8.1.2样本相关系数讲义( 知识归纳与试题检测）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.1.2　样本相关系数 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量， 其计算公式为_______， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． （2）相关系数r的性质 ①当时，称成对样本数据正相关； 当时，成对样本数据负相关； 当时，成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为[-1，1]； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【2】相关系数的简易推导 ______. 【答案】 【3】相关系数的性质 （1）的取值范围是.当时，称变量和变量______；当时，称变量和变量______. （2）越接近于1，变量，的线性相关程度越高，这时数据分散在一条直线附近. （3）越接近于0，变量的线性相关程度越低. （4）具有对称性，即. （5）仅仅是变量与之间线性相关程度的一个度量.只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系. 【4】相关系数与向量夹角 若我们把两组成对数据分别看作维空间的两个向量，，且，，从而有． 由向量知识可知，两向量夹角的取值范围为，其余弦值的取值范围为． （1）当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越______，两组数据的正相关程度越______；余弦值越小表示两个向量的夹角越______，两组数据的正相关程度越______． （2）当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越______，两组数据的负相关程度越______；余弦值越小表示两个向量的夹角越______，两组数据的负相关程度越______． （3）当夹角为时，余弦值为0，这说明两组数据不存在______． 【5】【微思考】 （1）当时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？ _________________ （2）当时，是否表明成对数据间就不存在相关性了？ ___________________ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 3．某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 6．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 7．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 8．最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 9．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 10．一唱片公司欲知唱片费用（十万元）与唱片销售量（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，则与的相关系数的绝对值为（    ）（相关系数：） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 11．为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 二、多选题 12．（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 13．通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 三、填空题 14．已知一组变量线性相关，样本相关系数，现将坐标原点平移到点，则大多数点应该落在第____象限. 15．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为______． 16．已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 17．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为_____. (附:相关系数 四、解答题 18．随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . 求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； 附：相关系数． 19．某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； 注: 样本的相关系数 （2）参考数据： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　样本相关系数 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量， 其计算公式为_______， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． （2）相关系数r的性质 ①当时，称成对样本数据正相关； 当时，成对样本数据负相关； 当时，成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为[-1，1]； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【答案】 【2】相关系数的简易推导 ______. 【答案】 【3】相关系数的性质 （1）的取值范围是.当时，称变量和变量______；当时，称变量和变量______. （2）越接近于1，变量，的线性相关程度越高，这时数据分散在一条直线附近. （3）越接近于0，变量的线性相关程度越低. （4）具有对称性，即. （5）仅仅是变量与之间线性相关程度的一个度量.只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系. 【答案】 正相关 负相关 【4】相关系数与向量夹角 若我们把两组成对数据分别看作维空间的两个向量，，且，，从而有． 由向量知识可知，两向量夹角的取值范围为，其余弦值的取值范围为． （1）当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越______，两组数据的正相关程度越______；余弦值越小表示两个向量的夹角越______，两组数据的正相关程度越______． （2）当夹角属于时，余弦值越大表示两个向量的夹角越______，两组数据的负相关程度越______；余弦值越小表示两个向量的夹角越______，两组数据的负相关程度越______． （3）当夹角为时，余弦值为0，这说明两组数据不存在______． 【答案】 小 高 大 低 小 低 大 高 线性相关关系 【5】【微思考】 （1）当时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？ _________________ （2）当时，是否表明成对数据间就不存在相关性了？ ___________________ 【答案】 当 |r|=1 时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 当 r=0 时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不能排除它们之间有其他相关关系. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 2．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 3．某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，结合相关系数的性质判断． 【详解】从散点图中可知，样本数据的两变量是正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好， 从而相关系数的绝对值更接近于1，所以 4．对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 5．通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 6.为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【分析】先计算线性相关系数 ，再通过 ()的绝对值判断相关强度（ 越接近1，线性相关程度越强）. 【详解】解析：由题可知样本量 ，所以： ＝15， ＝108.6， 又因为：，，，，≈15.8， 所以： ＝， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 答案：A. 7．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 8．最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】A 【分析】根据相关系数公式计算即可求解. 【详解】，， ， ． 故选：A. 9．下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为-1，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案. 【详解】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小的是③. 故选：C 10．一唱片公司欲知唱片费用（十万元）与唱片销售量（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，则与的相关系数的绝对值为（    ）（相关系数：） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【分析】运用相关系数公式进行求解即可. 【详解】因为，，所以， ， 故选：D. 11．为考察两个变量，的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（    ） 5 10 15 20 25 103 105 110 111 114 （参考数据：，，） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【分析】根据已知计算相关系数，再根据相关系数的值判断线性相关程度. 【详解】由题可得，， 则 ， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 故选：A. 二、多选题 12．（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 【答案】BCD 【分析】根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断可得错误的结论． 【详解】对于相关系数，有以下结论：①当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． ②的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确． 故选：BCD． 13．通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 14．已知一组变量线性相关，样本相关系数，现将坐标原点平移到点，则大多数点应该落在第____象限. 【答案】二、四 【分析】根据负相关的散点图特点，判断结果即可. 【详解】因为，所以变量负相关，则在以为坐标原点的坐标系下的散点图，大多数点应该落在第二、四象限. 15．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为______． 【答案】 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】因为样本数据所对应的点都在直线上，所以， 又样本数据负相关，所以． 故答案为：. 16．已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【答案】/ 【分析】根据相关系数的计算公式分别计算数据即可. 【详解】因为，， 则， ， 所以. 故答案为：. 17．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为_____. (附:相关系数 【答案】 【分析】利用相关系数公式可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系数问题转化为向量夹角问题，即可求解. 【详解】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 18．随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . 求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； 附：相关系数． 【答案】，具有很强的正相关性 【分析】由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； 【详解】样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； 19．某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； 注: 样本的相关系数 【答案】；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 【分析】使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； 【详解】，， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $