，所以A正确， 对于B，若的众数为，则的众数为， 若，则，所以B错误， 对于C，若的平均数为，则的平均数为， 若，则，所以C错误， 对于D，若的方差为，而， 则的方差为 ，所以D正确. 故选：AD 变式5．（2025·江苏常州·模拟预测）数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据平均数的公式和基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故答案为：. 变式6．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 【答案】1 【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数， 所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $