8.1-8.3·成对数据的统计分析【10个题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【8.1-8.3·成对数据的统计分析】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断两个变量正负相关】 【练方法】 知识梳理 1正相关：当一个变量增大时另一个变量整体趋势也增大 2负相关：当一个变量增大时另一个变量整体趋势减小 3相关的直观判断：散点图中点的分布趋势从左下到右上为正相关左上到右下为负相关 4相关系数的符号：为正相关为负相关 解题方法 1散点图法：观察散点的分布趋势整体上升为正相关整体下降为负相关 2相关系数符号法：计算相关系数由的正负直接判断 3回归直线法：看回归直线的斜率斜率为正为正相关斜率为负为负相关 （24-25高二下·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．经典例题1例题    （24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示．小试牛刀1 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 【多选题】（2026高三·全国·专题练习）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ）小试牛刀2 A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 （2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ）小试牛刀3 A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【题型2：相关系数的意义】 【练方法】 知识梳理 1相关系数是衡量两个变量线性相关程度的指标取值范围为 2越接近1线性相关程度越强越接近0线性相关程度越弱 3为正线性相关为负线性相关 4当时两个变量完全线性相关所有点都在一条直线上 解题方法 1强弱判断：根据的大小判断线性相关的强弱如为强相关 2正负判断：根据的正负判断相关方向 3实际问题分析：结合的意义分析两个变量之间的线性关系 （25-26高三下·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三下·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 （25-26高二下·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）．小试牛刀2 A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 【题型3：相关系数的计算】 【练方法】 知识梳理 1相关系数计算公式 也可写为 解题方法 1先计算各变量的均值 2计算离差乘积和 3计算离差平方和 4代入公式计算或利用化简后的公式直接用原始数据计算 （2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据：经典例题1例题 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： （2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， .经典例题2例题 (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． （25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：小试牛刀1 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． （25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示：小试牛刀2 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． （25-26高三上·浙江·期末）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：小试牛刀3 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【题型4：回归方程的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1回归方程其中为回归系数（斜率）为截距 2回归直线必过样本中心点 3回归方程是对两个变量线性关系的估计不表示确定性关系 4回归系数的符号与相关系数的符号一致 解题方法 1回归直线必过样本中心点可利用该性质验证方程或求参数 2回归系数的符号与相关系数一致可判断相关方向 3区分回归方程与确定性函数回归方程的是预测值不是真实值 （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）下列说法中正确的是(多选)（    ）经典例题1例题 A．回归直线恒过样本点的中心． B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． （2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）经典例题2例题    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 （25-26高三下·上海浦东新·期中）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ）小试牛刀1 A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【多选题】（25-26高二上·江苏常州·期末）某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量（单位：）与当天平均气温（单位：）之间线性相关，且线性回归方程为．已知数据样本的相关系数为，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．日用电量与平均气温成负相关，气温每升高，日用电量平均减少 B．可以预测到当平均气温为时，日用电量约为 C．如果样本的相关系数，则说明用电量与平均气温的线性相关性很弱 D．该回归直线必经过样本点的平均值点 （2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【题型5：由回归方程求原数据的值】 【练方法】 知识梳理 1回归方程必过样本中心点即 2可利用该性质已知部分数据求缺失的均值或数据 解题方法 1利用回归直线过样本中心点列方程 2结合已知数据的和计算未知数据的值 3若已知多个数据可先求均值再代入方程求解 （2026·广东清远·二模）已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ）经典例题1例题 3 4 6 7 20 40 80 A．50 B．60 C．70 D．75 【多选题】（25-26高二下·辽宁铁岭·月考）已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A．m＝5 B．当x＝13时， C．变量x和y呈负相关 D．该经验回归直线必过点（9,5） （2026高三下·福建厦门·专题练习）已知线性相关的两个变量，的取值如下表所示，若其回归方程为，那么当时的残差为（    ）小试牛刀1 7 9 11 13 30 45 50 A． B． C．8 D．9 （2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数________.小试牛刀2 5 15 24 60 40 20 （22-23高二上·四川广安·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为．小试牛刀3 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 【题型6：求直线回归方程】 【练方法】 知识梳理 1回归系数的计算公式 2截距 3回归方程形式为 解题方法 1计算 2代入公式计算 3计算再求 4写出回归方程 （2026高三下·山东青岛·专题练习）已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ）经典例题1例题 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B． C．3 D． 【多选题】（25-26高二下·浙江舟山·期中）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ）经典例题2例题 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）为研究学习时间与成绩的关系，记录5名学生的数学学习时间(小时)与模拟考成绩(分，满分 150) 如下:小试牛刀1 2 4 6 8 10 w 58 72 80 90 100 设模拟考成绩与学习时间的回归模型为:，其中 .为计算简洁，现对数据进行中心化处理: 令，则回归模型化为. 记残差平方和. (1)根据最小二乘原理，要使最小(假设)，推导的估计量的表达式(写出关键步骤). (2)利用所给数据，求关于的经验回归方程，并还原为关于的方程. 预测时的成绩. （25-26高二下·重庆·期中）已知变量，线性相关，其一组样本数据 ，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据 相对于修正后的回归直线的残差为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ）小试牛刀3 A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差的假设 【题型7：残差的计算】 【练方法】 知识梳理 1残差即真实值与回归预测值的差 2残差的平方和反映模型的拟合效果 3残差图可用于判断模型是否合适若残差随机分布在水平带内说明模型合适 解题方法 1先根据回归方程计算每个对应的预测值 2计算残差 3计算残差平方和分析拟合效果 （25-26高二下·河北邯郸·期中）决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为，则越大，表示残差平方和越________（填“大”或“小”），即拟合效果越________（填“好”或“差”）.经典例题1例题 （2026·广东广州·二模）某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.经典例题2例题 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【多选题】（2026高三·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则C，D相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） （25-26高三上·湖南长沙·月考）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.小试牛刀2 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) （2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：小试牛刀3 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【题型8：决定系数的计算与分析】 【练方法】 知识梳理 1决定系数 2越接近1模型的拟合效果越好解释能力越强 3反映了回归模型解释的因变量变异占总变异的比例 解题方法 1计算残差平方和 2计算总离差平方和 3代入公式计算 4根据的大小分析模型的拟合效果 （2026·河北沧州·二模）某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：经典例题1例题 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 (1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； (2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， （25-26高二下·河南周口·月考）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下：经典例题2例题 x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） （2026高三下·湖南衡阳·专题练习）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．近日埃隆．马斯克宣布，脑机接口公司正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量y（单位：亿元）与研发人员增量x（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．小试牛刀1 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由． (2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，． （2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：小试牛刀2 /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． （25-26高二下·上海·期中）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据：小试牛刀3 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 【题型9：求非线性回归方程】 【练方法】 知识梳理 1常见非线性模型：指数模型幂函数模型对数模型 2通过变量代换将非线性模型转化为线性模型再用线性回归方法求解 3指数模型取对数令转化为 4幂函数模型取对数令转化为 解题方法 1确定非线性模型的形式 2进行变量代换转化为线性模型 3对代换后的数据求线性回归方程 4再通过逆代换还原为原非线性模型的方程 （25-26高二下·河南南阳·期中）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：经典例题1例题 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下：经典例题2例题 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． （25-26高三下·安徽淮北·月考）为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．小试牛刀1 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） （25-26高二下·辽宁大连·月考）为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与 的相关系数分别为，，且.小试牛刀2 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. （25-26高三下·河南新乡·月考）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：小试牛刀3 x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）． (3)请根据此回归方程，阐述你对花在课后的学习时间和成绩之间关系的看法． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，, 【题型10：独立性检验的有关计算】 【练方法】 知识梳理 1独立性检验用于判断两个分类变量是否有关联 2列联表： 类别A 类别B 合计 组1 组2 合计 3卡方统计量公式 4根据的值与临界值比较判断是否拒绝“两个变量独立”的假设 解题方法 1整理列联表数据确定 2代入公式计算 3与临界值（如2.706 3.841 6.635等）比较 4得出结论：当临界值时认为两个变量有显著关联否则认为无显著关联 【多选题】（25-26高二下·浙江温州·期中）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下：经典例题1例题 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（   ） A． B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 （25-26高三下·云南楚雄·月考）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表：经典例题2例题 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 （2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空）小试牛刀1 （25-26高二下·湖南长沙·月考）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：小试牛刀2 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． （2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：小试牛刀3 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）样本点数据 ，且大致呈线性分布，其经验回归方程为，若，数据的80%分位数为7，则当时，随机误差的残差为：（    ）． A．-0.5 B．0.5 C．-1.5 D．1.5 2．（25-26高三下·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某商店记录2026年4月（16日至20日）每天的平均气温（单位：℃）与矿泉水日销量（单位：瓶），得到数据如下表： 气温 10 11 12 13 14 销量 65 70 75 80 85 经计算，气温与销量的样本相关系数接近1，经验回归直线方程为，其中斜率，则截距的值为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 5．（24-25高二下·山西吕梁·期末）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（    ） A．解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B．数据的方差变大 C．决定系数变小 D．残差平方和变小 7．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 8．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·全国·月考）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 二、多选题 10．（24-25高二下·河北·期中）观察下列散点图，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B．若随机变量，且，则 C．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 12．（25-26高三上·湖北荆州·月考）下列命题正确的是（    ）    A．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C．若随机变量X∽，则不论取何值，为定值 D．在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 13．（25-26高三上·浙江·期中）下列关于统计的知识，说法正确的是（    ） A．若数据的方差为0，则所有的都相等 B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C．数据的第70百分位数是8.5 D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 14．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 三、解答题 15．（25-26高二下·河南南阳·月考）高中推行“双休”以来，学生周六周日在家使用手机的时间增加，为了研究学生“双休日”在家使用手机时间长短与学习成绩的关系，特从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查；将学生成绩分为“优秀”和“不优秀”两类，使用手机时间“长”（大于等于3小时／天）和“短”（小于3小时／天）两类，调查结果如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 70 使用手机时间短 60 100 总计 90 完成上表，并根据完成的表格解决下面问题： (1)现从这200名学生中随机选取一名学生，用频率估计概率，求该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率； (2)在“使用手机时间长”的学生中，求该生“成绩不优秀”的概率； (3)是否有99％的把握认为学生使用手机时间长短与学生成绩有关． （参考公式：） 附：当时，有99％的把握判断变量A，B有关联． 16．（25-26高二下·河南驻马店·月考）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（22-23高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 18．（2026·江苏南京·一模）为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 (1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； (2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． 19．（25-26高二下·江西吉安·期中）随机抽取某地7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下： 超市 广告支出（x/万元） 1 2 3 5 8 10 13 销售额（y/万元） 20 30 40 40 50 50 50 (1)计算广告支出与销售额之间的相关系数（结果保留两位小数）； (2)根据以上数据建立销售额与广告支出的经验回归方程，并估计当广告支出为20万元时的销售额． 参考数据及公式：，，，， 相关系数，一元回归直线方程中． 20．（25-26高二下·浙江温州·期中）某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【8.1-8.3·成对数据的统计分析】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断两个变量正负相关】 【练方法】 知识梳理 1正相关：当一个变量增大时另一个变量整体趋势也增大 2负相关：当一个变量增大时另一个变量整体趋势减小 3相关的直观判断：散点图中点的分布趋势从左下到右上为正相关左上到右下为负相关 4相关系数的符号：为正相关为负相关 解题方法 1散点图法：观察散点的分布趋势整体上升为正相关整体下降为负相关 2相关系数符号法：计算相关系数由的正负直接判断 3回归直线法：看回归直线的斜率斜率为正为正相关斜率为负为负相关 （24-25高二下·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．经典例题1例题    【答案】①③② 【分析】由图象分析即可得到答案. 【详解】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． （24-25高二下·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． （2025高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示．小试牛刀1 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 【答案】B 【分析】根据数据分析可直接得出结论. 【详解】由题意，利润中位数是， 而且随着利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正线性相关关系． 故选：B． 【多选题】（2026高三·全国·专题练习）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得经验回归方程，分别得到以下四个结论，其中一定错误的是（   ）小试牛刀2 A．y与x负相关且 B．y与x负相关且 C．y与x正相关且 D．y与x正相关且 【答案】AD 【分析】由负相关、正相关的概念逐个判断即可； 【详解】对于A：由可知y与x正相关，错误； 对于B：由可知y与x负相关，正确； 对于C：由可知y与x正相关，正确； 对于D：由可知y与x负相关，错误； 故选：AD （2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ）小试牛刀3 A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 【题型2：相关系数的意义】 【练方法】 知识梳理 1相关系数是衡量两个变量线性相关程度的指标取值范围为 2越接近1线性相关程度越强越接近0线性相关程度越弱 3为正线性相关为负线性相关 4当时两个变量完全线性相关所有点都在一条直线上 解题方法 1强弱判断：根据的大小判断线性相关的强弱如为强相关 2正负判断：根据的正负判断相关方向 3实际问题分析：结合的意义分析两个变量之间的线性关系 （25-26高三下·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. （2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. （25-26高三下·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀1 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. （25-26高二下·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）．小试牛刀2 A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列关于相关系数的说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．相关系数越大两个变量间相关性越强 B．相关系数的取值范围为 C．相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关 D．相关系数时，样本点在同一直线上 【答案】BCD 【分析】根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断可得错误的结论． 【详解】对于相关系数，有以下结论：①当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． ②的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确． 故选：BCD． 【题型3：相关系数的计算】 【练方法】 知识梳理 1相关系数计算公式 也可写为 解题方法 1先计算各变量的均值 2计算离差乘积和 3计算离差平方和 4代入公式计算或利用化简后的公式直接用原始数据计算 （2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据：经典例题1例题 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 （2026·江西·一模）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， .经典例题2例题 (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 （25-26高三上·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：小试牛刀1 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. （25-26高二下·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示：小试牛刀2 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 【答案】答案见解析 【分析】根据相关系数的计算结果来判断变量之间的相关性. 【详解】由题意，变量与的相关系数， 变量与的相关系数是， 可以看出TC指标值与BMI值，GLU指标值与BMI值都是高度正相关． （25-26高三上·浙江·期末）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：小试牛刀3 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以， 可得， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望. 【题型4：回归方程的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1回归方程其中为回归系数（斜率）为截距 2回归直线必过样本中心点 3回归方程是对两个变量线性关系的估计不表示确定性关系 4回归系数的符号与相关系数的符号一致 解题方法 1回归直线必过样本中心点可利用该性质验证方程或求参数 2回归系数的符号与相关系数一致可判断相关方向 3区分回归方程与确定性函数回归方程的是预测值不是真实值 （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）下列说法中正确的是(多选)（    ）经典例题1例题 A．回归直线恒过样本点的中心． B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1． C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位． D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． 【答案】ABC 【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，正确； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近，正确； 对于C，根据回归系数的含义，线性回归方程，当变量每增加一个单位时，平均减少个单位，正确； 对于D，根据平均数的计算公式得，由方差公式可得： ，故错误 （2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（   ）经典例题2例题    A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 【答案】D 【分析】由散点图，回归直线方程的性质，变量间的相关关系分别判断即可求解． 【详解】对于A，观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存在密切的联系，即存在相关关系，故A错误； 对于B，回归直线方程中，斜率反映了变量随的变化趋势， 若表示变量随的增大而增大，为正相关，若表示变量随的增大而减小，为负相关； 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为，故B错误； 对于C，的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很强，故C错误； 对于D，由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确． （25-26高三下·上海浦东新·期中）某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（   ）小试牛刀1 A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系 C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【答案】D 【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合. 【多选题】（25-26高二上·江苏常州·期末）某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量（单位：）与当天平均气温（单位：）之间线性相关，且线性回归方程为．已知数据样本的相关系数为，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．日用电量与平均气温成负相关，气温每升高，日用电量平均减少 B．可以预测到当平均气温为时，日用电量约为 C．如果样本的相关系数，则说明用电量与平均气温的线性相关性很弱 D．该回归直线必经过样本点的平均值点 【答案】ABD 【详解】A、因为线性回归方程为，，两个变量成负相关， 即当气温每升高，日用电量平均减少，故A正确； B、因为线性回归方程为，当时，， 则当平均气温为时，日用电量的度数约为68，故B正确； C、，，非常接近1， 说明用电量与平均气温的线性相关性很强，故C错误； D、回归直线必经过样本中心， 所以回归直线必经过样本点的平均值点，故D正确． （2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【答案】B 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误； 对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。 这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确； 对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误； 对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 【题型5：由回归方程求原数据的值】 【练方法】 知识梳理 1回归方程必过样本中心点即 2可利用该性质已知部分数据求缺失的均值或数据 解题方法 1利用回归直线过样本中心点列方程 2结合已知数据的和计算未知数据的值 3若已知多个数据可先求均值再代入方程求解 （2026·广东清远·二模）已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ）经典例题1例题 3 4 6 7 20 40 80 A．50 B．60 C．70 D．75 【答案】B 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 【多选题】（25-26高二下·辽宁铁岭·月考）已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（   ）经典例题2例题 x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A．m＝5 B．当x＝13时， C．变量x和y呈负相关 D．该经验回归直线必过点（9,5） 【答案】ABC 【详解】对于A，因为变量x和y满足经验回归方程， 又，，所以，解得m＝5，故A正确； 对于B，因为变量x和y满足经验回归方程，当x＝13时，，故B正确； 对于C，因为变量x和y满足经验回归方程，k＝－0.78＜0，所以变量x和y呈负相关，故C正确； 对于D，由选项A知，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点（9，5），故D错误． （2026高三下·福建厦门·专题练习）已知线性相关的两个变量，的取值如下表所示，若其回归方程为，那么当时的残差为（    ）小试牛刀1 7 9 11 13 30 45 50 A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】由题意得： 因为回归直线过样本中心点， 代入得：， 又， 解得， 即时真实值， 当时，预测值， 因此当时的残差为. （2026·陕西咸阳·一模）某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数________.小试牛刀2 5 15 24 60 40 20 【答案】4 【分析】由线性回归方程必过样本中心点求解. 【详解】由表数据可得， 所以线性回归方程必过点， 所以，解得， 故答案为：. （22-23高二上·四川广安·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为．小试牛刀3 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 【答案】D 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据. 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 【题型6：求直线回归方程】 【练方法】 知识梳理 1回归系数的计算公式 2截距 3回归方程形式为 解题方法 1计算 2代入公式计算 3计算再求 4写出回归方程 （2026高三下·山东青岛·专题练习）已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（   ）经典例题1例题 3 4 6 7 20 40 60 A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 故有，解得. 当时，， 此时残差为. 【多选题】（25-26高二下·浙江舟山·期中）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ）经典例题2例题 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：． A． B．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 C．由散点图知变量和正相关，相关系数的绝对值越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．当时，残差为 【答案】ABD 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，根据公式计算回归系数， ， 所以回归直线方程为，故B正确； 对于C，散点图如下所示， 由图可知，变量x和正相关，但相关系数越接近1，线性相关程度越强， 越接近0，相关程度越弱，故C错误； 对于D当时，预测值，实际值， 残差，故D正确． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）为研究学习时间与成绩的关系，记录5名学生的数学学习时间(小时)与模拟考成绩(分，满分 150) 如下:小试牛刀1 2 4 6 8 10 w 58 72 80 90 100 设模拟考成绩与学习时间的回归模型为:，其中 .为计算简洁，现对数据进行中心化处理: 令，则回归模型化为. 记残差平方和. (1)根据最小二乘原理，要使最小(假设)，推导的估计量的表达式(写出关键步骤). (2)利用所给数据，求关于的经验回归方程，并还原为关于的方程. 预测时的成绩. 【答案】(1) (2)关于的经验回归方程为，关于的方程为，预测时的成绩为 【分析】（1）展开式为的二次函数，利用二次函数的最值的求法即可求解； （2）利用（1）的结论可求关于的经验回归方程，进而可求关于的方程，代入可求预测值. 【详解】（1）因为 上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值， 当且仅当的取值为时，取得最小值； （2）因为， 所以可得 0 2 4 0 10 20 所以， ， 所以，所以关于的经验回归方程为， 所以关于的方程为，所以， 所以时，. （25-26高二下·重庆·期中）已知变量，线性相关，其一组样本数据 ，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据 相对于修正后的回归直线的残差为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差公式. 【详解】.因为，所以，因为经验回归方程过点， 所以，所以增加一个数据后的，， 设修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即 ， 所以， 解得，所以修正后的回归直线为 ， 所以数据 相对于修正后的回归直线的残差为 ． 【多选题】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ）小试牛刀3 A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差的假设 【答案】ABC 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，由图可知残差的方差随观测时间变大而变大，故A正确； 对于B选项，由图可知残差比较均匀地分布在水平带状区域内，满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故B正确； 对于C选项，由图知残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分，故C正确； 对于D选项，由图知残差与有线性关系，不符合题意，故D错误. 【题型7：残差的计算】 【练方法】 知识梳理 1残差即真实值与回归预测值的差 2残差的平方和反映模型的拟合效果 3残差图可用于判断模型是否合适若残差随机分布在水平带内说明模型合适 解题方法 1先根据回归方程计算每个对应的预测值 2计算残差 3计算残差平方和分析拟合效果 （25-26高二下·河北邯郸·期中）决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为，则越大，表示残差平方和越________（填“大”或“小”），即拟合效果越________（填“好”或“差”）.经典例题1例题 【答案】 小 好 （2026·广东广州·二模）某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.经典例题2例题 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)经验回归方程的拟合效果不良好 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入公式，即可得到答案. 【详解】（1）， ， 因为，即， 解得. （2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. （3）， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 【多选题】（2026高三·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则C，D相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变 （附： ， ，） 【答案】BD 【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据条件概率和相互独立事件的概率公式，可判定B正确；根据回归直线方程的性质，可判定C错误；根据决定系数的公式，根据数据的变换前后分别相等，可判定D正确. 【详解】A，把数据从小到大排序，可得，共8个数据， 其中，所以数据的上四分位数为，所以A错误； B，因为，且，所以， 由条件概率的公式，可得， 所以，所以相互独立，所以B正确； C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，所以C错误， D，由，将变成，则新均值为，新回归方程为， 因此新预测值，从而残差和总偏差与变换前分别相等，所以决定系数，所以D正确. （25-26高三上·湖南长沙·月考）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.小试牛刀2 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 【答案】(1)吨. (2)残差表见解析；，拟合效果较好. 【分析】（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解. （2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得； （ii）根据公式求出决定系数，进而判断. 【详解】（1）根据题中数据可知，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得 ，解得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨. （2）（i）由经验回归方程可得 ，； ，； ，； ，； ，. 所以残差表如下： 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （ii）由上数据可知， ， 所以决定系数，与1比较接近， 所以拟合效果较好. （2025·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：小试牛刀3 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 【题型8：决定系数的计算与分析】 【练方法】 知识梳理 1决定系数 2越接近1模型的拟合效果越好解释能力越强 3反映了回归模型解释的因变量变异占总变异的比例 解题方法 1计算残差平方和 2计算总离差平方和 3代入公式计算 4根据的大小分析模型的拟合效果 （2026·河北沧州·二模）某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：经典例题1例题 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 (1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； (2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， 【答案】(1)非常接近1，说明变量与的线性相关程度很强 (2)，38.5百亿元 【分析】（1）根据表格里的数据与公式计算样本相关系数的值，再根据的取值判断线性相关程度； （2）利用问题（1）中已算出的数据以及公式计算出的值，再代入样本中心点得的值，即得关于的经验回归方程，可得答案. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得，， ，， ， 故， 所以， 非常接近，说明变量与的线性相关程度很强. （2）由（1）可得，，，， 所以， 则. 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元. （25-26高二下·河南周口·月考）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下：经典例题2例题 x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】(1)，与完全负相关 (2) (3)16元 【详解】（1），， 故 ， 故与完全负相关． （2）， 故，回归方程为． （3）由题设，此时，故，故定价最高为16元． （2026高三下·湖南衡阳·专题练习）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．近日埃隆．马斯克宣布，脑机接口公司正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量y（单位：亿元）与研发人员增量x（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．小试牛刀1 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，． 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型，并说明理由． (2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其经验回归直线的斜率及截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)选择模型②，理由见解析 (2)，10人 【分析】（1）通过观察两个模型残差的波动幅度和集中程度来选择模型； （2）结合所选模型，令，则可转化为线性回归模型，利用最小二乘法公式计算和；再将代回，得到关于的经验回归方程，进而求解的最小值. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适． （2）根据模型②，令，y与t可用线性回归来拟合，有． 则， 所以， 则y关于t的经验回归方程为， 所以y关于x的经验回归方程为． 由题意，，解得，又x为整数，所以． 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人． （2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：小试牛刀2 /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 【答案】(1)12，650 (2) (3)710亿元 【分析】（1）利用平均数的计算方法求和. （2）将所给数据代入相关系数计算公式进行计算即可. （3）根据线性回归方程必过样本中心点确定的值，再利用回归方程进行预测即可. 【详解】（1）平均每年的研发投入为 平均每年的营业额为 ． （2）将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中，所以. （3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得． 所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元． （25-26高二下·上海·期中）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为时，气体温度达到绝对零度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据：小试牛刀3 数据 1 2 3 4 5 6 温度 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 (1)用上表数据建立气体压强与气体温度的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差 (2)估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到） 【答案】(1)，回归方程是理想的 (2) 【详解】（1）， ， ， 将，即代入， 解得 回归方程为 ， , 因为 ，所以回归方程是理想的. （2）回归方程为， 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为 . 【题型9：求非线性回归方程】 【练方法】 知识梳理 1常见非线性模型：指数模型幂函数模型对数模型 2通过变量代换将非线性模型转化为线性模型再用线性回归方法求解 3指数模型取对数令转化为 4幂函数模型取对数令转化为 解题方法 1确定非线性模型的形式 2进行变量代换转化为线性模型 3对代换后的数据求线性回归方程 4再通过逆代换还原为原非线性模型的方程 （25-26高二下·河南南阳·期中）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为分钟）和他们的数学平均成绩（设为）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：经典例题1例题 60 70 80 90 100 110 120 130 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间和平均成绩的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程（系数精确到）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，， 【答案】(1)②合适 (2) 【分析】（1）利用函数①②③的性质及表中的数据，即可求解； （2）先将非线性回归方程转化成线性回归方程，再根据题设条件，利用最小二乘法，即可求解. 【详解】（1）由表格可知，增大时，值整体呈上升趋势但存在局部波动，比较函数①②③， 选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适. （2）对（）两边取以为底的对数可得， 设，则， ， ，所以， 故，即，所以. （25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下：经典例题2例题 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. （25-26高三下·安徽淮北·月考）为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．小试牛刀1 表中，． (1)根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 【答案】(1) (2)． (3)册 【分析】（1）因为散点图呈现的是非线性趋势，所以选择更合适； （2）令，将转化为线性回归方程，利用最小二乘估计公式计算和，进而得到关于的回归方程； （3）根据利润公式，结合回归方程列出不等式，求解不等式得到印刷数的取值范围，确定至少印刷的册数. 【详解】（1）由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； （3）假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册． （25-26高二下·辽宁大连·月考）为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与 的相关系数分别为，，且.小试牛刀2 10.15 108.40 3.04 0.16 14.00 11.67 0.21 21.22 (1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适； (2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值. 参考数据和公式：，，，对于一组数据（，2，3，…，n），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数. 【答案】(1)模型建立y与x的回归方程更合适； (2)； (3)960万元. 【分析】（1）利用非线性转化为线性，再求相关系数即可得到判断； （2）利用非线性转化为线性，再求线性回归方程系数即可得解； （3）利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适. （2）令，回归方程为，因为，， 所以关于x的回归方程为，即. （3）由题意知， 当且仅当，即时取等号， 则，所以. 所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为960万元. （25-26高三下·河南新乡·月考）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题：小试牛刀3 x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）． (3)请根据此回归方程，阐述你对花在课后的学习时间和成绩之间关系的看法． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，, 【答案】(1)②合适 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1)根据题意，经比较可得最合适的函数模型； (2)由(1)中模型可得，设，，则，利用公式可求后者，从而得到前者； (3)根据回归方程可得相应的看法. 【详解】（1）根据题意，经比较可知，选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适； （2）对（）两边取以e为底的对数可得， 设，则， ，所以， 故,即， 所以； （3）此回归方程为关于学习时间的增函数，说明随着课后的学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加课后的学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到120分左右时，想要通过延长课后的学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法． 【题型10：独立性检验的有关计算】 【练方法】 知识梳理 1独立性检验用于判断两个分类变量是否有关联 2列联表： 类别A 类别B 合计 组1 组2 合计 3卡方统计量公式 4根据的值与临界值比较判断是否拒绝“两个变量独立”的假设 解题方法 1整理列联表数据确定 2代入公式计算 3与临界值（如2.706 3.841 6.635等）比较 4得出结论：当临界值时认为两个变量有显著关联否则认为无显著关联 【多选题】（25-26高二下·浙江温州·期中）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下：经典例题1例题 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（   ） A． B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】ACD 【详解】A，根据表格数据可知，，A正确； B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确. （25-26高三下·云南楚雄·月考）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表：经典例题2例题 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. (2) 0 1 2 数学期望. 【分析】（1）使用的计算公式求解； （2）使用超几何分布概率公式求解. 【详解】（1）零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. （2）由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有人， 对“大语言模型”不了解的有人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. （2026·上海·二模）某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空）小试牛刀1 【答案】拒绝 【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于， 属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联， 本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响. （25-26高二下·湖南长沙·月考）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：小试牛刀2 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 (2)，145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【分析】（1）根据独立性检验的概念，求出，判断假设是否成立即可； （2）根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可. 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． （2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：小试牛刀3 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关，理由见解析 (2)无关 【详解】（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； （2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·江西新余·模拟预测）样本点数据 ，且大致呈线性分布，其经验回归方程为，若，数据的80%分位数为7，则当时，随机误差的残差为：（    ）． A．-0.5 B．0.5 C．-1.5 D．1.5 【答案】B 【分析】根据题意计算出观测值与预估值，再计算残差即可. 【详解】将从小到大排列，，所以，预测值为， 所以残差为观测值-预测值=6-5.5=0.5 故选：B． 2．（25-26高三下·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 3．（25-26高二下·黑龙江大庆·期中）某商店记录2026年4月（16日至20日）每天的平均气温（单位：℃）与矿泉水日销量（单位：瓶），得到数据如下表： 气温 10 11 12 13 14 销量 65 70 75 80 85 经计算，气温与销量的样本相关系数接近1，经验回归直线方程为，其中斜率，则截距的值为（   ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，解得. 4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 【答案】A 【分析】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解. 【详解】去掉点后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量与的线性相关程度变强，故选项B错误； 由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量与呈正相关，故选项D错误； 因为变量与呈正相关，且相关性变强，所以相关系数变大，故A正确，C错误. 故选：A. 5．（24-25高二下·山西吕梁·期末）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据散点图中点的分布，即可判断答案. 【详解】由散点图可知，并且第一个图中的点更为集中，更贴近某条直线分布， 第三、四个图中的点的分布更为分散， 因此更接近于1，，的绝对值更接近于0，即最大的是. 故选：A 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（    ） A．解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B．数据的方差变大 C．决定系数变小 D．残差平方和变小 【答案】D 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则剩下的点更能集中在一条直线附近， 所以解释变量与响应变量的线性相关性变强， 数据的离散程度减小，所以方差变小，决定系数越接近1，会变大， 因为拟合效果越好，所以残差平方和变小. 故选：D 7．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由题意知，样本数据所对应的点均在直线上，而直线的斜率， 说明解释变量和响应变量之间正相关，即，且线性相关程度达到最强，所以. 8．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由表格数据知：， ， 代入，得，解得， 所以，即， 所以，当时，. 9．（24-25高三上·全国·月考）研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量．若的样本相关系数为，的样本相关系数为，则的样本相关系数的最大值为（    ） 附：样本相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设，，，，，，与的夹角为，与的夹角为，再由相关系数可知，则与夹角的余弦值的最大值为，利用余弦差角公式求值即可. 【详解】设，，， ，，， 由样本相关系数公式可知，， 设与的夹角为，与的夹角为，则有， 易知均为锐角且， 与夹角的余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， ， 故的样本相关系数的最大值为. 故选：B． 二、多选题 10．（24-25高二下·河北·期中）观察下列散点图，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】散点图①，②中y与x呈负相关，，散点图②中y与x的线性相关性更强， 即，因此； 散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强， 即，因此， 所以． 故选：BD 11．（25-26高三上·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B．若随机变量，且，则 C．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【分析】根据百分位数、正态分布、决定系数的意义以及残差的定义进行判断即可. 【详解】对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 12．（25-26高三上·湖北荆州·月考）下列命题正确的是（    ）    A．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C．若随机变量X∽，则不论取何值，为定值 D．在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 【答案】ACD 【分析】利用中位数和平均数的性质，结合直方图“右拖尾”的特征分析即可判断A；利用百分位数的定义即可判断B；根据正态分布的对称性求解即可判断C；根据决定系数的定义可判断D. 【详解】对于A：右拖尾特征​：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感. ​结论​：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故A正确 对于B：由，而数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为， 故下四分位数是，故B错误； 对于C：因为随机变量，所以，则 ，为定值，故C正确. 对于D：在回归分析中，决定系数 越大，说明回归效果越好，故D 正确； 故选：ACD. 13．（25-26高三上·浙江·期中）下列关于统计的知识，说法正确的是（    ） A．若数据的方差为0，则所有的都相等 B．已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C．数据的第70百分位数是8.5 D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1 【答案】AD 【分析】由方差、中位数、百分位数和相关系数的概念逐项判断即可. 【详解】A项：由方差知识得，A项正确； B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误； C项：，则70百分位数为第6个数9，C项错误； D项：样本点都在直线，则完全负相关，所以相关系数为，D项正确. 故选：AD 14．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【分析】A 选项通过推导可得，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入前式求得，故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值和​，故正确；C 选项利用回归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定，故正确；D 选项因残差平方和需要原始数据或更多统计量，仅靠x的标准差无法计算，故错误。 【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 三、解答题 15．（25-26高二下·河南南阳·月考）高中推行“双休”以来，学生周六周日在家使用手机的时间增加，为了研究学生“双休日”在家使用手机时间长短与学习成绩的关系，特从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查；将学生成绩分为“优秀”和“不优秀”两类，使用手机时间“长”（大于等于3小时／天）和“短”（小于3小时／天）两类，调查结果如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 70 使用手机时间短 60 100 总计 90 完成上表，并根据完成的表格解决下面问题： (1)现从这200名学生中随机选取一名学生，用频率估计概率，求该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率； (2)在“使用手机时间长”的学生中，求该生“成绩不优秀”的概率； (3)是否有99％的把握认为学生使用手机时间长短与学生成绩有关． （参考公式：） 附：当时，有99％的把握判断变量A，B有关联． 【答案】(1) (2) (3)有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关 【分析】（1）根据表格，利用频率直接计算即可； （2）根据表格，利用频率直接计算即可； （3）计算，与比较，得出结论即可. 【详解】（1）根据题意，完成表格如下： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 使用手机时间长 30 70 100 使用手机时间短 60 40 100 总计 90 110 200 由上表知，“使用手机时间短”且“成绩优秀”的人数为， 所以随机抽取一名学生，该生“使用手机时间短”且“成绩优秀”的概率. （2）因为使用手机时间长的学生共有人，其中成绩不优秀的有人， 所以在“使用手机时间长”的学生中抽取一名学生，该生“成绩不优秀”的概率. （3）因为， 所以有的把握认为学生使用手机时间长短与学习成绩有关. 16．（25-26高二下·河南驻马店·月考）为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 400 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关； (2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，有关. (2) 【详解】（1）依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人， 男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为， 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 100 100 200 女 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：修改为“认同取暖器‘最佳舒适温度’不低于与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 故此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关； （2）由第1问得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人， 故抽取2人至少有1名女性的概率为. 17．（22-23高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 【答案】(1)选. (2)；690 【分析】（1）观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型. （2）由，得.再根据所给数据，结合线性回归方程的有关计算公式，可求回归方程，再令求值即可. 【详解】（1）根据散点图的分布规律，随着的增大，的增长速度越来越快，符合指数函数的增长特征， 所以（均为大于零的常数）适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. （2）因为表示活动推出的天数，，则. . 因为，所以. 所以 ，所以. 又，所以. 所以. 当时，. 所以预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690. 18．（2026·江苏南京·一模）为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示： 日期编号 1 2 3 4 5 6 温差 9 13 11 15 10 14 百粒发芽数 23 28 26 31 25 29 (1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）； (2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数． 参考公式：相关系数， ，， 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，直接计算，即可求解； （2）根据条件，直接求出，即可求出线性回归方程，再将代入，即可求解. 【详解】（1）相关系数． （2）由题意得，， 所以，， 所以所求的经验回归方程是， 当时，， 故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为． 19．（25-26高二下·江西吉安·期中）随机抽取某地7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下： 超市 广告支出（x/万元） 1 2 3 5 8 10 13 销售额（y/万元） 20 30 40 40 50 50 50 (1)计算广告支出与销售额之间的相关系数（结果保留两位小数）； (2)根据以上数据建立销售额与广告支出的经验回归方程，并估计当广告支出为20万元时的销售额． 参考数据及公式：，，，， 相关系数，一元回归直线方程中． 【答案】(1) (2)，销售额约为71.5万元 【分析】（1）首先计算，再根据数据，代入相关系数公式求解； （2）根据公式和数据，计算和，求解线性回归方程，再代入，计算预测值. 【详解】（1）由题意可得， ， 所以． （2）由题意可得，， 所以销售额与广告支出的经验回归方程为， 当时，， 故当广告支出为20万元时的销售额约为71.5万元． 20．（25-26高二下·浙江温州·期中）某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数加以说明； (2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据：. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】(1)0.995，因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，第7天这株幼苗的高度为4.5cm 【详解】（1）由， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系； （2），， 所以关于的回归直线方程为， 当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为4.5cm. 1 学科网（北京）股份有限公司 $