专题09 平面向量数量积核心考点讲义（基础定义到四心综合应用）-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题09 平面向量数量积核心考点（基础定义到四心综合应用） 一、考点总结与提升 1.定义法 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有(). 2.坐标法 设向量为向量的夹角. （1）数量积:. （2）模:. （3）夹角： （4）两非零向量的充要条件:. 3.基底法 4.投影法 向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 5.极化恒等式 问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式. 证明：由于，两式相减可得： . 特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式). 6.与外心有关的数量积计算 结论：如图1，，特别地，若点在线段的中垂线上时，. 如图1 如图2 进一步，外心性质：如图2，为的外心，可以证明： （1）.；，同理可得等. （2）.，同理可得等. （3）.，同理可得等. 证明: 三角形 “四心” 的向量本质： ①重心是中线交点，核心向量关系为； ②内心是角平分线交点，对应边长加权向量和为零（）； ③外心是中垂线交点，关键特征是到顶点距离相等； ④垂心是高线交点，满足。 二、典例精讲 核心考点01.定义法计算 例1．已知向量，满足，，，则（） A． B． C． D． 解析：，，，. ，因此，. 故选：D. 核心考点02.基底法计算 例2．已知平面向量满足，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析：因，则， 依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有，于是得恒成立，则，即有，又，解得，所以夹角的最小值是.故选：B 例3．在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【解析】 . 故选：C 核心考点0 3.坐标法计算数量积 例4． 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　) A.·＝－1 B.＋＝0 C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的长度为 【解析】因为＝，△ABC是等边三角形， 所以CE⊥AB，所以·＝0，选项A错误；以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D， 设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝， 又∥，所以y－＝－y，解得y＝，即O是CE的中点，＋＝0，所以选项B正确；|＋＋|＝|2＋|＝||＝.所以选项C正确； ＝，＝(1，)，在方向上的投影向量的长度为＝＝，所以选项D正确.故选BCD。 核心考点04.投影法计算 例5.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析： 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是，故选：A. （方法2）坐标法 如图,取为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则 ,.设,则,且.所以.答案:A 核心考点05.极化恒等式法 例6.已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】如图： 因为， 所以. 取中点，则， 因为，所以设，， 则，， 所以， 当时，为最大值. 此时为最大值. 故选：D 例7.圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示， 又，而，若外接圆半径为r， 则，故，且，即， 由， 对于且在圆上，当为直径时，当重合时， 所以， 综上，， 锐角三角形中，则，即恒成立， 所以，则恒成立， 综上，. 故选: C 例8．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B． C． D． 解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故 . （方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，． 设，，，， 故，则其最小值为，此时，． 核心考点06. 三角形 “四心”与平面向量数量积 例9．若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 例10．已知为的外心，若且，则（ ） A． B． C． D． 【解析】过点作于，过点作于， 过点作交的延长线于，交的延长线于， 因为则，从而有, 而三角形的外接圆的半径为，所以, 且，所以，所以, 所以,故，由于，因此. 故选：D 例11．已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ） A．20 B．10 C． D． 【解析】由题意，，， ． 故选：B． 例12．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【解析】设线段的中点为， 则、互为相反向量，所以， 因为，即， 所以，，即， 即，即，所以，垂直且平分线段， 因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. 例13．(多选)设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若是正三角形，则 D．若，，，则四边形的面积是 【解析】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心， 所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A对； 对选项B：因为，则，，三点共线， 易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错； 对选项C：因为是正三角形，故，则，故C对； 对选项D：因为，故在外，又， 所以，又，，则，故D对. 故选:：ACD. 例14．点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A. 例15．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【解析】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D. 三、高考练场 1．已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 解析：∵，又∵ ∴9，∴故选：C. 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 解析：,,即,解得,故选：C 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 解析因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 4．已知向量，满足，，则_________ 解析：法一：因为，即， 则，整理得，又因为，即，则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即.故答案为：. 5．已知向量，，，________． 解析：由已知可得， 因此，.故答案为：. 6．若向量满足，则_________ 解析: ∵∴,∴.故答案为：. 9．在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ） A．. B． C． D． 解析：由，可得为与在方向上的投影之积.正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的，切线与圆切于点N与延长线交点为， 则在方向上的投影最小值为，最大值为,又， ，则，，则的取值范围是.故选A. 10．已知是的外心，，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 解析：如图，O为的外心，设为的中点，则, 故 ,故选：A 11. 已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（） A． B． C． D． 解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记中点为，中点为. 由于，而.由于为等边三角形，则三点共线，且由于是外心，也是重心，故. 则，显然，由在圆外，且共线（中点为），则.综上所述，. （法2.基底法） ，因为等边的三个顶点均在圆上，因此， ，因为等边的三个顶点均在圆上，所以原点是等边的重心，因此，所以有： ，当时，即同向时，有最小值，最小值为. 12．在边长为4的菱形中，，为中点，为平面内一点，若， A．16 B．14 C．12 D．8 解析：由可得：，故在中垂线上，由投影的定义可得：. 再根据余弦定理可得：，故可得选B. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，． （1）求角A； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围， 解析：（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，因为O是的外心，所以D为AB的中点，所以，同理，所以，由正弦定理边化角得： 所以整理得：因为，所以所以，即又，所以，得 （2）记外接圆的半径为R，因为外接圆的周长为， 所以，得所以周长由（1）知， 所以因为，所以 所以所以，即所以周长的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $