专题13 直线与圆相关问题讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题13 直线与圆相关问题 一、考点总结与提升 知识1直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识2直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 知识3两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识4距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 知识5圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 注：当时，方程表示一个点； 当时，方程没有意义，不表示任何图形． 知识6直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 知识7圆与圆位置关系的判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 知识8对称问题 1.点关于直线对称 （1）当直线的斜率存在时，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 （2）当直线的斜率不存在时，点关于直线的对称点 2.直线关于点对称 方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 3.直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 4.反射问题 核心是利用反射光线反向延长过入射点的对称点：先找入射点关于反射面的对称点，再连接对称点与反射光线的终点或入射光线的起点，该连线与反射面的交点即为反射点，进而确定光路。 5.将军饮马问题 求距离和的最值时，找其中一点关于定直线的对称点，连接对称点与另一点，线段长即为最小和；求距离差的最值时，连接两点并延长交定直线于一点，该点到两点的距离差绝对值即为最大差 知识9斜率型、直线型、距离型的取值 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 知识10常见隐圆类型 1.定点定长型 2.动点对定线段张角为直角型nn 3.动点到两定点距离的平方和为定值型 4.蒙日圆 5.对角互补、四点共圆型 6.阿波罗尼斯圆：动点到两定点距离的比为常数（这个常数大于0小于1） 二、典例精讲 核心考点01.直线方程、倾斜角与斜率的最值与范围 1．设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 3．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 核心考点02.隐圆 1.已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心考点03.圆的弦长与中点弦问题 1．已知圆与圆交于，两点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．圆被直线所截得的最短弦长为 ． 核心考点03.距离有关的最值与范围 1． 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 3．圆的方程为，圆的方程，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为 A． B． C． D． 核心考点04.直线与圆的位置关系及参数求解 1．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（    ） A．若圆心在圆内，则圆心在圆内 B．若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C．若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D．若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 核心考点05.两圆的公切线长、公切线方程或条数问题 1．已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 2．在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 核心考点06.直线与圆最值 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 2．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 4在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________． 核心考点07.圆中的对称问题 1．已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 核心考点08.与新定义有关的最值与范围 1．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 3．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 核心考点09.直线与圆的创新情景及综合问题 1．设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 三、高考练场 1．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 A．3 B． C． D．2 2．已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（ ） （A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 3．圆的圆心到直线的距离为（ ） A．1 B．2 C． D．2 4．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（ ） （A）− （B）− （C） （D）2 5．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 6．已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 7．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 8．圆与圆的公切线的方程为 ． 9．若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 10．已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ． 12已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题13 直线与圆相关问题 一、考点总结与提升 知识1直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识2直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 知识3两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 知识4距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 知识5圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 注：当时，方程表示一个点； 当时，方程没有意义，不表示任何图形． 知识6直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 知识7圆与圆位置关系的判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 知识8对称问题 1.点关于直线对称 （1）当直线的斜率存在时，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 （2）当直线的斜率不存在时，点关于直线的对称点 2.直线关于点对称 方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 3.直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 4.反射问题 核心是利用反射光线反向延长过入射点的对称点：先找入射点关于反射面的对称点，再连接对称点与反射光线的终点或入射光线的起点，该连线与反射面的交点即为反射点，进而确定光路。 5.将军饮马问题 求距离和的最值时，找其中一点关于定直线的对称点，连接对称点与另一点，线段长即为最小和；求距离差的最值时，连接两点并延长交定直线于一点，该点到两点的距离差绝对值即为最大差 知识9斜率型、直线型、距离型的取值 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 知识10常见隐圆类型 1.定点定长型 2.动点对定线段张角为直角型nn 3.动点到两定点距离的平方和为定值型 4.蒙日圆 5.对角互补、四点共圆型 6.阿波罗尼斯圆：动点到两定点距离的比为常数（这个常数大于0小于1） 二、典例精讲 核心考点01.直线方程、倾斜角与斜率的最值与范围 1．设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由于，所以， 又，所以. 故选：D 2．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角， 当时，直线的斜率， 当，即时，则；当，即时，， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：C 3．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 核心考点02.隐圆 1.已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【解析】：由动直线方程得，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，所以的最大值为. 故选：D. 2．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】：依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B 核心考点03.圆的弦长与中点弦问题 1．已知圆与圆交于，两点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【解析】将圆和圆方程相减， 可得直线的方程为， 圆的圆心为，半径为1， 点到直线的距离为， 解得，又，所以. 故选：B. 2．圆被直线所截得的最短弦长为 ． 【解析】直线l的方程可化为，联立解得． 所以直线恒过定点． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， C到直线l的距离为，所以最短弦长是． 故答案为： 核心考点03.距离有关的最值与范围 1． 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 . 【解析】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 3．圆的方程为，圆的方程，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为 A． B． C． D． 【解析】 设为C2的圆心，由图可得， 又，所以， 所以， 所以的最大值为． 故选：C. 核心考点04.直线与圆的位置关系及参数求解 1．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，    由此可得圆的半径， 故选：B 2．已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（    ） A．若圆心在圆内，则圆心在圆内 B．若圆心在圆内，则直线l与圆相离 C．若直线l与圆相切，则直线l与圆相切 D．若直线l与圆相切，则圆心在直线l上 【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 对于A，圆心在圆内，则，，圆心在圆内，A正确； 对于B，圆心在圆内，则，点到直线的距离，直线l与圆相离，B正确； 对于CD，直线l与圆相切，则，点到直线的距离， 圆心在直线l上，直线l与圆相交，C错误，D正确. 故选：C 核心考点05.两圆的公切线长、公切线方程或条数问题 1．已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 2．在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解析】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 核心考点06.直线与圆最值 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 2．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径， 若圆上总存在两个点到点的距离为3， 则圆与圆有两个公共点，即两圆相交， 因为的圆心为，半径， 所以，即， 则，即或，实数的取值范围是． 故答案为：． 4在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________． 【解析】如图，作所在直径，交于点，则： ∵，，∴，为垂径． 要使面积最大，则位于两侧，并设， 计算可知，故，， 故，令， ，， 记函数， 则， 令，解得（舍去） 显然，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是． （注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式） 核心考点07.圆中的对称问题 1．已知圆 与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为2， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 2．圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 【解析】圆的圆心为， 且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得， 所以或，满足. 故选：C. 核心考点08.与新定义有关的最值与范围 1．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【解析】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 3．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 核心考点09.直线与圆的创新情景及综合问题 1．设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由：， 得， 由：， 得， 设，则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 要使点为定点，且，则， 即，此时定圆Q的圆心为，半径为1， 所以圆Q上一点到点的距离的最大值为. 故选：B. 2．已知点，若P，Q是直线：（）上的两点，且对任意， 恒成立，则线段 的长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】由直线：化为，故直线恒过定点. 点到直线：距离. 对任意， 恒成立,等价于点M位于以线段为直径的圆上或圆内. 要使直线上存在这样P，Q点，则点M到直线的距离不大于以线段为直径的圆的半径，即， 所以.根据题意，该不等式对任意恒成立， 所以，而，故. 故选：D. 3．（多选）已知直线，圆，下列结论正确的是（   ） A．直线与圆总有公共点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若圆与圆有交点，则的取值范围是 D．当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则实数的取值范围为 【解析】对于A：圆 的圆心到直线的距离为 ， 故当时，直线与圆没有公共点，故A错误； 对于B：直线恒过定点， 则圆心到直线的最大值为，故B正确； 对于C：圆的圆心为，半径为， 圆，圆心，半径为， ，由圆与圆有交点， 所以，即，所以， 即r的取值范围是，故C正确； 对于D：当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则直线和圆相离或相切， 所以圆心到直线的距离为， 解得，所以实数k的取值范围为，故D错误. 故 选：BC. 三、高考练场 1．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 A．3 B． C． D．2 【解析】如图建立直角坐标系， 则，，，，由等面积法可得圆的半径为， 所以圆的方程为， 所以，，， 由，得，所以=， 设，即， 点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径， 所以，解得，所以的最大值为3， 即的最大值为3，选A． 2．已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（ ） （A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以 ，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B． 3．圆的圆心到直线的距离为（ ） A．1 B．2 C． D．2 【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C． 4．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（ ） （A）− （B）− （C） （D）2 【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A． 5．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【解析】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 6．已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 【解析】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C正确； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D错误； 故选：D 7．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 【解析】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 8．圆与圆的公切线的方程为 ． 【解析】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 9．若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ． 【解析】因为直线方程为，化简得，说明直线必过点. 由圆心到直线的距离，解得，由题意，所以直线与圆相离. 如图，作一条纵截距为负数且平行于的直线与圆相切，要使最小，点应位于切点处， 作轴交直线于点，过点作直线于点. 当点位于点的左方时，因为，即，则； 当点位于点的右方时，同理可得. 所以的最小值为. 设直线与圆相切，则有，即， 则切线的横截距为，而直线的横截距为，所以. 设 则， 所以在上单调递减，且， 综上，最小值的取值范围是. 故答案为：. 10．已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为 ． 【解析】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为： 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ． 【解析】设， ，，，， ，，即，化简得， 在以为圆心，为半径的圆上， 又点在圆上，两个圆有公共点， 设圆心距为，则，又， ，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 12已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【解析】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $