专题14 立体几何选填题核心考点讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题14 立体几何选填题核心考点读考点 一、考点总结与提升 知识1作截面的基本方法 如下图是几等分点，做出过三点的截面 特征：①三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是；②“第三点”是在外棱上，如， 1.平行线法。 平行线法特征：有两点连线在表面：，在前侧面 方法如下： （1）寻找点所在的与线的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）； （2）在这个面内，过做平行线，显然必须扩展这个面了； （3）与分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）； （4）注意这仨面的相交棱， （5）过做平行线，交这俩棱于第二排图 （6）分别连与EL，交点为与。出截面，与第一种方法一致。 2.相交线法 以“第三点”所在的表面中，剔除掉与所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有的表面有三个，红色的和平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， (1)先用上表面（红色的）来做： 所以，先补出扩展直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长交于; 此时也在上表面了，连接，出来与棱交点. 连接，则的如右图的截面。 (2)再用右表面绿色的来做： 则发现，右边面和相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长交于I 此时I也在右表面了，连交棱于. 连接，则出右图的截面。 (3)最终，两个合在一起，就是如图的截面。 知识点2 直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ③垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点3 平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点4 线面角和二面角 1.直线和平面所成的角 定义 一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 画法 取值范围 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 2.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 取值范围 知识点5 空间位置关系的向量表示 1．直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 2．利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 知识点6 利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点7 利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量 的模长为,则点到直线的距离. 二、典例精讲 核心考点01.截面问题 1．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 2．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故答案为： 3．已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是 ． 【详解】取中点，连接，在线段延长线上取一点，连接，使得， 为等边三角形，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面，，即为二面角的平面角， 平面与平面成角为， 设平面平面，，， 平面平面，，四边形即为所求截面， ，，， ，， ，，， . 故答案为：. 4． 正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，，，. 由题意，，，四点共面，所以， 所以， 解得，，， 由，，得. 因为平面平面，平面，平面， 所以，同理， 所以截面为平行四边形，所以截面的面积. 设点到直线的距离为， 则， 因为，所以截面的面积. 故选:C. 5．（多选）已知正方体的棱长为6，过棱的中点作正方体的截面，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系即可求出边长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面与平面所成角. 【详解】设，，的中点分别为、、， 连接并延长交直线，的延长线于点，，连接交于， 连接交于，连接，得到截面五边形，连接与的中点. 由，为中点，，，，因此周长为，故A正确. ，， ，， ， 截面多边形的面积为，故B正确. 与是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，故C错误. 因为， 根据二面角定义可知为截面与底面所成角（或补角）， ，， 根据余弦定理可得， 故， 所以截面所在平面与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AB. 6．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 7．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 9． （多选）如图，已知三棱锥的截面平行于对棱．下列命题正确的有（    ） A．四边形是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形周长为4 【详解】由平面，平面平面，平面，得， 同理，于是，同理，因此四边形是平行四边形，A正确； 当时，则，平行四边形是矩形，B正确； 由，得，由，得， 又，则，而与不一定相等， 因此与不一定相等，即平行四边形不一定是菱形，C错误； 由选项C知，，，两式相加得，即， 所以平行四边形的周长为4，D正确. 故选：ABD 核心考点02.最值问题 1．（多选）（2025·河南·一模）已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为 B．直线与平面所成角的正切值最大为 C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 【详解】对于A，根据正方体性质可得，可知， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示： 则其轨迹的长度为，故A正确； 对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大， 此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误； 对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为， 易知，，点平面的距离为； 可得球心到平面的距离为， 故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确； 对于D，如下图： 先固定点，当点在上时，最小， 再让点移动，当三点共线时，最小， 此时，故D正确. 故选：ACD 2.（多选）（2025·浙江宁波·一模）在圆台中，，AB，CD分别为上、下底面的直径，，且，动点P、Q分别在线段AC和上运动（含端点），满足，则（   ） A．圆台的体积为 B．四面体外接球的表面积为 C．射线PQ交圆台侧面于点M，则PM的最小值为 D．射线QP交圆台侧面于点N，则PN的最大值为 【详解】对于A，由已知，故A正确； 对于B，由对称性可知球心在直线上，设半径为r， 则，解得， 故四面体外接球的表面积为，故B正确； 对于C，如图圆所在平面平行于底面，则圆所在平面， 如图建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为，设， 所以，则， 由相似可得圆的半径， ，则， 令， 则在上单调递减， 所以，则PM的最小值为2，故C错误； 对于D，由C，同理可得， 令， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，则PN的最大值为，故D正确. 故选：ABD 3．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为为等腰三角形，，又，所以， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：D. 核心考点03. 动点轨迹 1．如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是 ． 【详解】如图所示，连接DN，则△MDN为直角三角形， 在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1， 点P在以D为球心，半径R＝1的球面上， 又点P只能落在正方体上或其内部， 点P的轨迹的面积等于该球面面积的， 所求面积. 故答案为： 2．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形PMN的面积，则点P轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示： 连接，因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面， 所以平面，所以， 同理可知：， 又因为平面，平面，， 所以平面， 根据题意可知：，所以为正三角形，所以， 所以，设到平面的距离为， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， 所以，再如下图所示： 在正三角形中，高， 所以内切圆的半径，且， 取的两个三等分点，连接，所以， 所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，圆的周长为， 在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为， 故选：A. 3．（多选）在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，点Q在侧面内运动，则下列结论正确是（    ） A．若，则动点Q的轨迹是线段 B．若，则动点Q的轨迹是圆的一部分 C．若，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点Q到与的距离相等，则动点Q的轨迹是双曲线的一部分 【详解】对于A，如图1，由正方体容易得平面，因平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则，同理可证，， 因，平面，则平面， 若，则平面， 又平面，所以点Q的轨迹是平面与平面的交线段，A正确； 对于B，如图2，因为平面，平面，所以， 所以是直角三角形，又因为，，所以， 即Q的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆弧，B正确；      对于C，以为坐标原点，为轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 则，， 设，所以， 因为，所以， 即，得， 所以点Q的轨迹是双曲线的一部分，C错误； 对于D，以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设 则Q到的距离等于，Q到的距离y， 又点Q到与的距离相等，所以， 而满足方程的点仅有，D错误. 故选：AB 3．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【详解】 设平面，连接，，，， 因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，则为正三角形的中心， 则，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 即，， 因为，即， 因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆， 所以点的轨迹长度是. 故选：. 4．已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图1所示，设为的交点，所以．又平面平面， 所以．又，平面，所以平面． 因为点平面，故平面，所以，则． 因为正方体的棱长为，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，则． 设，则，， 所以． 又，故，即， 整理得，即， 故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为． 故选：C． 5．（多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ） A．平面MNQ与正方体各面的交线是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．三棱锥P-MNQ体积的最大值为1 D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线 【详解】 如图所示，作出各边中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知， 且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确. 当点在中点上时，与相交，此时共面，所以B错误. 正方体边长为2，则线段，当正六边形边长为时，可知其对角线，所以，所以为直角三角形，可得， 当与点重合时，体积最大，此时三棱锥的高为, 此时体积为，所以C正确. 如图所示，过作于，过作于，作于，连接，以为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，，当P到棱CD，A1D1距离相等时，，化简得，是双曲线轨迹，所以D正确. 故选：ACD 核心考点04.几何体外接球、内切球 1．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点， 又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上， 因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，， 因为平面，与平面所成的角为， 则，从而， 设球O的半径为R，在中，，则，解得， 所以球O的表面积为. 故选：B． 2．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 4．（多选）（2025·广东揭阳·三模）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（    ） A． B．点A到平面的距离为 C．二面角的余弦值为 D．球O的表面积为 【详解】对于A，取中点，连接，由可知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 故， 在，解得， 则，所以，则，故A正确； 对于B，过点作，垂直为，连接， 记点到平面的距离为， 由，则，故， 而，， 由余弦定理得， 故， 故， ， 故，故B正确； 对于C，由，，，平面， 可知平面，因为平面，所以， 又，，平面，故平面， 又平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为， 所以， 故， 即二面角的余弦值为，故C错误； 对于D，由，为中点可知， 故的外心为，由平面可知直线上的点到点A，B，P的距离相等，故球心O在直线上. 由平面几何知识知点O在线段上. 记，则， 故，解得， 故球的表面积，故D正确. 故选：ABD. 5．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R， 以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为， 最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为. 因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为， 所以，解得， 则，外接球表面积为：. 故选：D 三、高考练场 1．棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接， 由是的中点， ，得是的中点，又， 则与的交点必为的中点，而平面平面， 即几何体是三棱锥被平行于底面的平面所截而成， 因此截面将正方体分成体积较小的部分为三棱台， 三棱台的体积为. 故选：D 2．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（      ） A．平面 B．点到平面的距离为1 C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 D．若为直线上的动点，则为定值 【详解】对于A，连接，，在正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，设点到平面的距离为， 由，得，又， 则，所以，故B正确； 对于C，连接交于点，则是的中点． 正方体的棱切球的球心是正方体对角线的中点，半径． 由对称性知过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为. 易得，∴． 故截面圆半径， 此时截面圆面积为，故C错误； 对于D，易得 ，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．四面体的体积等于 D．经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 4．如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．，，，四点共面 B．该几何体的体积为 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故正确； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B错误； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D错误. 故选：AC 5．如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 、、，设点，其中， 对于A选项，，， 所以，则，A对； 对于B选项，设平面的一个法向量为，， 则，令，可得，， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，则，此时， 综上所述，， 设直线与直线所成角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，， 令，其中， 任取、且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，，同理， 所以，即，故函数在上单调递增， 且，，故当时，， 所以，D对. 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题14 立体几何选填题核心考点读考点 一、考点总结与提升 知识1作截面的基本方法 如下图是几等分点，做出过三点的截面 特征：①三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是；②“第三点”是在外棱上，如， 1.平行线法。 平行线法特征：有两点连线在表面：，在前侧面 方法如下： （1）寻找点所在的与线的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）； （2）在这个面内，过做平行线，显然必须扩展这个面了； （3）与分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）； （4）注意这仨面的相交棱， （5）过做平行线，交这俩棱于第二排图 （6）分别连与EL，交点为与。出截面，与第一种方法一致。 2.相交线法 以“第三点”所在的表面中，剔除掉与所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有的表面有三个，红色的和平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， (1)先用上表面（红色的）来做： 所以，先补出扩展直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长交于; 此时也在上表面了，连接，出来与棱交点. 连接，则的如右图的截面。 (2)再用右表面绿色的来做： 则发现，右边面和相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长交于I 此时I也在右表面了，连交棱于. 连接，则出右图的截面。 (3)最终，两个合在一起，就是如图的截面。 知识点2 直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ③垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点3 平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点4 线面角和二面角 1.直线和平面所成的角 定义 一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 画法 取值范围 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 2.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 取值范围 知识点5 空间位置关系的向量表示 1．直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 2．利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 知识点6 利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点7 利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量 的模长为,则点到直线的距离. 二、典例精讲 核心考点01.截面问题 1．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 2．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 3．已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是 ． 4． 正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（多选）已知正方体的棱长为6，过棱的中点作正方体的截面，则（    ） A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为 C．截面多边形存在外接圆 D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为 6．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 7．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 9． （多选）如图，已知三棱锥的截面平行于对棱．下列命题正确的有（    ） A．四边形是平行四边形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形周长为4 核心考点02.最值问题 1．（多选）（2025·河南·一模）已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为 B．直线与平面所成角的正切值最大为 C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 2.（多选）（2025·浙江宁波·一模）在圆台中，，AB，CD分别为上、下底面的直径，，且，动点P、Q分别在线段AC和上运动（含端点），满足，则（   ） A．圆台的体积为 B．四面体外接球的表面积为 C．射线PQ交圆台侧面于点M，则PM的最小值为 D．射线QP交圆台侧面于点N，则PN的最大值为 3．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 核心考点03. 动点轨迹 1．如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是 ． 2．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形PMN的面积，则点P轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，点Q在侧面内运动，则下列结论正确是（    ） A．若，则动点Q的轨迹是线段 B．若，则动点Q的轨迹是圆的一部分 C．若，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点Q到与的距离相等，则动点Q的轨迹是双曲线的一部分 3．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（ ） A．平面MNQ与正方体各面的交线是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．三棱锥P-MNQ体积的最大值为1 D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线 核心考点04.几何体外接球、内切球 1．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·广东揭阳·三模）三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（    ） A． B．点A到平面的距离为 C．二面角的余弦值为 D．球O的表面积为 5．在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 三、高考练场 1．棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（      ） A．平面 B．点到平面的距离为1 C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 D．若为直线上的动点，则为定值 3．如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．四面体的体积等于 D．经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 4．如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．，，，四点共面 B．该几何体的体积为 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为 5．如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $