第09讲：成对数据的统计相关性【五大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第09讲:成对数据的统计相关性 【考点梳理】 · 考点一、变量间相关关系的判断 · 考点二：判断正、负相关 · 考点三：相关系数的意义 · 考点四、样本相关系数的计算及应用 · 考点五：统计相关性的综合问题 【知识梳理】 知识点一:相关关系 1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二:相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来， 由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝. (2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ①若r>0时，成对样本数据正相关； ②若r<0时，成对样本数据负相关； ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【题型归纳】 题型一、变量间相关关系的判断 【典例1】．（25-26高二下·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义可得. 【详解】选项B，C，D中的两个变量都具有相关性，且都是一种不确定的关系，是相关关系. 而A中判别式和变量是一种确定的表达式，是一种函数关系，即一种确定的关系，所以不是相关关系. 故选：A 【变式1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念判断即可. 【详解】①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系． 故选：C 【变式2】．（23-24高二下·安徽·期末）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（    ） A．等边三角形的边长a与其面积S B．匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t C．杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D．某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x 【答案】C 【分析】根据相关关系的定义即可逐一判断. 【详解】对于A选项，因为，边长a与面积S是确定的函数关系，故A错误； 对于B选项，设匀速直线行驶的汽车的速度为，，所以位移s与行驶时间t是确定的函数关系，故B错误； 对于C选项，杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r具有相关关系，通常情况下，土壤湿润度r会一定程度上影响杂交水稻植株的高度h值的，故C正确； 对于D选项，因为班级某次数学考试的平均分x等于班级总分除以学生人数n，所以当班级总分确定的情况下，某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x是一种确定关系，故D正确； 故选：C. 题型二：判断正、负相关 【典例2】．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 【变式1】．（24-25高二上·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【分析】由正、负相关的概念得解. 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D 【变式2】．（24-25高二下·全国·课后作业）下列两个变量中，成正相关的两个变量是（    ） A．汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量 B．正方形面积与边长 C．花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩 D．期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分 【答案】A 【分析】利用正相关的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确； 对于B，正方形的面积与边长是函数关系，故B错误； 对于C，一般情况下，若花费在体育活动上面的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C错误； 对于D，期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误． 故选：A． 题型三：相关系数的意义 【典例3】．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】根据相关系数的性质即可得到答案. 【详解】相关系数的绝对值越大，则其相关程度越强， 又因为，所以线性相关程度最强的是丁组. 故选：D. 【变式1】．（25-26高二上·广西桂林·期末）已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 【答案】B 【分析】利用，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】A，若，则X和Y正相关，故A错误； B，若，则M和N线性不相关，故B正确； C，若，，则， 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，故C错误； D，若越接近1，则M和N的线性相关程度越强，故D错误. 故选：B 【变式2】．（25-26高三上·辽宁·期中）已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【详解】线性相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越强， 因为， 经过比较可知，最大，所以组的线性相关程度最强. 故选：B. 题型四、样本相关系数的计算及应用 【典例4】．（2025高三·全国·专题练习）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【答案】/ 【分析】根据相关系数的计算公式分别计算数据即可. 【详解】因为，， 则， ， 所以. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 【变式2】．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 题型五：统计相关性的综合问题 【典例5】．（2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2，18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 【变式1】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 【变式2】．（24-25高二下·广东中山·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 【详解】（1）由样本数据得相关系数： ． ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）∵，，∴，， 抽取的第13个零件的尺寸在以外， 需对当天的生产过程进行检查． （3）剔除离群值，即第13个数据， 剩下数据的平均数为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为； 由得：， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为， 样本标准差为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 2．（25-26高三下·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 【答案】D 【分析】根据相关系数的正负判断正负相关，并根据相关系数绝对值大小得到相关性强弱. 【详解】由线性相关系数知x与y正相关， 由线性相关系数知u与v负相关， 又，所以变量u与变量v的线性相关性比变量x与变量y的线性相关性更强. 故选：D 4．（2025高二·全国·专题练习）在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 5．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（   ） A．与负相关，与负相关，且与的相关性更强 B．与负相关，与正相关，且与的相关性更强 C．与负相关，与正相关，且与的相关性更弱 D．与正相关，与负相关，且与的相关性更弱 【答案】C 【分析】根据相关系数的概念判断. 【详解】由题可知，且， 与成负相关关系，与成正相关关系，且与的相关性更弱. 故选：C. 6．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 7．（2025高二·全国·专题练习）下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到样本相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到样本相关系数为.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关系数和负相关的意义判断即可. 【详解】根据相关变量的散点图知，变量具有负线性相关关系，且点是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关； 方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关， 故样本相关系数满足， 故选：D 8．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 9．（25-26高三下·重庆·月考）具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得样本中心点，再结合相关系数公式判断即可. 【详解】由题知，， 所以数据的样本中心点为 所以去掉其中样本数据，样本相关系数r不会发生改变. 二、多选题 10．（25-26高二下·全国·课后作业）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 【答案】BCD 【分析】根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断可得错误的结论． 【详解】对于相关系数，有以下结论：①当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． ②的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确． 故选：BCD． 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【分析】根据相关关系与函数关系的概念，可得答案. 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 12．（25-26高二上·江西南昌·期末）下列命题正确的有（    ） A．当样本相关系数满足时，对样本数据均落在一条直线上 B．样本相关系数的值越大，随机变量之间的线性相关程度越强 C．方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中 【答案】ACD 【分析】由线性相关关系，方差和标准差的定义进行判断． 【详解】对于A项，当样本相关系数满足时，对样本数据均落在一条直线上，是正确的 对于B项，样本相关系数越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，故B错误； 对于C项，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，是正确的； 对于D项，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，是正确的， 故选：ACD 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 14．（24-25高二下·山东·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（   ） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 【答案】BC 【分析】比较相关系数 绝对值的大小，再结合相关系数的意义判断即可. 【详解】因为， 所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高， 乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低． 故选：BC. 15．（2025高二·全国·专题练习）（多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（    ）    A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B．月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C．月的月温差相对于月波动性更大 D．每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 【答案】ABC 【分析】根据线性相关系数可判断A选项；计算各月的温差可判断B选项；观察月、月的月温差变化幅度，可判断选项；观察8月到9月的最高气温与最低气温的变化，可判断选项. 【详解】由每月最低气温与最高气温的样本相关系数，越接近1，线性相关性越强，且表示正相关， 可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，故正确. 由所给的折线图计算各月的月温差（月最高气温一月最低气温），比较得到的月温差， 可知最大值出现在10月，故正确. 观察折线统计图，月的月温差相对平稳，月的月温差变化幅度更大， 月的月温差相对于月，波动性更大，故正确. 从折线统计图可以看出，最高气温在8月到9月是下降的，最低气温在8月到9月也是下降的， 并不是在前6个月逐月增加，故错误. 故选：. 三、填空题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④ 【分析】利用相关关系的定义求解. 【详解】在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； ③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 故答案为：②④. 17．（24-25高二下·河南·月考）甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【分析】根据题意，得到，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为， 可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 18．（24-25高二下·湖北黄冈·月考）对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 【答案】④ 【分析】根据相关系数的性质依次判断即可. 【详解】相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱时， 而，当越接近于，表示两个变量的线性相关性越强， 越接近于时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 故①③错误，④正确； 若所有样本点都在直线上，则，故②错误. 故综上所述，④正确. 故答案为：④. 19．（24-25高二上·陕西渭南·期末）下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 【答案】①② 【分析】由相关系数的概念以及意义逐一判断即可求解. 【详解】对于①，相关系数满足，即变量间的线性相关系数的取值范围为，①正确； 对于②，根据相关系数的性质，，且越接近于1，相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，②正确； 对于③，比如时，变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越强，③错误. 故答案为：①②. 20．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，，则相关系数______.（相关系数） 【答案】 【分析】应用相关系数公式及已知数据求相关系数. 【详解】由题设，有. 故答案为：. 四、解答题 21．（25-26高二下·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【答案】这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 【分析】根据线性相关关系的概念，以及相关系数计算公式，求出相关系数，判断两组数据是否具有线性相关关系即可. 【详解】由题意知， ， ， ，，． 所以样本相关系数． ，故我们可以认为与之间具有较强的线性相关关系． 即这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 【答案】答案见解析 【分析】根据相关系数的计算结果来判断变量之间的相关性. 【详解】由题意，变量与的相关系数， 变量与的相关系数是， 可以看出TC指标值与BMI值，GLU指标值与BMI值都是高度正相关． 23．（24-25高二下·广东中山·月考）全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收. (1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率. ①在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率； ②在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率（精确到0.0001）； (2)该县经济委员会统计了某6至12月这7个月的月广告投入（单位：万元）；（单位：万件）的数据如表所示： 月广告投入/万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量/万件 28 32 35 45 49 52 60 请根据相关系数说明相关关系的强弱.（若，则认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到0.001） 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)①0.3975；②0.4403 (2)与的线性相关程度相当高 【分析】（1）根据全概率公式即可得出①的答案，进而根据条件概率公式可得出②的答案； （2）由已知可求得，，，然后代入相关系数公式即可求出相关系数的值，进而得出两个变量线性相关性的强弱. 【详解】（1）设事件“抽取的是男性客户” “青年客户”， “中年客户”，“老年客户”，依题设， ， ①由全概率公式 ② （2）由题意，知，所以， 所以， 又，所以相关系数 ， 显然与的线性相关程度相当高. 24．（24-25高二下·江苏淮安·月考）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题可知， ； （2）计算得， 故； 25．（2025·湖南长沙·三模）某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立． (1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 2 4 5 6 8 3 4 4 4 5 试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度． （若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高） (2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望． 附． 【详解】（1）由题可知， ， ， 则相关系数， 因为，所以与的线性相关程度较高． （2）设操作成功的次数为，则的所有可能取值为0，1，2． ， ， ， 所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲:成对数据的统计相关性 【考点梳理】 · 考点一、变量间相关关系的判断 · 考点二：判断正、负相关 · 考点三：相关系数的意义 · 考点四、样本相关系数的计算及应用 · 考点五：统计相关性的综合问题 【知识梳理】 知识点一:相关关系 1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点二:相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来， 由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝. (2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ①若r>0时，成对样本数据正相关； ②若r<0时，成对样本数据负相关； ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【题型归纳】 题型一、变量间相关关系的判断 【典例1】．（25-26高二下·全国·单元测试）下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【变式1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 【变式2】．（23-24高二下·安徽·期末）下列两个变量之间的关系是相关关系的是（    ） A．等边三角形的边长a与其面积S B．匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t C．杂交水稻植株的高度h与土壤湿润度r D．某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x 题型二：判断正、负相关 【典例2】．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【变式1】．（24-25高二上·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【变式2】．（24-25高二下·全国·课后作业）下列两个变量中，成正相关的两个变量是（    ） A．汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量 B．正方形面积与边长 C．花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩 D．期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分 题型三：相关系数的意义 【典例3】．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【变式1】．（25-26高二上·广西桂林·期末）已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 【变式2】．（25-26高三上·辽宁·期中）已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 题型四、样本相关系数的计算及应用 【典例4】．（2025高三·全国·专题练习）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【变式1】．（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【变式2】．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 题型五：统计相关性的综合问题 【典例5】．（2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【变式1】．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【变式2】．（24-25高二下·广东中山·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二下·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 2．（25-26高三下·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26高三·全国·一轮复习）对两个变量x，y进行线性相关性检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关性检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（　　） A．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量x与变量y的线性相关性更强 B．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量x与变量y的线性相关性更强 C．变量x与变量y负相关，变量u与变量v正相关，变量u与变量v的线性相关性更强 D．变量x与变量y正相关，变量u与变量v负相关，变量u与变量v的线性相关性更强 4．（2025高二·全国·专题练习）在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 5．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知变量与，与分别都成线性相关关系，且与相关系数满足，且与相关系数满足，下列结论正确的是（   ） A．与负相关，与负相关，且与的相关性更强 B．与负相关，与正相关，且与的相关性更强 C．与负相关，与正相关，且与的相关性更弱 D．与正相关，与负相关，且与的相关性更弱 6．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 7．（2025高二·全国·专题练习）下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到样本相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到样本相关系数为.则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 9．（25-26高三下·重庆·月考）具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数r不会发生改变的是（   ） （参考公式：相关系数 x 1 2 3 4 5 y 6 10 11 12 16 A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二下·全国·课后作业）下列关于相关系数的说法正确的是（   ） A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 12．（25-26高二上·江西南昌·期末）下列命题正确的有（    ） A．当样本相关系数满足时，对样本数据均落在一条直线上 B．样本相关系数的值越大，随机变量之间的线性相关程度越强 C．方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中 13．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率是负数 B．变量与变量正相关 C．相关系数 D．若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 14．（24-25高二下·山东·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（   ） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 15．（2025高二·全国·专题练习）（多选）如图，这是某地2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线统计图.已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数，则下列结论正确的有（    ）    A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B．月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出现在10月 C．月的月温差相对于月波动性更大 D．每月最高气温与最低气温的值在前6个月逐月增加 三、填空题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 17．（24-25高二下·河南·月考）甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 18．（24-25高二下·湖北黄冈·月考）对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 19．（24-25高二上·陕西渭南·期末）下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 20．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，，则相关系数______.（相关系数） 四、解答题 21．（25-26高二下·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 23．（24-25高二下·广东中山·月考）全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收. (1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率. ①在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率； ②在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率（精确到0.0001）； (2)该县经济委员会统计了某6至12月这7个月的月广告投入（单位：万元）；（单位：万件）的数据如表所示： 月广告投入/万元 1 2 3 4 5 6 7 月销量/万件 28 32 35 45 49 52 60 请根据相关系数说明相关关系的强弱.（若，则认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到0.001） 参考数据：. 参考公式：相关系数. 24．（24-25高二下·江苏淮安·月考）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； 参考数据：. 参考公式：相关系数. 25．（2025·湖南长沙·三模）某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立． (1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 2 4 5 6 8 3 4 4 4 5 试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度． （若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高） (2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望． 附． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $